Канторово пространство

В математике пространство Кантора , названное в честь Георга Кантора , представляет собой топологическую абстракцию классического множества Кантора : топологическое пространство является пространством Кантора, если оно гомеоморфно множеству Кантора. В теории множеств топологическое пространство 2 ^ой называется «канторовым пространством».

Примеры

Канторово множество само по себе является канторовым пространством. Но каноническим примером канторова пространства является счетное топологическое произведение дискретного двухточечного пространства {0, 1}. Обычно это записывается как $2^{\mathbb {N} }$ или 2 ^ой (где 2 обозначает 2-элементное множество {0,1} с дискретной топологией ). Очко из 2 ^ой представляет собой бесконечную двоичную последовательность, то есть последовательность, которая принимает только значения 0 или 1. Учитывая такую ​​последовательность a ₀ , a ₁ , a ₂ ,..., можно сопоставить ее с действительным числом

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n+1}}}.$

Это отображение дает гомеоморфизм из 2 ^ой на множество Кантора, демонстрируя, что 2 ^ой действительно является канторовым пространством.

Канторовы пространства широко встречаются в реальном анализе . Например, они существуют как подпространства в каждом совершенном , полном метрическом пространстве . (Чтобы убедиться в этом, заметим, что в таком пространстве любое непустое совершенное множество содержит два непересекающихся непустых совершенных подмножества сколь угодно малого диаметра, поэтому можно имитировать конструкциюобычного канторова множества .) Кроме того, каждое несчетное , сепарабельное , вполне метризуемое пространство содержитКанторовы пространства как подпространства. Сюда входит большинство общих пространств реального анализа.

Характеристика

Топологическая характеристика канторовых пространств дается теоремой Брауэра :

Любые два непустых бикомпакта , не имеющие изолированных точек и имеющие счетные базы, состоящие из открыто-замкнутых множеств, гомеоморфны друг другу.

Топологическое свойство наличия базы, состоящей из открыто-замкнутых множеств, иногда называют « нульмерностью ». Теорему Брауэра можно переформулировать так:

Топологическое пространство является канторовым тогда и только тогда, когда оно непусто, совершенно , компактно, вполне несвязно и метризуемо .

Эта теорема также эквивалентна (через теорему Стоуна о представлении булевых алгебр ) тому факту, что любые две булевы алгебры изоморфны счетные безатомные .

Свойства

Как и следовало ожидать из теоремы Брауэра, канторовы пространства существуют в нескольких формах. Но многие свойства канторовых пространств можно установить, используя 2 ^ой , потому что его конструкция как продукта делает его поддающимся анализу.

Канторовы пространства обладают следующими свойствами:

• Мощность равна любого канторова пространства $2^{\aleph _{0}}$, то есть мощность континуума .
• Произведение двух (или даже любого конечного или счетного числа) канторовых пространств является канторовым пространством. Наряду с функцией Кантора этот факт можно использовать для построения кривых, заполняющих пространство .
• (Непустое) хаусдорфово топологическое пространство компактно метризуемо тогда и только тогда, когда оно является непрерывным образом канторова пространства.

Пусть C ( X ) обозначает пространство всех вещественных, ограниченных непрерывных функций на топологическом X. пространстве Пусть K обозначает компактное метрическое пространство , а ∆ обозначает канторово множество. Тогда множество Кантора обладает следующим свойством:

• C ( K ) изометрично замкнутому подпространству C ( ∆).

В общем, эта изометрия не уникальна и, следовательно, не является универсальным свойством в категориальном смысле.

• Группа всех гомеоморфизмов канторова пространства проста .

См. также

• Космос (математика)
• Канторовский набор
• Канторов куб

Ссылки

• Кекрис, А. (1995). Классическая описательная теория множеств ( Тексты для аспирантов по математике, 156 изд.). Спрингер. ISBN  0-387-94374-9 .