Модульная форма

В математике модулярная форма — это (комплексная) аналитическая функция в верхней полуплоскости , , что удовлетворяет:

Поэтому теория модулярных форм относится к комплексному анализу . Основное значение теории — ее связь с теорией чисел . Модульные формы появляются и в других областях, таких как алгебраическая топология , упаковка сфер и теория струн .

Теория модульных форм является частным случаем более общей теории автоморфных форм , которые представляют собой функции, определенные на группах Ли , которые хорошо преобразуются относительно действия определенных дискретных подгрупп , обобщая пример модулярной группы. .

Термин «модульная форма» как систематическое описание обычно приписывают Гекке.

Каждая модульная форма привязана к представлению Галуа . [1]

Определение [ править ]

В общем, [2] дана подгруппа , конечного индекса называемая арифметической группой , модулярной формой уровня и вес является голоморфной функцией от верхней полуплоскости так, что выполняются два условия:

  • Условие автоморфии: Для любого есть равенство [примечание 1]
  • Условия роста: Для любого функция ограничен для

где и функция отождествляется с матрицей Отождествление таких функций с такими матрицами приводит к тому, что композиция таких функций соответствует умножению матриц. Кроме того, ее называют формой возврата , если она удовлетворяет следующему условию роста:

  • Каспидальное состояние: для любого функция как

Как разделы линейной группы [ править ]

Модульные формы также можно интерпретировать как участки определенного линейного расслоения на модульных разновидностях . Для модульная форма уровня и вес можно определить как элемент

где является каноническим расслоением на модульной кривой

Размерности этих пространств модулярных форм можно вычислить с помощью теоремы Римана–Роха . [3] Классические модульные формы для являются сечениями линейного расслоения на стеке модулей эллиптических кривых .

Модульная функция [ править ]

Модульная функция — это функция, инвариантная относительно модулярной группы, но без условия f ( z ) голоморфности в верхней полуплоскости (среди прочих требований). Вместо этого модулярные функции мероморфны : они голоморфны в дополнении множества изолированных точек, которые являются полюсами функции.

Модульные формы для SL(2, Z) [ править ]

Стандартное определение [ править ]

Модульная форма веса k для модульной группы

комплексная функция f в верхней полуплоскости H = { z C , Im ( z ) > 0}, удовлетворяющая следующим трем условиям:

  1. f голоморфная функция на H .
  2. Для любого z H и любой матрицы из SL(2, Z ) , как указано выше, мы имеем:
  3. f требуется, чтобы оно было ограничено при z i .

Примечания:

  • Вес k обычно является положительным целым числом.
  • При нечетном k только нулевая функция может удовлетворять второму условию.
  • Третье условие также формулируется, говоря, что f «голоморфен на вершине», терминология, которая объясняется ниже. Явно это условие означает, что существуют некоторые такой, что , значение ограничено выше некоторой горизонтальной прямой.
  • Второе условие для
читает
соответственно. Поскольку S и T порождают модулярную группу SL(2, Z ) , второе условие выше эквивалентно этим двум уравнениям.

в терминах решеток или эллиптических Определение кривых

Модульную форму можно эквивалентно определить как функцию F от набора решеток в C до набора комплексных чисел , которая удовлетворяет определенным условиям:

  1. Если мы рассмотрим решетку Λ = Z α + Z z, порожденную константой α и переменной z , то F (Λ) является аналитической функцией от z .
  2. Если α — ненулевое комплексное число и α Λ — решетка, полученная умножением каждого элемента Λ на α , то F ( α Λ) = α - к F (Λ), где k — константа (обычно положительное целое число), называемая весом формы.
  3. Абсолютное значение F остается ограниченным сверху до тех пор , (Λ) пока абсолютное значение наименьшего ненулевого элемента в Λ отделено от 0.

Ключевая идея доказательства эквивалентности двух определений состоит в том, что такая функция F определяется в силу второго условия своими значениями на решетках вида Z + Z τ , где τ H .

Примеры [ править ]

Серия И. Эйзенштейн

Простейшими примерами с этой точки зрения являются ряды Эйзенштейна . Для каждого четного целого числа k > 2 мы определяем G k (Λ) как сумму λ - к по всем ненулевым векторам λ из Λ :

Тогда Gk k модулярная форма веса . — Для Λ = Z + Z τ имеем

и

Условие k > 2 необходимо для сходимости ; для нечетного k существует сокращение между λ - к и (− λ ) - к , так что такие ряды тождественно равны нулю.

II. Тэта-функции четных унимодулярных решеток

Чётная унимодулярная решётка L в R н представляет собой решетку, порожденную n векторами, образующими столбцы матрицы определителя 1 и удовлетворяющими условию, что квадрат длины каждого вектора в L является четным целым числом. Так называемая тета-функция

сходится, когда Im(z) > 0, и, как следствие формулы суммирования Пуассона, можно показать, что это модулярная форма веса n /2 . Построить даже унимодулярные решетки не так-то просто, но есть один из способов: пусть n — целое число, делящееся на 8, и рассмотрим все векторы v из R. н такой, что 2 v имеет целые координаты, либо все четные, либо все нечетные, и такой, что сумма координат v является четным целым числом. Мы называем эту решетку L n . Когда n = 8 , это решетка, порожденная корнями корневой системы, называемой E 8 . Поскольку существует только одна модульная форма веса 8 с точностью до скалярного умножения,

хотя решетки L 8 × L 8 и L 16 не подобны. Джон Милнор заметил, что 16-мерные торы, полученные делением R 16 Таким образом, эти две решетки являются примерами компактных римановых многообразий , которые изоспектральны , но не изометричны (см. « Услышать форму барабана »).

III. Модульный дискриминант

определяется Эта-функция Дедекинда как

где q – квадрат нома . Тогда модульный дискриминант ∆( z ) = (2π) 12 ч ( я ) 24 является модулярной формой веса 12. Наличие числа 24 связано с тем, что решетка Лича имеет 24 измерения. Знаменитая гипотеза Рамануджана утверждала , что, когда Δ( z ) разлагается в степенной ряд по q, коэффициент при q п для любого простого числа p имеет абсолютное значение ≤ 2 p 11/2 . Это было подтверждено работами Эйхлера , Шимуры , Куги , Ихары и Пьера Делиня в результате доказательства Делинем гипотез Вейля , которые, как было показано, подразумевают гипотезу Рамануджана.

Второй и третий примеры дают некоторый намек на связь между модулярными формами и классическими вопросами теории чисел, такими как представление целых чисел квадратичными формами и статистическая сумма . Решающую концептуальную связь между модулярными формами и теорией чисел обеспечивает теория операторов Гекке , которая также дает связь между теорией модулярных форм и теорией представлений .

Модульные функции [ править ]

Когда вес k можно показать равен нулю, с помощью теоремы Лиувилля , что единственные модульные формы являются постоянными функциями. Однако ослабление требования голоморфности f приводит к понятию модулярных функций . Функция f : H C называется модулярной, если она удовлетворяет следующим свойствам:

Часто пишут в терминах (квадрат нома ) , как:

Это также называется q -разложением f ( принцип q-разложения ). Коэффициенты известны как коэффициенты Фурье функции f , а число m называется порядком полюса функции f в точке i∞. Это условие называется «мероморфным на вершине», что означает, что только конечное число коэффициентов с отрицательным числом n отличны от нуля, поэтому q -разложение ограничено снизу, гарантируя, что оно мероморфно при q = 0. [примечание 2]

Иногда используется более слабое определение модулярных функций - согласно альтернативному определению достаточно, чтобы f была мероморфной в открытой верхней полуплоскости и чтобы f была инвариантной относительно подгруппы модулярной группы конечного индекса. [4] В данной статье это не соблюдено.

Другой способ сформулировать определение модулярных функций — использовать эллиптические кривые : каждая решетка Λ определяет эллиптическую кривую C /Λ над C ; две решетки определяют изоморфные эллиптические кривые тогда и только тогда, когда одна получается из другой умножением на некоторое ненулевое комплексное число α . Таким образом, модулярную функцию можно рассматривать и как мероморфную функцию на множестве классов изоморфизма эллиптических кривых. Например, j-инвариант j ( z ) эллиптической кривой, рассматриваемый как функция на множестве всех эллиптических кривых, является модулярной функцией. С более концептуальной точки зрения модулярные функции можно рассматривать как функции в пространстве модулей классов изоморфизма комплексных эллиптических кривых.

Модульная форма f, которая обращается в нуль при q = 0 (эквивалентно a 0 = 0 , также перефразируемая как z = i ), называется формой возврата ( Spitzenform на немецком языке ). Наименьшее n такое, что a n ≠ 0 — это порядок нуля f в точке i .

Модульная единица это модульная функция, полюсы и нули которой ограничены точками возврата. [5]

Модульные формы для более общих групп [ править ]

Функциональное уравнение, т. е. поведение f относительно можно смягчить, потребовав его только для матриц в меньших группах.

Риманова поверхность G \H [ редактировать ]

Пусть G — подгруппа SL(2, Z ), имеющая конечный индекс . Такая группа G действует на H так же, как SL(2, Z ) . фактортопологическое пространство G \ H Можно показать, что является хаусдорфовым пространством . Обычно он не компактен, но его можно компактифицировать, добавив конечное число точек, называемых точками возврата . Это точки на границе H , т.е. в Q ∪{∞}, [примечание 3] такой, что существует параболический элемент G (матрица со следом ±2), фиксирующий точку. Это дает компактное топологическое пространство G \ H . Более того, ей можно наделить структуру римановой поверхности , что позволяет говорить о голо- и мероморфных функциях.

Важными примерами являются для любого положительного целого числа N любая из подгрупп конгруэнтности

Для G = Γ 0 ( N ) или Γ ( N ) пространства G \ H и G \ H обозначаются Y 0 ( N ) и X 0 ( N ) и Y ( N ), X ( N ) соответственно.

Геометрия G \ H можно понять, изучая фундаментальные области для G , то есть подмножества D H такие, что D пересекает каждую орбиту G -действия на H ровно один раз и такие, что замыкание D соответствует всем орбитам. Например род G \ , H можно вычислить. [6]

Определение [ править ]

Модульная форма для G веса k — это функция на H, удовлетворяющая приведенному выше функциональному уравнению для всех матриц в G , то есть голоморфная на H и во всех точках G. возврата Опять же, модулярные формы, которые исчезают во всех точках возврата, называются формами сборки для G . C ) -векторные пространства модулярной и параболической форм веса обозначаются M k ( G k и S k ( G ) соответственно . Аналогично, мероморфная функция на G \ H называется модулярной функцией для G . В случае G = Γ 0 ( N ) их также называют модулярными/касп-формами и функциями уровня N . Для G = Γ(1) = SL(2, Z ) это возвращает приведенные выше определения.

Последствия [ править ]

Теорию римановых поверхностей можно применить к G \ H для получения дополнительной информации о модульных формах и функциях. Например, пространства Mk Римана ( G ) и Sk ( G ) конечномерны, а их размерности можно вычислить благодаря Роха в терминах геометрии G -действия на H. теореме [7] Например,

где обозначает функцию пола и четный.

Модульные функции составляют поле функций римановой поверхности и, следовательно, образуют поле первой степени трансцендентности (над C ). Если модулярная функция f не равна тождественному 0, то можно показать, что число нулей f равно числу полюсов f . в замыкании фундаментальной области R Γ . Можно показать, что поле модулярной функции f не равно 0 функция уровня N ( N ≥ 1) порождается функциями j ( z ) и j ( Nz ). [8]

Линейные пакеты [ править ]

Ситуацию можно выгодно сравнить с той, которая возникает при поиске функций в проективном пространстве P( V ): в этой ситуации в идеале хотелось бы, чтобы функции F в векторном пространстве V были полиномиальными в координатах v ≠ 0 в V и удовлетворять уравнению F ( cv ) = F ( v ) для всех ненулевых c . К сожалению, единственные такие функции — константы. Если мы допустим знаменатели (рациональные функции вместо многочленов), мы можем позволить F быть отношением двух однородных многочленов одной и той же степени. В качестве альтернативы мы можем придерживаться полиномов и ослабить зависимость от c , полагая F ( cv ) = c к Ф ( в ). Тогда решения представляют собой однородные многочлены степени k . С одной стороны, они образуют конечномерное векторное пространство для каждого k , а с другой, если мы позволим k меняться, мы сможем найти числители и знаменатели для построения всех рациональных функций, которые на самом деле являются функциями в базовом проективном пространстве P. ( В ).

Можно задаться вопросом: поскольку однородные полиномы на самом деле не являются функциями P( V ), каковы они с геометрической точки зрения? Алгебро -геометрический ответ заключается в том, что они представляют собой ( в сечения пучка данном случае можно также сказать, линейного расслоения ). Точно аналогичная ситуация и с модульными формами.

С этой геометрической точки зрения можно также выгодно подойти к модульным формам как к сечениям линейных расслоений в пространстве модулей эллиптических кривых.

Кольца модульных форм [ править ]

Для подгруппы Γ группы SL(2, Z ) кольцо модулярных форм — это градуированное кольцо, порожденное модулярными формами Γ . Другими словами, если Mk , то (Γ) — кольцо модулярных форм веса k кольцо модулярных форм Γ — это градуированное кольцо .

Кольца модулярных форм конгруэнтных подгрупп группы SL(2, Z ) конечно порождены благодаря результату Пьера Делиня и Майкла Рапопорта . Такие кольца модулярных форм порождаются с весом не более 6, а отношения порождаются с весом не более 12, когда конгруэнтная подгруппа имеет модулярные формы с ненулевым нечетным весом, а соответствующие границы равны 5 и 10, когда нет модулярных форм с ненулевым нечетным весом. .

В более общем смысле существуют формулы для оценок весов образующих кольца модулярных форм и их соотношений для произвольных фуксовых групп .

Типы [ править ]

Целые формы [ править ]

Если f голоморфна = в точке возврата (не имеет полюса в точке q 0), она называется целой модулярной формой .

Если f мероморфна, но не голоморфна в точке возврата, она называется неполной модулярной формой . Например, j-инвариант представляет собой неполную модульную форму веса 0 и имеет простой полюс в точке i∞.

Новые формы [ править ]

Новые формы — это подпространство модульных форм. [9] фиксированного уровня которые не могут быть построены из модульных форм более низких уровней разделяющий . Остальные формы называются старыми формами . Эти старые формы можно построить, используя следующие наблюдения: если затем дающее обратное включение модульных форм .

Формы острия [ править ]

Форма возврата — это модулярная форма с нулевым постоянным коэффициентом в ряду Фурье. Это называется формой возврата, потому что форма исчезает на всех точках возврата.

Обобщения [ править ]

Помимо классического, существует ряд других вариантов использования термина «модульная функция»; например, в теории мер Хаара это функция Δ( g ), определяемая действием сопряжения.

Формы Мааса являются вещественно-аналитическими собственными функциями лапласиана , но не обязательно должны быть голоморфными . Голоморфные части некоторых слабых волновых форм Мааса оказываются, по сути, ложными тета-функциями Рамануджана . группы, не являющиеся подгруппами SL(2, Z ) Можно рассматривать .

Модульные формы Гильберта — это функции от n переменных, каждая из которых представляет собой комплексное число в верхней полуплоскости, удовлетворяющие модульному соотношению для матриц 2 × 2 с элементами в полностью вещественном числовом поле .

Модулярные формы Зигеля ассоциированы с более крупными симплектическими группами точно так же, как классические модулярные формы ассоциированы с SL(2, R ) ; другими словами, они связаны с абелевыми многообразиями в том же смысле, в каком классические модулярные формы (которые иногда называют эллиптическими модулярными формами , чтобы подчеркнуть это) связаны с эллиптическими кривыми.

Формы Якоби представляют собой смесь модульных форм и эллиптических функций. Примеры таких функций очень классические — тэта-функции Якоби и коэффициенты Фурье модулярных форм Зигеля второго рода — но относительно недавнее наблюдение показало, что формы Якоби имеют арифметическую теорию, очень аналогичную обычной теории модулярных форм.

Автоморфные формы расширяют понятие модулярных форм на общие группы Ли .

Модульные интегралы веса k — это мероморфные функции в верхней полуплоскости умеренного роста на бесконечности, которые не могут быть модулярными с весом k рациональной функцией.

Автоморфные факторы — это функции вида которые используются для обобщения отношения модульности, определяющего модульные формы, так что

Функция называется небентипусом модульной формы. Такие функции, как эта-функция Дедекинда , модульная форма веса 1/2, могут быть охвачены теорией, допуская автоморфные факторы.

История [ править ]

Теория модульных форм развивалась в четыре периода:

  • В связи с теорией эллиптических функций в начале XIX в.
  • Феликсом Кляйном и другими в конце девятнадцатого века, когда стало понятно понятие автоморфной формы (для одной переменной).
  • Эрих Хекке , примерно 1925 г.
  • В 1960-е годы, когда потребности теории чисел и, в частности, формулировка теоремы модулярности, прояснили, что модульные формы глубоко запутаны.

Танияма и Шимура выявили соответствие 1 к 1 между определенными модульными формами и эллиптическими кривыми. Роберт Ленглендс опирался на эту идею при построении своей обширной программы Ленглендса , которая стала одной из самых далеко идущих и последовательных исследовательских программ в области математики.

В 1994 году Эндрю Уайлс использовал модульные формы для доказательства Великой теоремы Ферма . В 2001 году была доказана модулярность всех эллиптических кривых над рациональными числами. В 2013 году была доказана модулярность эллиптических кривых над действительными квадратичными полями . В 2023 году было доказано, что эллиптические кривые являются модулярными примерно для половины мнимых квадратичных полей, включая поля, образованные путем объединения рациональных чисел с квадратным корнем из целых чисел до -5. [1]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Некоторые авторы используют другие соглашения, допуская дополнительную константу, зависящую только от , см., например «DLMF: §23.15 Определения ‣ Модульные функции ‣ Глава 23 Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса» . dlmf.nist.gov . Проверено 7 июля 2023 г.
  2. ^ Мероморфная . функция может иметь только конечное число членов с отрицательной экспонентой в своем ряду Лорана, своем q-разложении Он может иметь не более полюса в точке q = 0, а не существенную особенность , как это имеет exp(1/ q ).
  3. ^ Здесь матрица отправляет ∞ в a / c .

Цитаты [ править ]

  1. ^ Jump up to: а б Ван Вик, Герхард (июль 2023 г.). «Эллиптические кривые раскрывают свои секреты в новой системе счисления» . Кванта .
  2. ^ Лан, Кай-Вэнь. «Когомологии автоморфных расслоений» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 1 августа 2020 года.
  3. ^ Милн. «Модульные функции и модульные формы» . п. 51.
  4. ^ Чандрасекхаран, К. (1985). Эллиптические функции . Издательство Спрингер. ISBN  3-540-15295-4 . п. 15
  5. ^ Куберт, Дэниел С .; Ланг, Серж (1981), Модульные единицы , Фундаментальные принципы математической науки, том. 244, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , с. 24, ISBN  978-0-387-90517-4 , МР   0648603 , Збл   0492.12002
  6. ^ Ганнинг, Роберт К. (1962), Лекции по модульным формам , Анналы математических исследований, том. 48, Издательство Принстонского университета , с. 13
  7. ^ Шимура, Горо (1971), Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Публикации Математического общества Японии, том. 11, Токио: Иванами Шотен , Теорема 2.33, Предложение 2.26.
  8. ^ Милн, Джеймс (2010), Модульные функции и модульные формы (PDF) , стр. 88 , Теорема 6.1.
  9. ^ Мокану, Андреа. «Теория Аткина-Ленера -Модульные формы» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 31 июля 2020 г.

Ссылки [ править ]