Компактная группа

В математике компактная , ( топологическая ) группа — это топологическая группа которой топология реализует ее как компактное топологическое пространство (при операции над элементом группы результат также находится внутри группы). Компактные группы являются естественным обобщением конечных групп с дискретной топологией и обладают существенным переносом свойств. У компактных групп есть хорошо понятная теория в отношении групповых действий и теории представлений .

В дальнейшем мы будем предполагать, что все группы являются хаусдорфовыми пространствами .

Компактные Ли группы

Группы Ли образуют класс топологических групп, а компактные группы Ли имеют особенно хорошо развитую теорию. Основные примеры компактных групп Ли включают ^[1]

T группа окружностей и группы тора T ^н,
ортогональная группа O( n ), специальная ортогональная группа SO( n ) и ее накрывающая спиновая группа Spin( n ),
унитарная группа U( n ) и специальная унитарная группа SU( n ),
компактные формы исключительных групп Ли : G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ и E ₈ .

Классификационная теорема компактных групп Ли утверждает, что с точностью до конечных расширений и конечных накрытий этим исчерпывается список примеров (который уже включает в себя некоторые избыточности). Более подробно эта классификация описана в следующем подразделе.

Классификация [ править ]

Для любой компактной группы Ли G можно взять ее единичную компоненту G0 _, которая связна . Факторгруппа , G / G0 _G — это группа компонентов π0 ₍ G ) которая должна быть конечной, поскольку компактна . Таким образом, мы имеем конечное расширение

1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.

В то же время для связных компактных групп Ли мы имеем следующий результат: ^[2]

Теорема : Каждая связная компактная группа Ли является фактором по конечной центральной подгруппе произведения односвязной компактной группы Ли и тора.

Таким образом, классификация связных компактных групп Ли в принципе может быть сведена к знанию односвязных компактных групп Ли вместе со сведениями об их центрах. (Информацию о центре см. в разделе ниже, посвященном фундаментальной группе и центру.)

Наконец, каждая компактная связная односвязная группа Ли K является произведением конечного числа компактных связных односвязных простых групп Ли K _i, каждая из которых изоморфна ровно одному из следующих:

Компактная симплектическая группа $\operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1$
Специальная унитарная группа $\operatorname {SU} (n),\,n\geq 3$
Спиновая группа $\operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7$

или одна из пяти исключительных групп G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ и E ₈ . Ограничения на n призваны избежать особых изоморфизмов между различными семействами при малых значениях n . Для каждой из этих групп центр известен явно. Классификация осуществляется через связанную систему корней (для фиксированного максимального тора), которые, в свою очередь, классифицируются по диаграммам Дынкина .

Классификация компактных односвязных групп Ли аналогична классификации комплексных полупростых алгебр Ли . Действительно, если K — односвязная компактная группа Ли, то комплексификация алгебры Ли группы K полупроста. И наоборот, каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет компактную вещественную форму, изоморфную алгебре Ли компактной односвязной группы Ли.

торы и системы корневые Максимальные

Ключевой идеей в изучении связной компактной группы Ли K является понятие максимального тора , то есть подгруппы T группы K , изоморфной произведению нескольких копий группы Ли. $S^{1}$ и это не содержится ни в одной более крупной подгруппе этого типа. Базовым примером является случай $K=\operatorname {SU} (n)$ , и в этом случае мы можем взять $T$ быть группой диагональных элементов в $K$ . Основным результатом является теорема тора , которая утверждает, что каждый элемент $K$ принадлежит максимальному тору и что все максимальные торы сопряжены.

Максимальный тор в компактной группе играет роль, аналогичную роли подалгебры Картана в комплексной полупростой алгебре Ли. В частности, однажды максимальный тор $T\subset K$ выбрана, можно определить систему корней и группу Вейля, аналогичные тем, которые имеются для полупростых алгебр Ли . ^[3] Эти структуры затем играют существенную роль как в классификации связных компактных групп (описанной выше), так и в теории представлений фиксированной такой группы (описанной ниже).

Корневые системы, связанные с простыми компактными группами, фигурирующими в классификации односвязных компактных групп, следующие: ^[4]

Особые унитарные группы $\operatorname {SU} (n)$ соответствуют корневой системе $A_{n-1}$
Нечетные спиновые группы $\operatorname {Spin} (2n+1)$ соответствуют корневой системе $B_{n}$
Компактные симплектические группы $\operatorname {Sp} (n)$ соответствуют корневой системе $C_{n}$
Четные спиновые группы $\operatorname {Spin} (2n)$ соответствуют корневой системе $D_{n}$
Исключительные компактные группы Ли соответствуют пяти исключительным корневым системам G2 _, F4 _, E6 _, E7 _или E8 _.

Фундаментальная группа и центр [ править ]

Важно знать, является ли связная компактная группа Ли односвязной, а если нет, то определить ее фундаментальную группу . Для компактных групп Ли существует два основных подхода к вычислению фундаментальной группы. Первый подход применим к классическим компактным группам $\operatorname {SU} (n)$ , $\operatorname {U} (n)$ , $\operatorname {SO} (n)$ , и $\operatorname {Sp} (n)$ и продолжается индукцией по $n$ . Второй подход использует корневую систему и применим ко всем связным компактным группам Ли.

Также важно знать центр связной компактной группы Ли. Центр классической группы $G$ легко вычисляется «вручную» и в большинстве случаев состоит просто из корней тождества, находящихся в $G$ . (Группа SO(2) является исключением: центром является вся группа, хотя большинство элементов не являются корнями единицы.) Так, например, центр $\operatorname {SU} (n)$ состоит из n -ных корней из единицы, умноженных на единицу, циклической группы порядка $n$ .

В общем случае центр можно выразить через решетку корней и ядро экспоненциального отображения максимального тора. ^[5] Общий метод показывает, например, что односвязная компактная группа, соответствующая исключительной системе корней $G_{2}$ имеет тривиальный центр. Таким образом, компакт $G_{2}$ Группа — одна из очень немногих простых компактных групп, одновременно односвязных и бесцентровых. (Остальные $F_{4}$ и $E_{8}$ .)

Дальнейшие примеры [ править ]

Среди групп, которые не являются группами Ли и поэтому не несут структуры многообразия , примерами являются аддитивная группа Z _p целых p-адических чисел и конструкции из нее. Фактически любая проконечная группа является компактной группой. Это означает, что группы Галуа являются компактными группами, что является основным фактом теории алгебраических расширений в случае бесконечной степени.

Двойственность Понтрягина дает множество примеров компактных коммутативных групп. Они находятся в двойственности с абелевыми дискретными группами .

Мера волос [ править ]

Все компактные группы имеют меру Хаара . ^[6] который будет инвариантным как при левом, так и при правом переносе ( функция модуля должна быть непрерывным гомоморфизмом положительных вещественных чисел ( R ⁺, ×), и поэтому 1). Другими словами, эти группы унимодулярны . Меру Хаара легко нормализовать до вероятностной меры , аналогичной dθ/2π на окружности.

Такую меру Хаара во многих случаях легко вычислить; например, для ортогональных групп это было известно Адольфу Гурвицу , а в группах Ли случаи всегда могут быть заданы инвариантной дифференциальной формой . В проконечном случае существует много подгрупп конечного индекса и мера Хаара смежного класса будет обратной индексу. Следовательно, интегралы часто вычислимы напрямую, и этот факт постоянно применяется в теории чисел .

Если $K$ является компактной группой и $m$ является ассоциированной мерой Хаара, теорема Питера – Вейля обеспечивает разложение $L^{2}(K,dm)$ как ортогональная прямая сумма конечномерных подпространств матричных элементов для неприводимых представлений $K$ .

Теория представлений [ править ]

Теория представлений компактных групп (не обязательно групп Ли и не обязательно связных) была основана на теореме Петера-Вейля . ^[7] Герман Вейль далее представил подробную теорию характеров компактных связных групп Ли, основанную на теории максимального тора . ^[8]Полученная в результате формула характера Вейля стала одним из влиятельных результатов математики двадцатого века. Комбинация теоремы Петера-Вейля и формулы характера Вейля привела Вейля к полной классификации представлений связной компактной группы Ли; эта теория описана в следующем разделе.

Сочетание работы Вейля и теоремы Картана дает обзор всей теории представлений компактных G. групп То есть по теореме Питера – Вейля неприводимые унитарные представления ρ группы G образуют унитарную группу (конечной размерности), и образ будет замкнутой подгруппой унитарной группы по компактности. Теорема Картана утверждает, что Im(ρ) сама должна быть подгруппой Ли в унитарной группе. Если G сама не является группой Ли, у ρ должно быть ядро. Далее, для все меньшего и меньшего ядра ρ можно сформировать обратную систему конечномерных унитарных представлений, которая идентифицирует G как обратный предел компактных групп Ли. Здесь тот факт, что в пределе найдено точное представление G , является еще одним следствием теоремы Петера–Вейля.

Тем самым неизвестная часть теории представлений компактных групп, грубо говоря, отбрасывается обратно к комплексным представлениям конечных групп . Эта теория довольно богата деталями, но качественно хорошо изучена.

представлений связной компактной Ли группы Теория

Некоторые простые примеры теории представлений компактных групп Ли можно разработать вручную, например представления группы вращений SO(3) , специальной унитарной группы SU(2) и специальной унитарной группы SU(3) . Здесь мы сосредоточимся на общей теории. См. также параллельную теорию представлений полупростой алгебры Ли .

В этом разделе мы фиксируем связную компактную группу Ли K и максимальный тор T в K .

Теория представлений T [ править ]

Поскольку T коммутативно, лемма Шура говорит нам, что каждое неприводимое представление $\rho$ T : одномерен

\rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.

Поскольку также T компактно, $\rho$ должен фактически отображаться в $S^{1}\subset \mathbb {C}$ .

Чтобы конкретно описать эти представления, положим ${\mathfrak {t}}$ — алгебра Ли группы T , и мы пишем точки $h\in T$ как

h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.

В таких координатах $\rho$ будет иметь форму

\rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}

для некоторого линейного функционала $\lambda$ на ${\mathfrak {t}}$ .

Теперь, поскольку экспоненциальное отображение $H\mapsto e^{H}$ не инъективен, не всякий такой линейный функционал $\lambda$ приводит к четко определенному отображению T в $S^{1}$ . Скорее, пусть $\Gamma$ обозначим ядро экспоненциального отображения:

\Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},

где $\operatorname {Id}$ является единичным элементом T . (Здесь мы масштабируем экспоненциальную карту в коэффициент $2\pi$ во избежание подобных факторов в других местах.) Тогда для $\lambda$ дать четко определенную карту $\rho$ , $\lambda$ должен удовлетворить

\lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,

где $\mathbb {Z}$ представляет собой набор целых чисел. ^[9] Линейный функционал $\lambda$ удовлетворяющий этому условию, называется аналитически целым элементом . Это условие целостности связано с понятием целого элемента в полупростых алгебрах Ли, но не идентично ему. ^[10]

Предположим, например, что T — это просто группа $S^{1}$ комплексных чисел $e^{i\theta }$ по модулю 1. Алгебра Ли — это набор чисто мнимых чисел, $H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,$ а ядром (масштабированного) экспоненциального отображения является набор чисел вида $in$ где $n$ является целым числом. Линейный функционал $\lambda$ принимает целые значения для всех таких чисел тогда и только тогда, когда оно имеет вид $\lambda (i\theta )=k\theta$ для некоторого целого числа $k$ . Неприводимые представления T в этом случае одномерны и имеют вид

\rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .

Теория K представлений

Теперь мы позволяем $\Sigma$ обозначают конечномерное неприводимое представление K (над $\mathbb {C}$ ). Затем мы рассмотрим ограничение $\Sigma$ к Т. Это ограничение не является непреодолимым, если только $\Sigma$ является одномерным. Тем не менее ограничение распадается в прямую сумму неприводимых представлений T . (Обратите внимание, что данное неприводимое представление T может встречаться более одного раза.) Теперь каждое неприводимое представление T описывается линейным функционалом $\lambda$ как в предыдущем подразделе. Если данное $\lambda$ встречается хотя бы один раз при разложении ограничения $\Sigma$ в T , мы вызываем $\lambda$ вес $\Sigma$ . Стратегия теории представлений K состоит в том, чтобы классифицировать неприводимые представления по их весам.

Теперь мы кратко опишем структуры, необходимые для формулировки теоремы; подробнее можно прочитать в статье о весах в теории представлений . Нам понадобится понятие системы корней для K (относительно заданного максимального тора T ). Построение этой корневой системы $R\subset {\mathfrak {t}}$ очень похоже на конструкцию для комплексных полупростых алгебр Ли . В частности, веса - это ненулевые веса для присоединенного действия T на комплексифицированной алгебре Ли K . Корневая система R обладает всеми обычными свойствами корневой системы , за исключением того, что элементы R не могут охватывать ${\mathfrak {t}}$ . ^[11] Затем выбираем базу $\Delta$ для R и говорим, что целочисленный элемент $\lambda$ является доминирующим , если $\lambda (\alpha )\geq 0$ для всех $\alpha \in \Delta$ . Наконец, мы говорим, что один вес выше другого, если их разность можно выразить как линейную комбинацию элементов $\Delta$ с неотрицательными коэффициентами.

Неприводимые конечномерные представления K затем классифицируются по теореме старшего веса , ^[12]которая тесно связана с аналогичной теоремой, классифицирующей представления полупростой алгебры Ли . Результат говорит о том, что:

каждое неприводимое представление имеет наивысший вес,
наибольший вес всегда является доминирующим, аналитически целостным элементом,
два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны и
каждый доминирующий, аналитически целостный элемент возникает как высший вес неприводимого представления.

Теорема о старшем весе для представлений K тогда почти такая же, как и для полупростых алгебр Ли, за одним примечательным исключением: понятие целого элемента другое. Веса $\lambda$ представительства $\Sigma$ являются аналитически целыми в том смысле, который описан в предыдущем подразделе. Каждый аналитически целостный элемент является целым в смысле алгебры Ли, но не наоборот. ^[13] (Это явление отражает то, что, вообще говоря, не каждое представление алгебры Ли ${\mathfrak {k}}$ происходит из представления группы K. ) С другой стороны, если K односвязен, набор возможных старших весов в групповом смысле такой же, как набор возможных старших весов в смысле алгебры Ли. ^[14]

Формула характера Вейля [ править ]

Если $\Pi :K\to \operatorname {GL} (V)$ является представлением K определяем характер , мы $\Pi$ быть функцией $\mathrm {X} :K\to \mathbb {C}$ данный

\mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K

.

Легко видеть, что эта функция является функцией класса, т. е. $\mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)$ для всех $x$ и $y$ чернила . Таким образом, $\mathrm {X}$ определяется его ограничением на T .

Изучение характеров — важная часть теории представлений компактных групп. Один важный результат, который является следствием теоремы Питера-Вейля что характеры образуют ортонормированный базис для набора интегрируемых с квадратом функций класса в K. , заключается в том , Второй ключевой результат — это формула характера Вейля , которая дает явную формулу для символа — или, скорее, ограничения символа на T — с точки зрения старшего веса представления.

В тесно связанной теории представлений полупростых алгебр Ли формула характера Вейля является дополнительным результатом, установленным после классификации представлений. Однако в анализе Вейля случая компактной группы формула характера Вейля на самом деле является важной частью самой классификации. В частности, в анализе Вейля представлений K самая сложная часть теоремы — показывающая, что каждый доминирующий аналитически целочисленный элемент на самом деле является старшим весом некоторого представления — доказывается совершенно иначе, чем обычная конструкция алгебры Ли с использованием Вермы. модули . В подходе Вейля конструкция основана на теореме Питера-Вейля и аналитическом доказательстве формулы характера Вейля . ^[15] В конечном итоге неприводимые представления K реализуются внутри пространства непрерывных функций на K .

Случай SU(2) [ править ]

Теперь рассмотрим случай компактной группы SU(2). Представления часто рассматриваются с точки зрения алгебры Ли , но здесь мы рассматриваем их с групповой точки зрения. В качестве максимального тора возьмем множество матриц вида

{\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.

Согласно примеру, рассмотренному выше в разделе о представлениях T , аналитически целые элементы помечены целыми числами, так что доминирующие аналитически целые элементы являются неотрицательными целыми числами. $m$ . Общая теория тогда говорит нам, что для каждого $m$ , существует единственное неприводимое представление SU(2) со старшим весом $m$ .

Много информации о представлении, соответствующем данному $m$ закодировано в его характере. Теперь формула характера Вейля в этом случае говорит , что характер определяется выражением

\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.

Мы также можем записать характер как сумму экспонент следующим образом:

\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.

(Если мы воспользуемся формулой суммы конечной геометрической прогрессии в приведенном выше выражении и упростим ее, мы получим более раннее выражение.)

Из этого последнего выражения и стандартной формулы для характера в терминах весов представления мы можем прочитать, что веса представления равны

m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,

каждый с кратностью один. (Веса — это целые числа, входящие в показатели экспонент, а кратности — это коэффициенты экспонент.) Поскольку существуют $m+1$ веса, каждый с кратностью 1, размерность представления равна $m+1$ . Таким образом, мы восстанавливаем большую часть информации о представлениях, которая обычно получается в результате вычислений алгебры Ли.

Схема доказательства [ править ]

Теперь мы наметим доказательство теоремы о старшем весе, следуя первоначальному рассуждению Германа Вейля . Мы продолжаем позволять $K$ — связная компактная группа Ли и $T$ фиксированный максимальный тор в $K$ . Мы сосредоточимся на самой сложной части теоремы, показывающей, что каждый доминирующий, аналитически целостный элемент является высшим весом некоторого (конечномерного) неприводимого представления. ^[16]

Инструментами доказательства являются следующие:

Теорема о торе .
Вейля Интегральная формула .
Теорема Питера -Вейля для функций класса , которая утверждает, что характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис для пространства интегрируемых с квадратом функций класса на $K$ .

Имея в руках эти инструменты, приступим к доказательству. Первым важным шагом в рассуждении является доказательство формулы характера Вейля . Формула гласит, что если $\Pi$ является неприводимым представлением с наибольшим весом $\lambda$ , то персонаж $\mathrm {X}$ из $\Pi$ удовлетворяет:

\mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}

для всех $H$ в алгебре Ли $T$ . Здесь $\rho$ представляет собой половину суммы положительных корней. (В обозначениях используется соглашение о «реальных весах»; это соглашение требует явного указания коэффициента $i$ в показателе.) Доказательство Вейля формулы характера носит аналитический характер и основано на том факте, что $L^{2}$ норма персонажа равна 1. В частности, если бы в числителе были какие-либо дополнительные члены, интегральная формула Вейля заставила бы норму символа быть больше 1.

Далее мы позволяем $\Phi _{\lambda }$ обозначают функцию в правой части символьной формулы. Мы показываем, что даже если $\lambda$ неизвестно, является ли высший вес представления , $\Phi _{\lambda }$ является корректно определенной, инвариантной по Вейлю функцией на $T$ , что, следовательно, распространяется на функцию класса на $K$ . Тогда, используя интегральную формулу Вейля, можно показать, что как $\lambda$ пробегает по множеству доминирующих, аналитически целых элементов, функции $\Phi _{\lambda }$ образуют ортонормированное семейство функций классов. Подчеркнем, что в настоящее время мы не знаем, что каждый такой $\lambda$ – высший вес представления; тем не менее, выражения в правой части формулы символа дают четко определенный набор функций $\Phi _{\lambda }$ , и эти функции ортонормированы.

Теперь следует вывод. Набор всего $\Phi _{\lambda }$ -с $\lambda$ пробегая доминирующие аналитически целые элементы, образует ортонормированный набор в пространстве интегрируемых с квадратом функций класса. Но согласно формуле характера Вейля характеры неприводимых представлений образуют подмножество $\Phi _{\lambda }$ х. А по теореме Питера – Вейля характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис пространства функций класса, интегрируемых с квадратом. Если бы были некоторые $\lambda$ это не наивысший вес представления, то соответствующий $\Phi _{\lambda }$ не было бы характером представления. Таким образом, символы будут правильным подмножеством множества символов. $\Phi _{\lambda }$ х. Но тогда мы имеем невозможную ситуацию: ортонормированный базис (множество характеров неприводимых представлений) содержался бы в строго большем ортонормированном множестве (множестве $\Phi _{\lambda }$ х). Таким образом, каждый $\lambda$ на самом деле должен быть наивысшим весом представления.

Двойственность [ править ]

Тема восстановления компактной группы из ее теории представлений является предметом двойственности Таннаки-Крейна , которую теперь часто переделывают в терминах теории категорий Таннака .

От компактных групп к некомпактным [ править ]

Влияние теории компактных групп на некомпактные группы было сформулировано Вейлем в его унитарном трюке . Внутри общей полупростой группы Ли существует максимальная компактная подгруппа , и теория представлений таких групп, развитая в основном Хариш-Чандрой , интенсивно использует ограничение представления на такую подгруппу, а также модель теории характеров Вейля.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Зал 2015 г., раздел 1.2.
^ Брёкер и Том Дик, 1985 , Глава V, разделы 7 и 8.
↑ Зал 2015, Глава 11.
^ Зал 2015 г., раздел 7.7.
^ Зал 2015 г., раздел 13.8.
^ Вейль, Андре (1940), Интеграция в топологических группах и ее приложения , Scientific and Industrial News, vol. 869, Париж: Германн
^ Питер, Ф.; Вейль, Х. (1927), «Полнота примитивных представлений замкнутой непрерывной группы», Math. , 97 : 737–755, doi : 10.1007/BF01447892 .
^ Зал 2015 г. Часть III
^ Зал 2015 г., Предложение 12.9
^ Зал 2015 г., раздел 12.2.
^ Зал 2015 г., раздел 11.7.
↑ Зал 2015, Глава 12.
^ Зал 2015 г., раздел 12.2.
^ Холл 2015. Следствие 13.20.
^ Зал 2015 г., разделы 12.4 и 12.5.
^ Зал 2015 г., разделы 12.4 и 12.5.

Библиография [ править ]

Брёкер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 98, Спрингер
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления. Элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Хофманн, Карл Х.; Моррис, Сидни А. (1998), Структура компактных групп , Берлин: де Грюйтер, ISBN 3-11-015268-1

[1] Зал 2015 г., раздел 1.2.

[2] Брёкер и Том Дик, 1985 , Глава V, разделы 7 и 8.

[3] Зал 2015, Глава 11.

[4] Зал 2015 г., раздел 7.7.

[5] Зал 2015 г., раздел 13.8.

[6] Вейль, Андре (1940), Интеграция в топологических группах и ее приложения , Scientific and Industrial News, vol. 869, Париж: Германн

[7] Питер, Ф.; Вейль, Х. (1927), «Полнота примитивных представлений замкнутой непрерывной группы», Math. , 97 : 737–755, doi : 10.1007/BF01447892 .

[8] Зал 2015 г. Часть III

[9] Зал 2015 г., Предложение 12.9

[10] Зал 2015 г., раздел 12.2.

[11] Зал 2015 г., раздел 11.7.

[12] Зал 2015, Глава 12.

[13] Зал 2015 г., раздел 12.2.

[14] Холл 2015. Следствие 13.20.

[15] Зал 2015 г., разделы 12.4 и 12.5.

[16] Зал 2015 г., разделы 12.4 и 12.5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

Компактные Ли группы ​