Оптоволоконный оператор

Функторы слоев в теории категорий , топологии и алгебраической геометрии относятся к нескольким слабо связанным функторам , которые обобщают функторы, принимающие накрывающее пространство. $\pi \colon X\rightarrow S$ к волокну $\pi ^{-1}(s)$ через точку $s\in S$.

Определение

Функтор слоя (или функтор слоя ) — это расплывчатое понятие, которое имеет несколько определений в зависимости от рассматриваемого формализма. Одна из основных первоначальных мотиваций для функторов слоев исходит из теории Топоса . Напомним, топос — это категория связок над участком. Если сайт представляет собой всего лишь один объект, как в случае с точкой, то топос точки эквивалентен категории множеств, ${\mathfrak {Set}}$. Если у нас есть топосы пучков в топологическом пространстве $X$, обозначенный ${\mathfrak {T}}(X)$, то чтобы поставить точку $a$ в $X$ эквивалентно определению сопряженных функторов

$a^{*}:{\mathfrak {T}}(X)\leftrightarrows {\mathfrak {Set}}:a_{*}$

Функтор $a^{*}$ посылает сноп ${\mathfrak {F}}$ на $X$ к его волокну над точкой $a$; то есть его стебель.

Из укрытий

Рассмотрим категорию накрытий топологического пространства. $X$, обозначенный ${\mathfrak {Cov}}(X)$. Затем с точки $x\in X$ существует функтор волокна

${\text{Fib}}_{x}:{\mathfrak {Cov}}(X)\to {\mathfrak {Set}}$

отправка прикрытия $\pi :Y\to X$ к волокну $\pi ^{-1}(x)$. Этот функтор имеет автоморфизмы, происходящие из $\pi _{1}(X,x)$ поскольку фундаментальная группа действует на накрытиях топологического пространства $X$. В частности, оно действует на множестве $\pi ^{-1}(x)\subset Y$. Фактически, единственные автоморфизмы ${\text{Fib}}_{x}$ родом из $\pi _{1}(X,x)$.

С распространенными топологиями

Существует алгебраический аналог накрытий, исходящий из этальной топологии на связной схеме. $S$. Базовый сайт состоит из конечных этальных покрытий, которые конечны. плоские сюръективные морфизмы $X\to S$ такой, что слой над каждой геометрической точкой $s\in S$ представляет собой спектр конечного этала $\kappa (s)$-алгебра. Для фиксированной геометрической точки ${\overline {s}}:{\text{Spec}}(\Omega )\to S$, рассмотрим геометрическое волокно $X\times _{S}{\text{Spec}}(\Omega )$ и пусть ${\text{Fib}}_{\overline {s}}(X)$ быть базовым набором $\Omega$-баллы. Затем,

${\text{Fib}}_{\overline {s}}:{\mathfrak {Fet}}_{S}\to {\mathfrak {Sets}}$

представляет собой функтор слоя, где ${\mathfrak {Fet}}_{S}$ является топосом конечной этальной топологии на $S$. Фактически это теорема Гротендика об автоморфизмах ${\text{Fib}}_{\overline {s}}$ образуют проконечную группу , обозначаемую $\pi _{1}(S,{\overline {s}})$и индуцировать непрерывное групповое действие на этих конечных расслоенных множествах, давая эквивалентность между покрытиями и конечными множествами с такими действиями.

Из категорий Таннаки

Другой класс функторов слоев возник из когомологических реализаций мотивов алгебраической геометрии. Например, когомологий Де Рама функтор $H_{dR}$ посылает мотив $M(X)$ к лежащим в его основе группам когомологий де-Рама $H_{dR}^{*}(X)$.

См. также

• Топос
• Распространение топологии
• Мотив (алгебраическая геометрия)
• Анабелева геометрия

Внешние ссылки

• СГА 4 и СГА 4 IV
• Группа Мотивика Галуа - https://web.archive.org/web/20200408142431/https://www.him.uni-bonn.de/fileadmin/him/Lecture_Notes/motivic_Galois_group.pdf