Арифметическая динамика
Арифметическая динамика [1] — это область, объединяющая две области математики: динамические системы и теорию чисел . Частично вдохновение исходит от сложной динамики , изучения итерации автокарт комплексной плоскости или других сложных алгебраических разновидностей . Арифметическая динамика — это изучение теоретико-числовых свойств целых , рациональных , p -адических или алгебраических точек при многократном применении полиномиальной или рациональной функции . Фундаментальная цель — описать арифметические свойства с точки зрения лежащих в их основе геометрических структур.
Глобальная арифметическая динамика — это изучение аналогов классической диофантовой геометрии в условиях дискретных динамических систем, в то время как локальная арифметическая динамика , также называемая p-адической или неархимедовой динамикой , представляет собой аналог комплексной динамики, в которой комплексные числа C заменяются на p -адическое поле, такое как Q p или C p, и изучает хаотическое поведение и множества Фату и Жюлиа .
В следующей таблице описано грубое соответствие между диофантовыми уравнениями, особенно абелевыми многообразиями , и динамическими системами:
| Диофантовы уравнения | Динамические системы |
|---|---|
| Рациональные и целые точки на многообразии | Рациональные и целочисленные точки на орбите |
| Точки конечного порядка на абелевом многообразии | Предпериодические точки рациональной функции |
из дискретной Определения и обозначения динамики
Пусть S — множество, и пусть F : S → S — отображение S в себя. Повторение F самого себя n раз обозначается
Точка P ∈ S называется периодической, если F ( н ) ( P ) знак равно P для некоторого n ≥ 1 .
Точка является предпериодической, если F ( к ) ( P ) периодичен для некоторого k ≥ 1 .
(Прямая) орбита P - это множество
Таким образом, P предпериодична тогда и только тогда, когда ее орбита ( OF P ) конечна .
предпериодических точек Теоретико - числовые свойства
Пусть F ( x ) — рациональная функция степени не ниже двух с коэффициентами Q. из Теорема Дугласа Норткотта [2] говорит, что F имеет лишь конечное число Q -рациональных предпериодических точек, т. е. F имеет лишь конечное число предпериодических точек в P 1 ( Q ) . Гипотеза о равномерной ограниченности предпериодических точек [3] Патрика Мортона и Джозефа Сильвермана говорит, что количество предпериодических точек F в P 1 ( Q ) ограничено константой, которая зависит только от степени F .
В более общем смысле, пусть F : P Н → П Н — морфизм степени не ниже двух, определенный над числовым полем K . Теорема Норткотта утверждает, что F имеет лишь конечное число предпериодических точек в П Н ( K ) , а общая гипотеза о равномерной ограниченности говорит, что число предпериодических точек в П Н ( K ) быть ограничено исключительно через N , степень F и степень K над Q. может
Гипотеза о равномерной ограниченности неизвестна даже для квадратичных многочленов F c ( x ) = x 2 + c над рациональными числами Q . В этом случае известно, что F c ( x ) не может иметь периодические точки периода четыре, [4] пять, [5] или шесть, [6] хотя результат для шестого периода зависит от справедливости гипотезы Бёрча и Суиннертона-Дайера . Бьорн Пунен предположил, что F c ( x ) не может иметь рациональных периодических точек с периодом, строго большим трех. [7]
Целочисленные точки на орбитах [ править ]
Орбита рационального отображения может содержать бесконечное количество целых чисел. Например, если F ( x ) — многочлен с целыми коэффициентами и если a — целое число, то ясно, что вся орбита O F ( a ) состоит из целых чисел. Аналогично, если F ( x ) — рациональное отображение и некоторая итерация F ( н ) ( x ) — многочлен с целыми коэффициентами, то каждая n -я запись в орбите является целым числом. Примером этого явления является отображение F ( x ) = x -д , вторая итерация которого является полиномом. Оказывается, это единственный способ, при котором орбита может содержать бесконечное количество целых чисел.
- Теорема. [8] Пусть F ( x ) ∈ Q ( x ) — рациональная функция степени не ниже двух, и предположим, что никакая итерация [9] F . является полиномом Пусть а € Q. орбита OF a ( Тогда ) содержит лишь конечное число целых чисел.
Динамически определенные точки, лежащие на подмножествах [ править ]
Есть общие предположения, принадлежащие Шоу Чжану. [10] и другие, касающиеся подмногообразий, содержащих бесконечное число периодических точек или пересекающих орбиту в бесконечном числе точек. Это динамические аналоги соответственно гипотезы Манина–Мамфорда , доказанной Мишелем Рейно , и гипотезы Морделла–Ланга , доказанной Гердом Фалтингсом . Следующие гипотезы иллюстрируют общую теорию в случае, когда подмногообразие является кривой.
- Гипотеза. Пусть F : P Н → П Н — морфизм, и пусть C ⊂ P Н — неприводимая алгебраическая кривая. Предположим, что существует точка P ∈ P Н такой, что содержит бесконечно много точек на орбите OF P ( C ) . Тогда C периодичен для F в том смысле, что существует некоторая итерация F ( к ) из F, который отображает C в себя.
p -адическая динамика [ править ]
Область p -адической (или неархимедовой) динамики представляет собой изучение классических динамических вопросов над полем K , полным относительно неархимедовой абсолютной величины. Примерами таких полей являются поле p -адических рациональных чисел Q p и пополнение его алгебраического замыкания C p . Метрика на K и стандартное определение равнонепрерывности приводят к обычному определению множеств Фату и Жюлиа рационального отображения F ( x ) ∈ K ( x ) . Между комплексной и неархимедовой теориями есть много сходства, но также и много различий. Поразительное отличие состоит в том, что в неархимедовой ситуации множество Фату всегда непусто, но множество Жюлиа может быть пустым. Это противоположно тому, что справедливо для комплексных чисел. Неархимедова динамика была распространена на пространство Берковича . [11] которое представляет собой компактное связное пространство, содержащее вполне несвязное нелокально компактное поле C p .
Обобщения [ править ]
Существуют естественные обобщения арифметической динамики, в которых Q и Q p заменяются числовыми полями и их p -адическими пополнениями. Другое естественное обобщение — заменить автокарты P 1 или П Н с автоотображениями (морфизмами) V → V других аффинных или проективных многообразий .
Другие области взаимодействия теории чисел и динамики
Есть много других проблем теоретико-числового характера, которые возникают в контексте динамических систем, в том числе:
- динамика над конечными полями .
- динамика над функциональными полями, такими как C ( x ) .
- итерация формальных и p -адических степенных рядов .
- динамика на группах Ли .
- арифметические свойства динамически определенных пространств модулей .
- равнораспределение [12] и инвариантные меры , особенно в p -адических пространствах.
- динамика на модулях Дринфельда .
- теоретико-числовые итерационные задачи, не описываемые рациональными отображениями на многообразиях, например задача Коллатца .
- символические кодировки динамических систем, основанные на явных арифметических разложениях действительных чисел. [13]
Справочный список по арифметической динамике содержит обширный список статей и книг, охватывающих широкий спектр тем, связанных с арифметической динамикой.
См. также [ править ]
Примечания и ссылки [ править ]
- ^ Сильверман, Джозеф Х. (2007). Арифметика динамических систем . Тексты для аспирантов по математике. Том. 241. Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/978-0-387-69904-2 . ISBN 978-0-387-69903-5 . МР 2316407 .
- ^ Норткотт, Дуглас Джеффри (1950). «Периодические точки на алгебраическом многообразии». Анналы математики . 51 (1): 167–177. дои : 10.2307/1969504 . JSTOR 1969504 . МР 0034607 .
- ^ Мортон, Патрик; Сильверман, Джозеф Х. (1994). «Рациональные периодические точки рациональных функций» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1994 (2): 97–110. дои : 10.1155/S1073792894000127 . МР 1264933 .
- ^ Мортон, Патрик (1992). «Арифметические свойства периодических точек квадратичных отображений» . Акта Арифметика . 62 (4): 343–372. дои : 10.4064/aa-62-4-343-372 . МР 1199627 .
- ^ Флинн, Юджин В.; Пунен, Бьёрн; Шефер, Эдвард Ф. (1997). «Циклы квадратных полиномов и рациональные точки на кривой рода 2». Математический журнал Дьюка . 90 (3): 435–463. arXiv : математика/9508211 . дои : 10.1215/S0012-7094-97-09011-6 . МР 1480542 . S2CID 15169450 .
- ^ Столл, Майкл (2008). «Рациональные 6-циклы при итерации квадратных полиномов». LMS Журнал вычислений и математики . 11 : 367–380. arXiv : 0803.2836 . Бибкод : 2008arXiv0803.2836S . дои : 10.1112/S1461157000000644 . МР 2465796 . S2CID 14082110 .
- ^ Пунен, Бьорн (1998). «Классификация рациональных предпериодических точек квадратичных многочленов над Q : уточненная гипотеза». Mathematische Zeitschrift . 228 (1): 11–29. дои : 10.1007/PL00004405 . МР 1617987 . S2CID 118160396 .
- ^ Сильверман, Джозеф Х. (1993). «Целочисленные точки, диофантова аппроксимация и итерация рациональных карт». Математический журнал Дьюка . 71 (3): 793–829. дои : 10.1215/S0012-7094-93-07129-3 . МР 1240603 .
- ^ Элементарная теорема гласит, что если F ( x ) ∈ C ( x ) и если некоторая итерация F является полиномом, то уже вторая итерация является полиномом.
- ^ Чжан, Шоу-Ву (2006). «Распределения в алгебраической динамике». В Яу, Шинг Тунг (ред.). Дифференциальная геометрия: дань уважения профессору С.-С. Черн . Обзоры по дифференциальной геометрии. Том. 10. Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. стр. 381–430. дои : 10.4310/SDG.2005.v10.n1.a9 . ISBN 978-1-57146-116-2 . МР 2408228 .
- ^ Румели, Роберт ; Бейкер, Мэтью (2010). Теория потенциала и динамика на проективной прямой Берковича . Математические обзоры и монографии. Том. 159. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. arXiv : math/0407433 . дои : 10.1090/surv/159 . ISBN 978-0-8218-4924-8 . МР 2599526 .
- ^ Гранвилл, Эндрю; Рудник, Зеев, ред. (2007). Равнораспределение в теории чисел, введение . Серия НАТО по науке II: Математика, физика и химия. Том. 237. Дордрехт: Springer Нидерланды. дои : 10.1007/978-1-4020-5404-4 . ISBN 978-1-4020-5403-7 . МР 2290490 .
- ^ Сидоров, Никита (2003). «Арифметическая динамика». В Безуглом, Сергей; Коляда, Сергей (ред.). Вопросы динамики и эргодической теории. Обзорные статьи и мини-курсы, представленные на международной конференции и американо-украинском семинаре по динамическим системам и эргодической теории, Кацивели, Украина, 21–30 августа 2000 г. Лонд. Математика. Соц. Лект. Примечание Сер. Том. 310. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 145–189. дои : 10.1017/CBO9780511546716.010 . ISBN 0-521-53365-1 . МР 2052279 . S2CID 15482676 . Збл 1051.37007 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Конспект лекций по арифметической динамике Зимней школы Аризоны , 13–17 марта 2010 г., Джозеф Х. Сильверман
- Глава 15 первого курса динамики: с панорамой последних событий , Борис Хассельблатт, А.Б. Каток, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-58750-1
Внешние ссылки [ править ]
- «Арифметика динамических систем» Домашняя страница
- Библиография по арифметической динамике
- Анализ и динамика на проективной линии Берковича
- Рецензия на книгу Джозефа Х. Сильвермана «Арифметика динамических систем», рецензия Роберта Л. Бенедетто
