Канторов куб
 | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( январь 2020 г. ) |
В математике куб Кантора — это топологическая группа вида {0, 1}. А для некоторого набора A. индексов Его алгебраические и топологические структуры представляют собой прямое произведение группы и топологию произведения над циклической группой порядка 2 (которая сама имеет дискретную топологию ).
Если A — счетное бесконечное множество , соответствующий канторов куб является канторовым пространством . Канторовы кубы занимают особое место среди компактных групп , поскольку каждая компактная группа является непрерывным образом единицы, хотя обычно не является гомоморфным образом. (Литература может быть неясной, поэтому в целях безопасности предположим, что все пространства являются хаусдорфовыми .)
Топологически любой канторовский куб представляет собой:
- однородный ;
- компактный ;
- нульмерный ;
- AE(0) — абсолютный расширитель компактных нульмерных пространств. (Каждое отображение замкнутого подмножества такого пространства в канторов куб распространяется на все пространство.)
По теореме Щепина эти четыре свойства характеризуют канторовы кубы; любое пространство, удовлетворяющее этим свойствам, гомеоморфно канторову кубу.
Фактически, каждое пространство AE(0) является непрерывным образом канторова куба, и приложив некоторые усилия, можно доказать, что каждая компактная группа является AE(0). Отсюда следует, что каждая нульмерная компактная группа гомеоморфна канторову кубу, а каждая компактная группа является непрерывным образом канторова куба.
Ссылки
[ редактировать ]- Тодорцевич, Стево (1997). Темы топологии . ISBN 3-540-62611-5 .
- А.А. Мальцев (2001) [1994], «Двоеточие» , Энциклопедия Математики , EMS Press