Анабелева геометрия
Анабелева геометрия — это теория в теории чисел которая описывает способ, которым алгебраическая фундаментальная группа G определенного арифметического многообразия X или какой-либо связанный с ним геометрический объект может помочь восстановить X. , Первые результаты для числовых полей и их абсолютных групп Галуа были получены Юргеном Нойкирхом , Масатоши Гюндузом Икедой , Кенкичи Ивасавой и Кодзи Учидой ( теорема Нойкирха-Учиды , 1969) до того, как Александр Гротендик сделал гипотезы о гиперболических кривых над числовыми полями . Как было представлено в «Эскизе программы», последние касались того, как топологические гомоморфизмы между двумя арифметическими фундаментальными группами двух гиперболических кривых над числовыми полями соответствуют отображениям между кривыми. Первая версия анабелевой гипотезы Гротендика была решена Хироаки Накамурой и Акио Тамагавой (для аффинных кривых), а затем завершена Шиничи Мотидзуки . [1]
Формулировка гипотезы Гротендика о кривых [ править ]
«Анабелианский вопрос» был сформулирован как
Сколько информации о классе изоморфизма многообразия X содержится в знаниях об этальной фундаментальной группе [2]
Конкретным примером является случай кривых, которые могут быть как аффинными , так и проективными. что дана гиперболическая кривая C , т. е. дополнение из n точек проективной алгебраической кривой рода Предположим , g , взятой как гладкая и неприводимая, определенная над полем K , которое конечно порождено (над его простым полем ), такая, что
- .
Гротендик предположил, что алгебраическая фундаментальная группа G группы C , проконечная группа , определяет сам C (т. е. класс изоморфизма G определяет класс изоморфизма C ). Это доказал Мотидзуки. [3] Примером является случай ( проективная линия ) и , когда класс изоморфизма C определяется перекрестным отношением в K четырех удаленных точек (почти порядок существует в четырех точках в перекрестном отношении, но не в удаленных точках). [4] Имеются также результаты для случая К — локального поля . [5]
Моноанабелева геометрия [ править ]
Шиничи Мотидзуки ввел и развил моноанабелеву геометрию — подход, который восстанавливает для определенного класса гиперболических кривых над числовыми полями или некоторыми другими полями кривую из ее алгебраической фундаментальной группы . Ключевые результаты моноанабелевой геометрии были опубликованы в книгах Мотидзуки «Темы абсолютной анабелевой геометрии» I (2012), II (2013) и III (2015). [6]
Противоположным подходом моноанабелевой геометрии является бианабелева геометрия , термин, придуманный Мотидзуки в «Темах абсолютной анабелевой геометрии III» для обозначения классического подхода.
Моноанабелева геометрия имеет дело с некоторыми типами (строго типа Белого) гиперболических кривых над числовыми и локальными полями. Эта теория значительно расширяет анабелеву геометрию. Его основная цель - построить алгоритмы, которые создают кривую с точностью до изоморфизма из этальной фундаментальной группы такой кривой. В частности, эта теория впервые производит одновременное функториальное восстановление основного числового поля и его пополнение из фундаментальной группы большого класса проколотых эллиптических кривых над числовыми полями. [7] [8] [9] Межуниверсальная теория Тейхмюллера Шиничи Мочизуки тесно связана с различными результатами моноанабелевой геометрии и использует их. [10]
Комбинаторная анабелева геометрия [ править ]
Шиничи Мотидзуки также представил комбинаторную анабелеву геометрию , которая занимается вопросами гиперболических кривых и других связанных схем над алгебраически замкнутыми полями. Первые результаты были опубликованы в работах Мотидзуки «Комбинаторная версия гипотезы Гротендика » (2007 г.) и «О комбинаторной каспидализации гиперболических кривых» (2010 г.). Позже это поле было применено к гиперболическим кривым Юитиро Хоши и Мотидзуки в серии из четырех статей «Темы, связанные с комбинаторной анабелевой геометрией гиперболических кривых» (2012–2013).
Комбинаторная анабелева геометрия касается реконструкции объектов теории схем или колец на основе более примитивных комбинаторных составляющих данных. Истоки комбинаторной анабелевой геометрии лежат в некоторых из таких комбинаторных идей в доказательствах Мотидзуки гипотезы Гротендика. Некоторые результаты комбинаторной анабелевой геометрии дают альтернативные доказательства частных случаев гипотезы Гротендика без использования p-адической теории Ходжа. Комбинаторная анабелева геометрия помогает изучать различные аспекты группы Гротендика – Тейхмюллера и абсолютных групп Галуа числовых полей и локальных полей со смешанными характеристиками. [11]
См. также [ править ]
- Теория полей классов
- Оптоволоконный оператор
- Теорема Нойкирха – Учиды
- Belyi's theorem
- Фробениоид
- Межуниверсальная теория Тейхмюллера
- p-адическая теория Тейхмюллера
- Переписка Ленглендса
Примечания [ править ]
- ^ Шиничи Мотидзуки, Хироака Накамура, Акио Тамагава, «Гипотеза Гротендика о фундаментальных группах алгебраических кривых», Экспозиция Сугаку (английский перевод AMS) (14) 1, Американское математическое общество: 31-53, http://www4.math .sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf (2001)
- ^ Шнепс, Лейла (1997). «Долгий марш Гротендика по теории Галуа » . В Шнепсе; Лочак, Пьер (ред.). Геометрические действия Галуа. 1 . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 242. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 59–66. МР 1483109 .
- ^ Мотидзуки, Шиничи (1996). «Проконечная гипотеза Гротендика для замкнутых гиперболических кривых над числовыми полями». Дж. Математика. наук. унив. Токио . 3 (3): 571–627. hdl : 2261/1381 . МР 1432110 .
- ^ Ихара, Ясутака; Накамура, Хироаки (1997). «Некоторые наглядные примеры анабелевой геометрии в больших измерениях» (PDF) . В Шнепсе, Лейла ; Лочак, Пьер (ред.). Геометрические действия Галуа. 1 . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 242. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 127–138. МР 1483114 .
- ^ Мотидзуки, Шиничи (2003). «Абсолютная анабелева геометрия канонических кривых» (PDF) . Документа Математика . Extra Vol., Пятидесятилетие Кадзуи Като: 609–640. МР 2046610 .
- ^ Хоши, Юичиро, Введение в моноанабелеву геометрию (PDF) появится в материалах конференции «Фундаментальные группы в арифметической геометрии», Париж, Франция, 2016 г. [1] (Связанный сайт семантического ученого «моноанабелева геометрия» [2] )
- ^ Мотидзуки, Шиничи (2012). «Темы абсолютной анабелевой геометрии I». Дж. Математика. наук. унив. Токио . 19 : 139–242.
- ^ Мотидзуки, Шиничи (2013). «Темы абсолютной анабелевой геометрии II». Дж. Математика. наук. унив. Токио . 20 : 171–269.
- ^ Мотидзуки, Шиничи (2015). «Темы абсолютной анабелевой геометрии III». Дж. Математика. наук. унив. Токио . 22 : 939–1156.
- ^ Мотидзуки, Шиничи (2021). «Межуниверсальная теория Тейхмюллера I, II, III, IV». Опубл. Рез. Инст. Математика. Наука . 57 : 3–723.
- ^ «Комбинаторная анабелева геометрия и смежные темы, семинар RIMS, 5-9 июля 2021 г.» .
Внешние ссылки [ править ]
- Основы и перспективы анабелевой геометрии, семинар RIMS, 28 июня – 2 июля 2021 г. https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/RIMS-workshop-homepages-2016-2021/w1/May2020. HTML
- Комбинаторная анабелева геометрия и смежные темы, семинар RIMS, 5–9 июля 2021 г. https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/RIMS-workshop-homepages-2016-2021/w2/June2020.html
- Мотидзуки, Шиничи (2012). «Темы абсолютной анабелевой геометрии I». Дж. Математика. наук. унив. Токио . 19 : 139–242.
- Мотидзуки, Шиничи (2013). «Темы абсолютной анабелевой геометрии II». Дж. Математика. наук. унив. Токио . 20 : 171–269.
- Мотидзуки, Шиничи (2015). «Темы абсолютной анабелевой геометрии III». Дж. Математика. наук. унив. Токио . 22 : 939–1156.
- Мотидзуки, Шиничи (2021). «Межуниверсальная теория Тейхмюллера I, II, III, IV». Опубл. Рез. Инст. Математика. Наука . 57 : 3–723.
- Гипотеза Гротендика о фундаментальных группах алгебраических кривых. http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf
- Арифметические фундаментальные группы и модули кривых. http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns001/Matsumoto/Matsumoto.pdf
- Поровски, Войтек. «Введение в анабелеву геометрию» . YouTube .
- Самуэли, Тамаш. «Гейдельбергские лекции о фундаментальных группах» (PDF) . раздел 5. Архивировано из оригинала (PDF) 5 апреля 2020 г. Проверено 26 апреля 2010 г.
- Гротендик, Александр. «Долгий путь по теории Галуа» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 мая 2022 г. Проверено 31 января 2022 г.
- Поп, Флориан (1994), «О гипотезе Гротендика о бирациональной анабелевой геометрии», Annals of Mathematics , (2), 139 (1): 145–182, doi : 10.2307/2946630 , JSTOR 2946630 , MR 1259367
