Джулия сет

Набор Джулии

Продолжительность: 13 секунд. 0:13

Увеличьте масштаб набора Жюлиа на комплексной z-плоскости с помощью комплекснозначной полиномиальной функции второй степени.
$p(z)=z^{2}+c$
и параметры
c _re = c _im = -0,5251993

Продолжительность: 6 секунд. 0:06

Трехмерные срезы (четырехмерного) множества Жюлиа функции на кватернионах

В контексте сложной динамики , раздела математики , множество Жюлиа и множество Фату представляют собой два взаимодополняющих множества («кружева» Жюлиа и «пыль» Фату), определенные из функции . Неформально множество Фату функции состоит из значений, обладающих свойством, что все ближайшие значения ведут себя одинаково при повторной итерации функции, а множество Жюлиа состоит из значений таких, что сколь угодно малое возмущение может вызвать резкие изменения в последовательности итерации функции. ценности. Таким образом, поведение функции на множестве Фату «регулярно», а на множестве Жюлиа — « хаотично ».

Множество Жюлиа функции f обычно обозначается $\operatorname {J} (f),$ а множество Фату обозначается $\operatorname {F} (f).$ Эти множества названы в честь французского математика Гастона Жюли. и Пьер Фату чьи работы положили начало изучению сложной динамики в начале 20 века.

Формальное определение

Позволять $f(z)$ — непостоянная голоморфная функция из сферы Римана на себя. Такие функции $f(z)$ являются в точности непостоянными комплексными рациональными функциями , то есть $f(z)=p(z)/q(z)$ где $p(z)$ и $q(z)$ являются комплексными полиномами . Предположим, что p и q не имеют общих корней и хотя бы один имеет степень больше 1. Тогда существует конечное число открытых множеств. $F_{1},...,F_{r}$ которые остаются инвариантными $f(z)$ и таковы, что:

1. Объединение ​ множеств $F_{i}$ плотен и в плоскости
2. $f(z)$ ведет себя регулярно и одинаково на каждом из множеств $F_{i}$.

Последнее утверждение означает, что концы последовательности итераций, порожденных точками $F_{i}$ либо являются одним и тем же множеством, которое тогда является конечным циклом, либо представляют собой конечные циклы множеств круговой или кольцевой формы, лежащих концентрически. В первом случае цикл притягивает , во втором – нейтральен .

Эти наборы $F_{i}$ являются доменами Фату $f(z)$, и их объединение — множество Фату $\operatorname {F} (f)$ из $f(z)$. Каждый из доменов Фату содержит по крайней мере одну критическую точку $f(z)$, то есть (конечная) точка z , удовлетворяющая $f'(z)=0$, или $f(z)=\infty$ если степень числителя $p(z)$ как минимум на два больше степени знаменателя $q(z)$, или если $f(z)=1/g(z)+c$ для некоторого c и рациональной функции $g(z)$ удовлетворяющее этому условию.

Дополнение $\operatorname {F} (f)$ это набор Джулии $\operatorname {J} (f)$ из $f(z)$. Если все критические точки являются предпериодическими, то есть они не периодические, а в конечном итоге попадают в периодический цикл, то $\operatorname {J} (f)$ это все сфера. В противном случае, $\operatorname {J} (f)$ — нигде не плотное множество (оно не имеет внутренних точек) и несчетное множество (той же мощности, что и действительные числа). Нравиться $\operatorname {F} (f)$, $\operatorname {J} (f)$ остается инвариантным $f(z)$, и на этом множестве итерация является отталкивающей, то есть $|f(z)-f(w)|>|z-w|$ для всех w в окрестности z (в пределах $\operatorname {J} (f)$). Это означает, что $f(z)$ ведет себя хаотично на съемочной площадке Джулии. Хотя в множестве Жюлиа есть точки, последовательность итераций которых конечна, таких точек лишь счетное число (и они составляют бесконечно малую часть множества Жюлиа). Последовательности, генерируемые точками вне этого набора, ведут себя хаотично, это явление называется детерминированным хаосом .

Было проведено обширное исследование множества Фату и множества Жюлиа итерированных рациональных функций , известных как рациональные карты. Например, известно, что множество Фату рационального отображения имеет либо 0, 1, 2, либо бесконечное число компонент . Каждый компонент множества Фату рациональной карты можно отнести к одному из четырех различных классов .

Эквивалентные описания множества Джулии

• $\operatorname {J} (f)$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее не менее трёх точек, полностью инвариантное относительно f .
• $\operatorname {J} (f)$ есть замыкание множества отталкивающихся периодических точек .
• Для всех, кроме не более двух точек $\;z\in X\;,$ множество Жюлиа - это набор предельных точек полной обратной орбиты. $\bigcup _{n}f^{-n}(z).$ (Это предполагает простой алгоритм построения множеств Жюлиа, см. ниже.)
• Если f — целая функция , то $\operatorname {J} (f)$ является границей множества точек, которые сходятся к бесконечности при итерации.
• Если f — полином, то $\operatorname {J} (f)$ – граница заполненного множества Жюлиа ; то есть те точки, орбиты которых при итерациях f остаются ограниченными.

Свойства множества Жюлиа и множества Фату

Множество Жюлиа и множество Фату функции f относительно полностью инвариантны итераций голоморфной функции f :

$f^{-1}(\operatorname {J} (f))=f(\operatorname {J} (f))=\operatorname {J} (f),$

$f^{-1}(\operatorname {F} (f))=f(\operatorname {F} (f))=\operatorname {F} (f).$

Примеры

Для $f(z)=z^{2}$ множество Жюлиа представляет собой единичный круг, и в нем итерация задается удвоением углов (операция, которая является хаотичной для точек, аргумент которых не является рациональной дробью $2\pi$). Существует две области Фату: внутренняя и внешняя часть круга с итерацией в направлении 0 и ∞ соответственно.

Для $g(z)=z^{2}-2$ набор Жюлиа — это отрезок между −2 и 2. Существует одна область Фату : точки, не находящиеся на отрезке, перемещаются в направлении ∞. (Помимо сдвига и масштабирования области, эта итерация эквивалентна $x\to 4(x-{\tfrac {1}{2}})^{2}$ на единичном интервале, который обычно используется как пример хаотической системы.)

Функции f и g имеют вид $z^{2}+c$, где c — комплексное число. Для такой итерации множество Жюлиа вообще не является простой кривой, а представляет собой фрактал, и при некоторых значениях c оно может принимать удивительные формы. Смотрите фотографии ниже.

Набор Джулии (белым цветом) для рациональной функции, связанной с методом Ньютона для f : z → z ³ −1. Окраска Фату задана красными, зелеными и синими тонами в соответствии с тремя аттракторами (тремя корнями f ).

Для некоторых функций f ( z ) мы можем заранее сказать, что множество Жюлиа является фракталом, а не простой кривой. Это связано со следующим результатом об итерациях рациональной функции:

Теорема . Каждая из областей Фату имеет одну и ту же границу, которая, следовательно, является множеством Жюлиа.

Это означает, что каждая точка множества Жюлиа является точкой накопления для каждого из доменов Фату. Следовательно, если существует более двух областей Фату, каждая точка множества Жюлиа должна иметь точки более чем двух различных открытых множеств, бесконечно близких, а это означает, что множество Жюлиа не может быть простой кривой. Это явление происходит, например, когда f ( z ) является итерацией Ньютона для решения уравнения $\;P(z):=z^{n}-1=0~:~n>2\;$:

$f(z)=z-{\frac {P(z)}{P'(z)}}={\frac {\;1+(n-1)z^{n}\;}{nz^{n-1}}}~.$

На изображении справа показан случай n = 3.

Квадратичные полиномы

Очень популярная комплексная динамическая система представляет собой семейство комплексных квадратных многочленов , частный случай рациональных отображений . Такие квадратичные полиномы можно выразить как

$f_{c}(z)=z^{2}+c~,$

где c — комплексный параметр. Исправьте некоторые $R>0$ достаточно большой, чтобы $R^{2}-R\geq |c|.$ (Например, если c находится в множестве Мандельброта , то $|c|\leq 2,$ поэтому мы можем просто позволить $R=2~.$) Тогда заполненное множество Жюлиа для этой системы является подмножеством комплексной плоскости, заданным формулой

$K(f_{c})=\left\{z\in \mathbb {C} :\forall n\in \mathbb {N} ,|f_{c}^{n}(z)|\leq R\right\}~,$

где $f_{c}^{n}(z)$ это n я итерация - $f_{c}(z).$ Набор Юлии $J(f_{c})$ этой функции является границей $K(f_{c})$.

• 
  Юлия готовится к $z^{2}+0.7885\,e^{ia},$ где а находится в диапазоне от 0 до $2\pi$
• Видео с наборами Джулии слева
• 
  Заполненный набор Жюлиа для f _c , c = 1 − φ , где φ — золотое сечение
• 
  Набор Джулии для f _c , c = ( φ - 2) + ( φ - 1) i = -0,4 + 0,6 i
• 
  Набор Юлии для f _c , c = 0,285 + 0 i
• 
  Набор Юлии для f _c , c = 0,285 + 0,01 i
• 
  Набор Юлии для f _c , c = 0,45 + 0,1428 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = −0,70176 − 0,3842 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = −0,835 − 0,2321 i
• 
  Набор Юлии для f _c , c = −0,8 + 0,156 i
• 
  Набор Джулии для f _c , v c = −0,7269 + 0,1889 i
• 
  Набор Джулии для f _c , c = 0,8 i
• 
  Набор Юлии для f _c , c = 0,35 + 0,35 i
• 
  Набор Юлии для f _c , c = 0,4 + 0,4 i
• 
  Коллекция наборов Джулии, расположенных в сетке 100 × 100, так что центр каждого изображения соответствует тому же положению в комплексной плоскости, что и значение набора. При такой компоновке общее изображение напоминает фотографическую мозаику, изображающую множество Мандельброта .

Плоскость параметров квадратичных полиномов, то есть плоскость возможных значений c , порождает знаменитое множество Мандельброта . Действительно, множество Мандельброта определяется как множество всех c таких, что $J(f_{c})$ подключен ​ . Для параметров вне множества Мандельброта множество Жюлиа является канторовым пространством : в этом случае его иногда называют пылью Фату .

Во многих случаях множество Жюлиа c выглядит как множество Мандельброта в достаточно малых окрестностях c . Это справедливо, в частности, для так называемых параметров Мисюревича , т. е. параметров c , для которых критическая точка предпериодична. Например:

• При c = i , более коротком переднем пальце передней части стопы, набор Джулии выглядит как разветвленная молния.
• В точке c = −2, на кончике длинного остроконечного хвоста, множество Джулии представляет собой отрезок прямой.

Другими словами, множества Джулии $J(f_{c})$ локально аналогичны в районе точек Мисюревича .

Обобщения

Определение множеств Жюлиа и Фату легко переносится на случай некоторых карт, изображение которых содержит их область определения; в первую очередь трансцендентные мероморфные функции Адама Эпштейна и карты конечного типа .

Множества Жюлиа также обычно определяются при изучении динамики нескольких комплексных переменных.

Псевдокод

Приведенные ниже реализации псевдокода жестко кодируют функции для каждого фрактала. Рассмотрите возможность реализации сложных числовых операций, чтобы обеспечить более динамичный и многократно используемый код.

Псевдокод для обычных множеств Джулии

$f(z)=z^{2}+c$

R = escape radius  # choose R > 0 such that R**2 - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)

for each pixel (x, y) on the screen, do:   
{
    zx = scaled x coordinate of pixel; # (scale to be between -R and R)
       # zx represents the real part of z.
    zy = scaled y coordinate of pixel; # (scale to be between -R and R)
       # zy represents the imaginary part of z.

    iteration = 0;
    max_iteration = 1000;
  
    while (zx * zx + zy * zy < R**2  AND  iteration < max_iteration) 
    {
        xtemp = zx * zx - zy * zy;
        zy = 2 * zx * zy  + cy;
        zx = xtemp + cx;
    
        iteration = iteration + 1;
    }
  
    if (iteration == max_iteration)
        return black;
    else
        return iteration;
}

Псевдокод для мульти-множеств Джулии

$f(z)=z^{n}+c$

R = escape radius #  choose R > 0 such that R**n - R >= sqrt(cx**2 + cy**2)

for each pixel (x, y) on the screen, do:
{
    zx = scaled x coordinate of pixel; # (scale to be between -R and R)
    zy = scaled y coordinate of pixel; # (scale to be between -R and R)
  
    iteration = 0;
    max_iteration = 1000;
  
    while (zx * zx + zy * zy < R**2  AND  iteration < max_iteration) 
    {
        xtmp = (zx * zx + zy * zy) ^ (n / 2) * cos(n * atan2(zy, zx)) + cx;
	    zy = (zx * zx + zy * zy) ^ (n / 2) * sin(n * atan2(zy, zx)) + cy;
	    zx = xtmp;
    
        iteration = iteration + 1;
    } 
    if (iteration == max_iteration)
        return black;
    else
        return iteration;
}

Другой рекомендуемый вариант — уменьшить цветовые полосы между итерациями, используя формулу перенормировки для итерации.

Дана такая формула:

$mu=k+1-{\frac {\log {\log {|z_{k}|}}}{\log {n}}}$

$\forall f_{c,n}(z)=z^{n}+{\text{lower power terms}}+c$

где $k$ — это экранирующая итерация, ограниченная некоторым $K$ такой, что $0\leq k<K$ и $K\in \mathbb {N}$, и $|z_{k}|$ — это величина последней итерации перед выходом.

Это можно реализовать очень просто, вот так:

# simply replace the last 4 lines of code from the last example with these lines of code:

if(iteration == max_iteration)
    return black;
else    
    abs_z = zx * zx + zy * zy;
    return iteration + 1 - log(log(abs_z))/log(n);

Разница показана ниже с набором Джулиа, определенным как $f_{c,2}(z)$ где $c=-0.835-0.321i$.

Комплект Юля с цветной окантовкой и без.

• 
  С цветной полосой
• 
  Без цветной полоски

Потенциальная функция и реальный номер итерации

Набор Юлии для $f(z)=z^{2}$ — единичный круг, а во внешней области Фату потенциальная функция φ ( z ) определяется формулой φ ( z ) = log| г |. Эквипотенциальные линии этой функции представляют собой концентрические окружности. Как $|f(z)|=|z|^{2}$ у нас есть

$\varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}},$

где $z_{k}$ — это последовательность итераций, генерируемая z . Для более общей итерации $f(z)=z^{2}+c$, было доказано, что если множество Жюлиа связно (т. е. если c принадлежит (обычному) множеству Мандельброта), то существует биголоморфное отображение ψ между внешней областью Фату и внешней частью единичного круга такое, что $|\psi (f(z))|=|\psi (z)|^{2}$. Это означает, что потенциальная функция во внешней области Фату, определяемая этим соответствием, имеет вид:

$\varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}}.$

Эта формула имеет смысл и в том случае, если множество Жюлиа несвязно, так что мы для всех c можем определить по этой формуле потенциальную функцию в области Фату, содержащей ∞. Для общей рациональной функции f ( z ) такой, что ∞ является критической точкой и неподвижной точкой, то есть такой, что степень m числителя по крайней мере в два раза больше степени n знаменателя, мы определяем потенциальную функцию в области Фату, содержащей ∞, следующим образом:

$\varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}},$

где d = m − n — степень рациональной функции.

Если N очень большое число (например, 10 ¹⁰⁰ ), и если k — номер первой итерации такой, что $|z_{k}|>N$, у нас это есть

${\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}}={\frac {\log(N)}{d^{\nu (z)}}},$

для некоторого действительного числа $\nu (z)$, который следует рассматривать как реальный номер итерации , и мы имеем следующее:

$\nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}|/\log(N))}{\log(d)}},$

где последнее число находится в интервале [0, 1).

Для итерации к конечному притягивающему циклу порядка r мы имеем это, если $z^{*}$ является точкой цикла, то $f(f(...f(z^{*})))=z^{*}$ ( r -кратная композиция) и число

$\alpha ={\frac {1}{\left|(d(f(f(\cdots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}\right|}}\qquad (>1)$

это притяжение цикла. Если w — точка очень близкая $z^{*}$ и w ′ повторяется раз r , мы имеем, что

$\alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {|w-z^{*}|}{|w'-z^{*}|}}.$

Следовательно, число $|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k}$ почти не зависит от k . Мы определяем потенциальную функцию в области Фату следующим образом:

$\varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{(|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k})}}.$

Если ε — очень маленькое число, а k — номер первой итерации такой, что $|z_{k}-z^{*}|<\epsilon$, у нас это есть

$\varphi (z)={\frac {1}{(\varepsilon \alpha ^{\nu (z)})}}$

для некоторого действительного числа $\nu (z)$, который следует рассматривать как реальный номер итерации, и мы имеем следующее:

$\nu (z)=k-{\frac {\log(\varepsilon /|z_{k}-z^{*}|)}{\log(\alpha )}}.$

Если притяжение равно ∞, что означает, что цикл является сверхпритягивающим , что еще раз означает, что одна из точек цикла является критической точкой, мы должны заменить α на

$\alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |w'-z^{*}|}{\log |w-z^{*}|}},$

где w ′ повторяется раз r , а формула для φ ( z ) выглядит следующим образом:

$\varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log(1/|z_{kr}-z^{*}|)}{\alpha ^{k}}}.$

И теперь реальный номер итерации определяется следующим образом:

$\nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}-z^{*}|/\log(\varepsilon ))}{\log(\alpha )}}.$

Для раскраски нам необходима циклическая шкала цветов (построенная, например, математически) и содержащая H цветов с номерами от 0 до H −1 ( H например, = 500). Умножаем действительное число $\nu (z)$ фиксированным действительным числом, определяющим плотность цветов на картинке, и взять целую часть этого числа по H. модулю

Определение потенциальной функции и наш способ раскраски предполагают, что цикл притягивает, то есть не нейтрален. Если цикл нейтрален, мы не можем раскрасить область Фату естественным образом. Поскольку конечная точка итерации представляет собой вращающееся движение, мы можем, например, раскрасить минимальное расстояние от цикла, оставленного фиксированным итерацией.

Линии поля

Эквипотенциальные линии для итерации по направлению к бесконечности

Строки поля для итерации формы ${\frac {(1-z^{3}/6)}{(z-z^{2}/2)^{2}}}+c$

В каждой области Фату (которая не является нейтральной) существуют две системы линий, ортогональных друг другу: эквипотенциальные линии (для потенциальной функции или реального номера итерации) и силовые линии .

Если мы раскрасим домен Фату в соответствии с номером итерации (а не реальным номером итерации $\nu (z)$, как определено в предыдущем разделе), полосы итерации показывают ход эквипотенциальных линий. Если итерация направлена ​​в сторону ∞ (как в случае с внешней областью Фату для обычной итерации $z^{2}+c$), мы можем легко показать ход линий поля, а именно, изменив цвет в зависимости от того, находится ли последняя точка в последовательности итераций выше или ниже оси x (первое изображение), но в этом случае (точнее: когда область Фату очень притягивает) мы не можем последовательно нарисовать линии поля — по крайней мере, не методом, который мы здесь описываем. В этом случае силовую линию еще называют внешним лучом .

Пусть z — точка притягивающей области Фату. Если мы повторяем z большое количество раз, концом последовательности итераций будет конечный цикл C область Фату — это (по определению) набор точек, последовательность итераций которых сходится к C. , а Линии поля исходят из точек C и из (бесконечного числа) точек, которые переходят в точку C . И они заканчиваются на множестве Жюлиа в нехаотичных точках (т. е. порождающих конечный цикл). Пусть r — порядок цикла C (количество его точек) и пусть $z^{*}$ точкой в ​​C. быть У нас есть $f(f(\dots f(z^{*})))=z^{*}$ (r-кратная композиция), и мы определяем комплексное число α как

$\alpha =(d(f(f(\dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}.$

точки C Если $z_{i},i=1,\dots ,r(z_{1}=z^{*})$, α — произведение r чисел $f'(z_{i})$. Действительное число 1/|α| — притяжение цикла, и наше предположение, что цикл не является ни нейтральным, ни сверхпритягивающим, означает, что 1 < ⁠ 1 / | α | ⁠ < ∞ . Суть $z^{*}$ является фиксированной точкой для $f(f(\dots f(z)))$, и около этой точки карта $f(f(\dots f(z)))$ имеет (в связи с силовыми линиями) характер вращения с аргументом β от α (т.е. $\alpha =|\alpha |e^{\beta i}$).

Чтобы раскрасить область Фату, мы выбрали небольшое число ε и установили последовательности итераций $z_{k}(k=0,1,2,\dots ,z_{0}=z)$ остановиться, когда $|z_{k}-z^{*}|<\epsilon$, и раскрашиваем точку z в соответствии с номером k (или реальным номером итерации, если мы предпочитаем плавную раскраску). Если мы выберем направление от $z^{*}$ заданный углом θ , силовая линия, выходящая из $z^{*}$ в этом направлении состоит из точек z таких, что аргумент ψ числа $z_{k}-z^{*}$ удовлетворяет условию, что

$\psi -k\beta =\theta \mod \pi .\,$

Ведь если мы пройдем полосу итераций в направлении силовых линий (и в сторону от цикла), номер итерации k увеличится на 1, а число ψ увеличится на β, следовательно, число $\psi -k\beta \mod \pi$ постоянна вдоль силовой линии.

Картинки в полях строк для итерации формы $z^{2}+c$

Раскраска силовых линий области Фату означает, что мы раскрашиваем пространства между парами силовых линий: мы выбираем ряд правильно расположенных направлений, исходящих из $z^{*}$, и в каждом из этих направлений выбираем два направления вокруг этого направления. Поскольку может случиться так, что две линии поля пары не заканчиваются в одной и той же точке множества Джулии, наши цветные линии поля могут разветвляться (бесконечно) на пути к множеству Джулии. Мы можем раскрасить по расстоянию до центральной линии поля, а можем смешать эту раскраску с обычной раскраской. Такие картинки могут быть очень декоративными (вторая картинка).

Цветная линия поля (область между двумя линиями поля) разделена итерационными полосами, и такую ​​часть можно привести во взаимно однозначное соответствие с единичным квадратом: одна координата - это (рассчитывается) расстояние от одной из ограничивающих силовых линий, другая равна (рассчитывается) расстоянию от внутренней части ограничивающих полос итераций (это число является нецелой частью реального номера итерации). Поэтому в линии поля можно поместить картинки (третье изображение).

Построение набора Джулии

Продолжительность: 3 секунды. 0:03

Бинарное разложение интерьера в случае внутреннего угла 0

Методы:

• Метод оценки расстояния для набора Джулии (DEM/J)
• Метод обратной итерации (IIM)

Использование обратной (инверсной) итерации (IIM)

График набора Джулии, созданный с использованием случайного IIM

График набора Джулии, созданный с помощью MIIM

Как упоминалось выше, множество Жюлиа можно найти как множество предельных точек множества прообразов (по существу) любой заданной точки. Итак, мы можем попытаться построить набор Джулии данной функции следующим образом. Начните с любой точки z, которая, как мы знаем, находится в множестве Жюлиа, например, с отталкивающей периодической точки, и вычислите все прообразы z с некоторой высокой итерацией. $f^{n}$ выключенный ​ .

К сожалению, поскольку количество повторенных прообразов растет экспоненциально, это невозможно с вычислительной точки зрения. Однако мы можем настроить этот метод аналогично методу «случайной игры» для систем итерированных функций . То есть на каждом шаге мы случайным образом выбираем один из прообразов f .

Например, для квадратичного многочлена f _c обратная итерация описывается выражением

$z_{n-1}={\sqrt {z_{n}-c}}.$

На каждом шаге случайным образом выбирается один из двух квадратных корней.

Обратите внимание, что к некоторым частям множества Джулии довольно сложно получить доступ с помощью обратного алгоритма Джулии. По этой причине необходимо изменить IIM/J (он называется MIIM/J) или использовать другие методы для получения более качественных изображений.

Использование немецкой марки/J

• Изображения Юлии наборы для ⁠ $f_{c}(z)=z^{2}+c$⁠
• 
  ⁠ $c=-0.74543+0.11301*i$⁠
• 
  ⁠ $c=-0.75+0.11*i$⁠
• 
  ⁠ $c=-0.1+0.651*i$⁠
• 
  Набор Джулии, нарисованный методом оценки расстояния, итерация имеет вид ⁠ $1-z^{2}+z^{5}/(2+4z)+c$⁠
• 
  Трехмерная визуализация набора Джулии с использованием оценки расстояния

Поскольку набор Жюлиа бесконечно тонкий, мы не можем эффективно отрисовать его путем обратной итерации от пикселей. Он будет выглядеть фрагментированным из-за непрактичности рассмотрения бесконечного числа отправных точек. Поскольку количество итераций сильно меняется вблизи набора Жюлиа, частичным решением является создание контура набора из ближайших цветовых контуров, но набор будет выглядеть мутным.

Лучший способ нарисовать набор Джулии в черно-белом цвете — оценить расстояние пикселей (DEM) от набора и раскрасить каждый пиксель, центр которого близок к набору. Формула для оценки расстояния выводится из формулы для потенциальной функции φ ( z ). Когда эквипотенциальные линии для φ ( z ) расположены близко, число $|\varphi '(z)|$ велика, и, наоборот, поэтому эквипотенциальные линии для функции $\delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|$ должно лежать примерно регулярно. Доказано, что значение, найденное по этой формуле (с точностью до постоянного множителя), сходится к истинному расстоянию для z, сходящемся к множеству Жюлиа.

Мы предполагаем, что f ( z ) рационально, т. е. $f(z)=p(z)/q(z)$ где p ( z ) и q ( z ) — комплексные многочлены степеней m и n соответственно, и нам нужно найти производную приведенных выше выражений для φ ( z ). И так как только $z_{k}$ что меняется, мы должны вычислить производную $z'_{k}$ из $z_{k}$ относительно з . Но как $z_{k}=f(f(\cdots f(z)))$ ( k -кратная композиция), $z'_{k}$ это произведение чисел $f'(z_{k})$, и эта последовательность может быть вычислена рекурсивно с помощью $z'_{k+1}=f'(z_{k})z'_{k}$, начиная с $z'_{0}=1$ ( до расчета следующей итерации $z_{k+1}=f(z_{k})$).

Для итерации в направлении ∞ (точнее, когда m ≥ n + 2 , так что ∞ является суперпритягивающей фиксированной точкой), мы имеем

$|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }{\frac {|z'_{k}|}{|z_{k}|d^{k}}},$

( d = m − n ) и, следовательно:

$\delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }\log |z_{k}||z_{k}|/|z'_{k}|.\,$

Для итерации к конечному притягивающему циклу (который не является суперпритягивающим), содержащему точку ⁠ $z^{*}$⁠ и имея порядок r , мы имеем

$|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z'_{kr}|/(|z_{kr}-z^{*}|^{2}\alpha ^{k}),\,$

и следовательно:

$\delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z_{kr}-z^{*}|/|z'_{kr}|.\,$

Для цикла суперпритяжения формула такова:

$\delta (z)=\lim _{k\to \infty }\log |z_{kr}-z^{*}|^{2}/|z'_{kr}|.\,$

Мы вычисляем это число, когда итерация останавливается. Обратите внимание, что оценка расстояния не зависит от привлекательности цикла. Это означает, что оно имеет смысл для трансцендентных функций «степени бесконечности» (например, sin( z ) и tan( z )).

Помимо рисования границы, функцию расстояния можно ввести как третье измерение, чтобы создать сплошной фрактальный ландшафт.

См. также

• Кролик Дуади
• Установлен лимит
• Устойчивые и неустойчивые множества.
• Теорема об отсутствии блуждающей области
• Теория хаоса

Библиография

• Карлесон, Леннарт ; Гамелен, Теодор В. (1993). Сложная динамика . Спрингер.
• Дуади, Адриан; Хаббард, Джон Х. (1984). «Динамическое исследование комплексных многочленов». Математические предварительные публикации Орсе . 2 ;   «[ указ.цит. ]». Математические предварительные публикации Орсе . 4 . 1985.
• Милнор, JW (2006) [1990]. Динамика в одной комплексной переменной . Анналы математических исследований. Том. 160 (Третье изд.). Издательство Принстонского университета;
  Впервые появился в качестве «Препринт IMS Стоуни-Брук» . Архивировано из оригинала 24 апреля 2006 г. доступен как Милнор, Джон В. (1990). «Динамика одной комплексной переменной: Вводные лекции». arXiv : math.DS/9201272 .
• Богомольный, Александр . «Множество Мандельброта и индексирование множеств Жюлиа» . разрезать узел . Учебная программа по алгебре.
• Демидов, Евгений (2003). «Анатомия множеств Мандельброта и Юлии» .
• Бердон, Алан Ф. (1991). Итерация рациональных функций . Спрингер. ISBN  0-387-95151-2 .

Внешние ссылки

• «Набор Юлии» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Джулия Сет» . Математический мир .
• Бурк, Пол. "Юлия сет фрактал (2D)" (персональный сайт).
• Сойер, Джейми (6 апреля 2007 г.). «Юля сеты» (блог).
• Макгудвин, Майкл. «Джулия драгоценности: исследование наборов Джулии» (персональный сайт).
• Прингл, Люси. "Круги на полях Юлии Сет" (персональный сайт).
• Грейг, Джош. «Интерактивный апплет набора Джулии» . Архивировано из оригинала 26 марта 2012 г.
• Джойс, Дэвид Э. «Исследователь множеств Джулии и Мандельброт» (личный академический сайт). Университет Кларка.
• «Простая программа для генерации множеств Джулии» . liazardie.com . Архивировано из оригинала 17 марта 2011 г. – Windows, 370 КБ
• «Коллекция апплетов» . СоурсФордж . – один из апплетов может отображать наборы Джулии через системы итерированных функций.
• «Юля знакомится с HTML5» . Лаборатории Google. Архивировано из оригинала 18 февраля 2011 г. Генератор фракталов HTML5 для вашего браузера
• «Юлия» . r-project.org . Пакет GNU R. 25 ноября 2014 г. сгенерировать набор Юлии или Мандельброта для заданного региона и разрешения.
• «Юля наборы» . – Визуальное объяснение Юлии Сетс.
• «ФракталТС» . github.io . - Мандельброт, Горящий корабль и соответствующий генератор множества Юлии.
• "Юлия, набор изображений, онлайн-рендеринг" . Finengin.net .
• «Понимание множеств Юлии и Мандельброта» . - Визуальное объяснение.