Унитарный трюк

В математике унитарный трюк (или унитарный трюк ) — это прием в теории представлений групп Ли , введенный Адольфом Гурвицем ( 1897 ) для специальной линейной группы и Германом Вейлем для общих полупростых групп . Его применяют, чтобы показать, что теория представлений некоторой комплексной группы Ли G качественно контролируется теорией представлений некоторой компактной вещественной группы Ли K, и последняя теория представлений проще. Важным примером является тот, в котором G — комплексная общая линейная группа GL _n ( C ), а K — унитарная группа U( n ), действующая на вектора одного и того же размера. Из того, что представления группы К , вполне приводимы то же самое следует сделать и для комплексно-аналитических представлений группы G , по крайней мере, в конечных размерностях.

Отношения между G и K традиционно выражаются в терминах, что алгебра Ли K G. является вещественной формой алгебры Ли , которые определяют эту связь , В теории алгебраических групп установить соотношение, что K — плотное подмножество G можно также для топологии Зарисского .

Этот трюк работает для редуктивных групп Ли G , важным случаем которых являются полупростые группы Ли .

Составы

«Трюк» в современной математике выражается по-разному. Одной из таких формулировок является то, что G является редуктивной группой над комплексными числами. Тогда G _an , комплексные точки группы G, рассматриваемые как группа Ли, имеют компактную подгруппу K , плотную по Зарисскому. ^[1] Для случая специальной линейной группы этот результат был доказан для ее специальной унитарной подгруппы Иссаи Шуром (1924 г., предшествовавшим более ранней работе). ^[2] Специальная линейная группа — это комплексная полупростая группа Ли. Для любой такой группы G и максимальной компактной подгруппы K и V - комплексного векторного пространства конечной размерности, являющегося G -модулем, его G -подмодули и K -подмодули одинаковы. ^[3]

В Энциклопедии математики формулировка такова:

Классические компактные группы Ли ... имеют те же комплексные линейные представления и те же инвариантные подпространства в тензорных пространствах, что и их комплексные оболочки [...]. Поэтому результаты теории линейных представлений, полученные для классических комплексных групп Ли, можно перенести на соответствующие компактные группы и наоборот. ^[4]

В терминах Таннака формализма Клод Шевалле интерпретировал двойственность Таннаки , начиная с компактной группы Ли K как построение «комплексной оболочки» G как двойственной редуктивной алгебраической группы Tn(K) над комплексными числами. ^[5] Виравалли С. Варадараджан писал об «унитарном трюке» как о «каноническом соответствии между компактными и комплексными полупростыми комплексными группами, открытым Вейлем», отмечая «тесно связанные теории двойственности Шевалле и Таннаки» и более поздние разработки, последовавшие за квантовыми группами . ^[6]

История

Адольф Гурвиц показал, как интегрирование по компактной группе Ли можно использовать для построения инвариантов в случаях унитарных групп и компактных ортогональных групп . Иссаи Шур в 1924 году показал, что этот метод можно применить, чтобы показать полную сводимость представлений таких групп посредством построения инвариантного скалярного произведения. Вейль распространил метод Шура на комплексные полупростые алгебры Ли, показав, что они имеют компактную действительную форму . ^[7]

Теорема Вейля

Полная сводимость конечномерных линейных представлений компактных групп или связных полупростых групп Ли и комплексных полупростых алгебр Ли иногда называется теоремой Вейля . ^[8] Связанный с этим результат о том, что универсальное накрытие компактной полупростой группы Ли также компактно, также носит то же название. Это было доказано Вейлем за несколько лет до того, как понятие «универсальное покрытие» получило формальное определение. ^[9]^[10]

Явные формулы

Позволять $\pi :G\rightarrow GL(n,\mathbb {C} )$ быть комплексным представлением компактной группы Ли $G$ . Определять $P=\int _{G}\pi (g)\pi (g)^{*}dg$ , интегрируя по $G$ относительно меры Хаара. С $P$ – положительная матрица, существует квадратный корень $Q$ такой, что $P=Q^{2}$ . Для каждого $g\in G$ , матрица $\tau (g)=Q^{-1}\pi (g)Q$ является унитарным.

Примечания

^ Паршин А.Н.; Шафаревич, ИР (6 декабря 2012 г.). Алгебраическая геометрия IV: Теория инвариантов линейных алгебраических групп . Springer Science & Business Media. п. 92. ИСБН 978-3-662-03073-8 .
^ Хокинс, Томас (6 декабря 2012 г.). Возникновение теории групп Ли: Очерк истории математики 1869–1926 гг . Springer Science & Business Media. п. 415. ИСБН 978-1-4612-1202-7 .
^ Сантос, Уолтер Феррер; Ритатторе, Альваро (26 апреля 2005 г.). Действия и инварианты алгебраических групп . ЦРК Пресс. п. 304. ИСБН 978-1-4200-3079-2 .
^ Винберг, Е.Б. (2001) [1994], «Представление классических групп» , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Хитчин, Найджел Дж. (июль 2010 г.). Многогранность геометрии: дань уважения Найджелу Хитчину . Издательство Оксфордского университета. стр. 97–98. ISBN 978-0-19-953492-0 .
^ Доран, Роберт С. (2000). Математическое наследие Хариш-Чандры: торжество теории представлений и гармонического анализа: специальная сессия AMS в честь памяти Хариш-Чандры, 9-10 января 1998 г., Балтимор, Мэриленд . Американское математическое соц. п. 3. ISBN 978-0-8218-1197-9 .
^ Николя Бурбаки , Группы Ли и алгебры Ли (1989), с. 426.
^ «Вполне-приводимое множество» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ «Группа Ли, компактная» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Бурбаки, Николя (1989). Группы Ли и алгебры Ли: Главы 1–3 . Springer Science & Business Media. п. 426. ИСБН 978-3-540-64242-8 .

Ссылки

В. С. Варадараджан, Введение в гармонический анализ полупростых групп Ли (1999), с. 49.
Вульф Россманн, Группы Ли: введение в линейные группы (2006), с. 225.
Роу Гудман, Нолан Р. Уоллах, Симметрия, представления и инварианты (2009), с. 171.
Гурвиц, А. (1897), «О порождении инвариантов посредством интегрирования», Nachrichten Wiss. Геттинген : 71–90

[1] Паршин А.Н.; Шафаревич, ИР (6 декабря 2012 г.). Алгебраическая геометрия IV: Теория инвариантов линейных алгебраических групп . Springer Science & Business Media. п. 92. ИСБН 978-3-662-03073-8 .

[2] Хокинс, Томас (6 декабря 2012 г.). Возникновение теории групп Ли: Очерк истории математики 1869–1926 гг . Springer Science & Business Media. п. 415. ИСБН 978-1-4612-1202-7 .

[3] Сантос, Уолтер Феррер; Ритатторе, Альваро (26 апреля 2005 г.). Действия и инварианты алгебраических групп . ЦРК Пресс. п. 304. ИСБН 978-1-4200-3079-2 .

[4] Винберг, Е.Б. (2001) [1994], «Представление классических групп» , Энциклопедия математики , EMS Press

[5] Хитчин, Найджел Дж. (июль 2010 г.). Многогранность геометрии: дань уважения Найджелу Хитчину . Издательство Оксфордского университета. стр. 97–98. ISBN 978-0-19-953492-0 .

[6] Доран, Роберт С. (2000). Математическое наследие Хариш-Чандры: торжество теории представлений и гармонического анализа: специальная сессия AMS в честь памяти Хариш-Чандры, 9-10 января 1998 г., Балтимор, Мэриленд . Американское математическое соц. п. 3. ISBN 978-0-8218-1197-9 .

[7] Николя Бурбаки , Группы Ли и алгебры Ли (1989), с. 426.

[8] «Вполне-приводимое множество» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[9] «Группа Ли, компактная» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[10] Бурбаки, Николя (1989). Группы Ли и алгебры Ли: Главы 1–3 . Springer Science & Business Media. п. 426. ИСБН 978-3-540-64242-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]