Арифметическая топология
Арифметическая топология — это область математики , которая представляет собой сочетание алгебраической теории чисел и топологии . Он устанавливает аналогию между числовыми полями и замкнутыми ориентируемыми трехмерными многообразиями .
Аналогии [ править ]
Ниже приведены некоторые аналогии, используемые математиками между числовыми полями и трехмерными многообразиями: [1]
- Числовое поле соответствует замкнутому ориентируемому трехмерному многообразию.
- Идеалы в кольце целых чисел соответствуют звеньям , а простые идеалы соответствуют узлам.
- Поле Q рациональных чисел соответствует 3-сфере .
Развивая последние два примера, можно отметить аналогию между узлами и простыми числами , в которой рассматриваются «связи» между простыми числами. Тройка простых чисел (13, 61, 937) «связана» по модулю 2 ( символ Редеи равен -1), но «попарно несвязана» по модулю 2 ( все символы Лежандра равны 1). Поэтому эти простые числа были названы «собственной тройкой Борромео по модулю 2». [2] или «модуль 2 простых чисел Борромео». [3]
История [ править ]
В 1960-х годах топологическую интерпретацию теории полей классов дал Джон Тейт. [4] на основе когомологий Галуа , а также Майкла Артена и Жана-Луи Вердье [5] на основе этальных когомологий . Затем Дэвид Мамфорд (и независимо Юрий Манин ) придумали аналогию между простыми идеалами и узлами. [6] который был дополнительно исследован Барри Мазуром . [7] [8] В 1990-е годы Резников [9] и Капранов [10] начал изучать эти аналогии, введя термин «арифметическая топология» для этой области исследований.
См. также [ править ]
- Арифметическая геометрия
- Арифметическая динамика
- Топологическая квантовая теория поля
- Программа Ленглендса
Примечания [ править ]
- ^ Сикора, Адам С. «Аналогии между групповыми действиями на трехмерных многообразиях и числовыми полями». Комментарии Mathematici Helvetici 78.4 (2003): 832-844.
- ^ Фогель, Денис (13 февраля 2004 г.), Произведения Масси в когомологиях Галуа числовых полей , doi : 10.11588/heidok.00004418 , urn : nbn:de:bsz:16-opus-44188
- ^ Моришита, Масанори (22 апреля 2009 г.), Аналогии между узлами и простыми числами, трехмерными многообразиями и числовыми кольцами , arXiv : 0904.3399 , Bibcode : 2009arXiv0904.3399M
- ^ Дж. Тейт, Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями, (Proc. Intern. Cong. Stockholm, 1962, стр. 288-295).
- ^ М. Артин и Ж.-Л. Вердье, Семинар по этальным когомологиям числовых полей, Вудс-Хоул. Архивировано 26 мая 2011 г., в Wayback Machine , 1964 г.
- ^ Кто придумал аналогию с простыми числами = узлами? Архивировано 18 июля 2011 года в Wayback Machine , Neverendingbooks, блог Ливена Ле Брюйна, 16 мая 2011 года.
- ↑ Замечания о полиноме Александера , Барри Мазур, около 1964 г.
- ^ Б. Мазур, Заметки об этальных когомологиях числовых полей , Анн. научный. «Эк. Норм. Как дела. 6 (1973), 521–552.
- ^ А. Резников, Теория полей классов трехмногообразий (Гомологии накрытий невиртуально b1-положительного многообразия) , Сел. математика. Новый сер. 3, (1997), 361–399.
- ^ М. Капранов, Аналогии между соответствием Ленглендса и топологической квантовой теорией поля , Progress in Math., 131, Birkhäuser, (1995), 119–151.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Масанори Моришита (2011), Узлы и простые числа , Springer, ISBN 978-1-4471-2157-2
- Масанори Моришита (2009), Аналогии между узлами и простыми числами, трехмерными многообразиями и числовыми кольцами
- Кристофер Денингер (2002), Заметка об арифметической топологии и динамических системах
- Адам С. Сикора (2001), Аналогии между действиями группы на трехмерных многообразиях и числовыми полями
- Кертис Т. МакМаллен (2003), От динамики на поверхностях к рациональным точкам на кривых
- Чао Ли и Чармейн Сиа (2012), Узлы и простые числа
Внешние ссылки [ править ]
Основные математики области |
|---|
