Таннакский формализм

В математике категория Таннака — это особый вид моноидальной категории C снабженной некоторой дополнительной структурой по отношению к данному полю K. , Роль таких категорий C состоит в обобщении категории линейных представлений алгебраической группы G, определенной над K . Ряд крупных приложений теории был сделан или может быть сделан в поисках некоторых центральных гипотез современной алгебраической геометрии и теории чисел .

Название взято из Тадао Таннаки и двойственности Таннаки-Крейна , теории компактных групп G и теории их представлений. Теория была разработана впервые в школе Александра Гротендика . Позже он был пересмотрен Пьером Делинем и внес некоторые упрощения. Модель теории аналогична теории Галуа Гротендика , которая является теорией о конечных представлениях перестановок групп G , которые являются проконечными группами .

Суть теории состоит в том, что расслоенный функтор Φ теории Галуа заменяется точным и точным тензорным функтором F из C в категорию конечномерных векторных пространств над K . Группа естественных преобразований в себя, которая оказывается проконечной группой в теории Галуа, заменяется группой G естественных преобразований F Φ в себя, сохраняющих тензорную структуру. В общем, это не алгебраическая группа, а более общая групповая схема которая является обратным пределом алгебраических групп ( проалгебраическая группа ), и тогда C оказывается эквивалентной категории конечномерных линейных представлений G. ,

В более общем смысле, возможно, что слоеные функторы F, как указано выше, существуют только в категориях конечномерных векторных пространств над нетривиальными полями расширения L/K . В таких случаях групповая схема G заменяется гербом ${\mathcal {G}}$ на сайте fpqc Spec( K ), и C тогда эквивалентен категории (конечномерных) представлений ${\mathcal {G}}$ .

Формальное определение категорий Таннаки [ править ]

Пусть K — поле, а C жесткая — K -линейная абелева тензорная (т. е. симметричная моноидальная ) категория такая, что $\mathrm {End} (\mathbf {1} )\cong K$ . Тогда C является таннаковой категорией (над K ), если существует поле расширения L категории K такое, что существует K -линейный точный и точный тензорный функтор (т. е. сильный моноидальный функтор ) F из C в категорию конечномерных L -векторные пространства . Таннакова категория над K нейтральна , если существует такой точный точный тензорный функтор F с L=K . ^[1]

Приложения [ править ]

Таннакианская конструкция используется в отношениях между структурой Ходжа и l-адическим представлением . Нравственно, философия мотивовговорит нам, что структура Ходжа и представление Галуасвязанный с алгебраическим многообразиемсвязаны друг с другом. Близкие алгебраические группы Группа Мамфорда-Тейта и мотивационная группа Галуа возникают из категорий структур Ходжа, категорий представлений Галуа и мотивов через категории Таннака. Гипотеза Мамфорда-Тейтапредполагает, что алгебраические группывозникающие в результате структура Ходжа и представление Галуас помощью таннакских категорийизоморфны друг другу вплоть до связанных компонентов.

Эти области применения тесно связаны с теорией мотивов . Другое место, где использовались категории Таннака, связано с гипотезой Гротендика-Каца о p-кривизне ; другими словами, в ограничивающих группах монодромии .

Геометрическая эквивалентность Сатаке устанавливает эквивалентность между представлениями двойственной группы Ленглендса. ${}^{L}G$ редуктивной группы G и некоторых эквивариантных извращенных пучков на аффинном грассманиане, ассоциированном с G . Эта эквивалентность обеспечивает некомбинаторную конструкцию дуальной группы Ленглендса. Это доказывается, показывая, что упомянутая категория перверсивных пучков является таннакской категорией, и отождествляя ее двойственную группу Таннака с ${}^{L}G$ .

Расширения [ править ]

Ведхорн (2004) установил частичные результаты двойственности Таннака в ситуации, когда категория является R -линейной, где R больше не поле (как в классической двойственности Таннака), а определенные кольца нормирования . Иванари (2018) инициировал и развил двойственность Таннака в контексте категорий бесконечности .

Ссылки [ править ]

^ Сааведра Ривано (1972)

Делинь, Пьер (2007) [1990], «Категории танакиенов» , The Grothendieck Festschrift , vol. II, Биркхаузер, стр. 111–195, ISBN. 9780817645755
Делинь, Пьер ; Милн, Джеймс (1982), «Таннакские категории» , Делинь, Пьер; Милн, Джеймс; Огус, Артур; Ши, Куан-йен (ред.), Циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры , Конспект лекций по математике, том. 900, Springer, стр. 101–228, ISBN. 978-3-540-38955-2

Иванари, Исаму (2018), «Двойственность Таннака и стабильные категории бесконечности», Journal of Topology , 11 (2): 469-526, arXiv : 1409.3321 , doi : 10.1112/topo.12057
Сааведра Ривано, Неантро (1972), Категории Таннакиенн , Конспекты лекций по математике, том. 265, Спрингер, ISBN 978-3-540-37477-0 , МР 0338002

Ведхорн, Торстен (2004), «О двойственности Таннака над кольцами оценок», Journal of Algebra , 282 (2): 575–609, doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.07.024 , MR 2101076

Дальнейшее чтение [ править ]

М. Ларсен и Р. Пинк. Определение представлений из инвариантных размерностей. Изобретать. матем., 102:377–389, 1990.

[1] Сааведра Ривано (1972)

[1]