Эта-функция Дедекинда

В математике , эта-функция Дедекинда названная в честь Ричарда Дедекинда , представляет собой модульную форму веса 1/2 и представляет собой функцию, определенную в верхней полуплоскости комплексных чисел , где мнимая часть положительна. Это также происходит в теории бозонных струн .

Определение [ править ]

Для любого комплексного числа $τ$ с $Im(τ) > 0$ пусть $q = e 2 ямы$ ; тогда эта-функция определяется как:

\eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-e^{2n\pi i\tau }\right)=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right).

Возведение эта-уравнения в 24-ю степень и умножение на $(2 π). 12$ дает

\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )

где $∆$ — модульный дискриминант . Присутствие числа 24 можно понять по связи с другими явлениями, например, в 24-мерной решетке Лича .

Эта-функция голоморфна в верхней полуплоскости, но не может быть аналитически продолжена за ее пределы.

Модуль Эйлера фи на единичном круге, окрашенном так, что черный = 0, красный = 4.

Эта-функция удовлетворяет функциональным уравнениям ^[1]

{\begin{aligned}\eta (\tau +1)&=e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau ),\\\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau ).\,\end{aligned}}

Во втором уравнении ветвь квадратного корня выбирается такой, что $\sqrt - iτ = 1,$ когда $τ = i$ .

В более общем смысле, предположим, что $a, b, c, d$ — целые числа с $ad - bc = 1$ , так что

\tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}

— преобразование, принадлежащее модулярной группе . Мы можем предположить, что либо $c > 0$ , либо $c = 0$ и $d = 1$ . Затем

\eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(c\tau +d\right)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),

где

\epsilon (a,b,c,d)={\begin{cases}e^{\frac {bi\pi }{12}}&c=0,\,d=1,\\e^{i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}\right)}&c>0.\end{cases}}

Здесь $s (h, k)$ — сумма Дедекинда

s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).

Из-за этих функциональных уравнений эта-функция представляет собой модульную форму веса. 1/2 . и уровень 1 для определенного символа 24-го порядка метаплектического двойного покрытия модульной группы и могут использоваться для определения других модульных форм В частности, дискриминант Вейерштрасса модульный с

\omega _{2}=\tau \omega _{1}

может быть определен как

\Delta (\tau )=(2\pi \omega _{1})^{12}\eta (\tau )^{24}\,

и является модулярной формой веса 12. Некоторые авторы опускают множитель $(2 π) 12$ , так что разложение в ряд имеет целые коэффициенты.

подразумевает Тройное произведение Якоби , что эта (с точностью до множителя) является тэта-функцией Якоби для особых значений аргументов: ^[2]

\eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\exp \left({\frac {\pi in^{2}\tau }{12}}\right),

где $χ (n)$ — характер Дирихле по модулю 12 с $χ (\pm1) = 1$ и $χ (\pm5) = -1$ . Явно, ^{[ нужна ссылка ]}

\eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\vartheta \left({\frac {\tau +1}{2}};3\tau \right).

Функция Эйлера

{\begin{aligned}\phi (q)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)\\&=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),\end{aligned}}

имеет степенной ряд по тождеству Эйлера :

\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.

Обратите внимание, что, используя теорему Эйлера о пятиугольных числах для ${\mathfrak {I}}(\tau )>0$ , эта-функция может быть выражена как

\eta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in}e^{3\pi i\left(n+{\frac {1}{6}}\right)^{2}\tau }.

Это можно доказать, используя $x=2\pi i\tau$ в теореме Эйлера о пятиугольных числах с определением эта-функции.

Поскольку эта-функция легко вычисляется численно из любого степенного ряда , при вычислениях часто бывает полезно выразить через нее другие функции, когда это возможно, а произведения и коэффициенты эта-функции, называемые эта-коэффициентами, можно использовать для выражения большого числа разнообразие модульных форм.

На рисунке на этой странице показан модуль функции Эйлера: дополнительный коэффициент $q 1 / 24$ Между этим и эта практически нет никакой визуальной разницы. Таким образом, эту картину можно рассматривать как картину зависимости эта от $q$ .

Комбинаторные тождества [ править ]

Теория алгебраических характеров аффинных алгебр Ли порождает большой класс ранее неизвестных тождеств для эта-функции. Эти тождества следуют из формулы характера Вейля-Каца , а точнее из так называемых «тождествов знаменателя». Сами символы позволяют строить обобщения тета-функции Якоби , которые преобразуются под действием модулярной группы ; это то, что приводит к тождествам. Пример одной такой новой идентичности ^[3] является

\eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{m,n\in \mathbb {Z}  \atop m\leq |3n|}(-1)^{m}q^{(2m+1)^{2}-32n^{2}}

где $q = е 2 ямы$ является $q$ -аналогом или «деформацией» старшего веса модуля.

Специальные значения [ править ]

Из приведенной выше связи с функцией Эйлера вместе со специальными значениями последней нетрудно вывести, что

{\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}

частное [И

Эта-коэффициенты определяются факторами вида

\prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}

где $d$ — неотрицательное целое число, а $r d$ — любое целое число. Линейные комбинации эта-факторов при мнимых квадратичных аргументах могут быть алгебраическими , а комбинации эта-факторов могут быть даже целыми . Например, определите,

{\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}

с 24-й степенью модулярной функции Вебера $𝔣(τ)$ . Затем,

{\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots \\[6pt]j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\[6pt]j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac {89}{3}}}}}{2}}\right)&=-300^{3},&e^{\pi {\sqrt {\frac {89}{3}}}}&\approx 300^{3}+41.999971\dots \\[6pt]j_{4A}\left({\frac {\sqrt {-7}}{2}}\right)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt {7}}}&\approx 2^{12}-24.06\dots \end{aligned}}

и так далее, значения, которые появляются в ряду Рамануджана-Сато .

Эта-коэффициенты также могут быть полезным инструментом для описания баз модульных форм , которые, как известно, трудно вычислить и выразить напрямую. В 1993 году Бэзил Гордон и Ким Хьюз доказали, что если эта-частное $η g$ вида, приведенного выше, а именно $\prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}$ удовлетворяет

\sum _{0<d\mid N}dr_{d}\equiv 0{\pmod {24}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{0<d\mid N}{\frac {N}{d}}r_{d}\equiv 0{\pmod {24}},

тогда $ηg где$ — веса $k$ модулярная форма для подгруппы $Γ0 конгруэнц - (N)$ (с точностью до голоморфности ), ^[4]

k={\frac {1}{2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}.

Этот результат был расширен в 2019 году так, что обратное справедливо для случаев, когда $N$ взаимно просто с 6, и остается открытым, что исходная теорема точна для всех целых чисел $N$ . ^[5] Это также распространяется на утверждение, что любой модульный эта-фактор для любой уровня $n$ конгруэнцной подгруппы также должен быть модулярной формой для группы $Γ(N)$ . Хотя эти теоремы характеризуют модульные эта-факторы, условие голоморфности необходимо проверять отдельно, используя теорему, возникшую из работы Жерара Лигоза. ^[6] и Ив Мартен: ^[7]

Если $η g$ — эта-частное, удовлетворяющее вышеуказанным условиям для целого числа $N,$ а $c$ и $d$ — взаимно простые целые числа, то порядок исчезновения в точке возврата $c / d$ относительно $Γ 0 (N)$ есть

{\frac {N}{24}}\sum _{0<\delta |N}{\frac {\gcd \left(d,\delta \right)^{2}r_{\delta }}{\gcd \left(d,{\frac {N}{\delta }}\right)d\delta }}.

Эти теоремы предоставляют эффективные средства создания голоморфных модульных эта-факторов, однако этого может быть недостаточно для построения основы векторного пространства модульных форм и форм возврата . Полезная теорема для ограничения числа модульных эта-факторов, которую следует рассматривать, гласит, что голоморфный модульный эта-фактор веса $k$ на $Γ 0 (N)$ должен удовлетворять условию

\sum _{0<d\mid N}|r_{d}|\leq \prod _{p\mid N}\left({\frac {p+1}{p-1}}\right)^{\min {\bigl (}2,{\text{ord}}_{p}(N){\bigr )}},

где $ord p (N)$ обозначает наибольшее целое число $m$ такое, что $p м$ делит $Н.$ ^[8]Эти результаты приводят к нескольким характеристикам пространств модульных форм, которые могут быть натянуты на модульные эта-факторы. ^[8] Используя градуированную кольцевую структуру на кольце модулярных форм, мы можем вычислить базы векторных пространств модульных форм, состоящих из $\mathbb {C}$ -линейные комбинации эта-факторов. Например, если мы предположим, что $N = pq$ является полупростым числом , то следующий процесс можно использовать для вычисления эта-фактор-базиса $M k (Γ 0 (N) )$ . ^[5]

Зафиксируем полупростой $N = pq$ , взаимно простой с 6 (т. е. $p, q > 3$ ). Мы знаем, что любой модульный эта-фактор можно найти с помощью приведенных выше теорем, поэтому разумно алгоритмически вычислить их.
размерность $D$ M $Вычислите k (Γ 0 (N) )$ . Это говорит нам, сколько линейно независимых модульных эта-факторов нам нужно будет вычислить, чтобы сформировать базис.
Уменьшите количество рассматриваемых коэффициентов эта. Для полупростых чисел мы можем уменьшить количество разбиений, используя ограничение на
$\sum _{0<d\mid N}|r_{d}|$
и заметив, что сумма порядков исчезновения в точках возврата $Γ 0 (N)$ должна равняться
$S:={\frac {(p+1)(q+1)}{6}}$ . ^[5]
Найдите все разбиения $S$ на 4-ки (есть 4 точки возврата $Γ 0 (N)$ ), и среди них рассматривайте только те разбиения, которые удовлетворяют условиям Гордона и Хьюза (мы можем преобразовать порядки исчезновения в показатели). Каждому из этих разделов соответствует уникальный коэффициент эта.
Определите минимальное количество членов в $q$ -разложении каждого эта-фактора, необходимое для однозначной идентификации элементов (при этом используется результат, известный как граница Штурма ). Затем используйте линейную алгебру, чтобы определить максимальный независимый набор среди этих эта-факторов.
Предполагая, что мы еще не нашли $D$ линейно независимых эта-факторов, найдите подходящее векторное пространство $M k' (Γ 0 (N))$ такое, что $k'$ и $M k' ( Γ 0 (N))$ натянуто на ( слабо голоморфное ) эта-коэффициенты, ^[8] и $M k' - k (Γ 0 (N))$ содержит этата-фактор $η g$ .
Возьмем модульную форму $f$ с весом $k$ , которая не входит в диапазон наших вычисленных эта-факторов, и вычислим $f η g$ как линейную комбинацию эта-факторов в $M k' (Γ 0 (N))$ и затем разделим на $η г$ . Результатом будет выражение $f$ как желаемая линейная комбинация коэффициентов эта. Повторяйте это до тех пор, пока не будет сформирована основа.

Коллекция из более чем 6300 наименований продуктов для эта-функции Дедекинда в канонической, стандартизированной форме доступна на машине Wayback. ^[9] веб-сайта Майкла Сомоса.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Сигел, CL (1954). «Простое доказательство того, что η (−1/ τ ) = η ( τ ) √ τ / i ». Математика . 1 : 4. дои : 10.1112/S0025579300000462 .
^ Бамп, Дэниел (1998), Автоморфные формы и представления , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-55098-Х
^ Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-Х
^ Гордон, Бэзил; Хьюз, Ким (1993). «Мультипликативные свойства η -произведений. II.». Дань уважения Эмилю Гроссвальду: теория чисел и связанный с ней анализ . Современная математика. Том. 143. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 415–430.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Аллен, Майкл; Андерсон, Николас; Хамакиотес, Асимина; Олцик, Бен; Свишер, Холли (2020). «Эта-факторы простого или полупростого уровня и эллиптические кривые». Вовлекать . 13 (5): 879–900. arXiv : 1901.10511 . дои : 10.2140/involve.2020.13.879 . S2CID 119620241 .
^ Лигозат, Г. (1974). Модульные кривые рода 1 . Публикации Mathématiques d’Orsay. Полет. 75. UER Mathematics, Парижский университет XI, Орсе. п. 7411.
^ Мартин, Ив (1996). «Мультипликативные η -частные» . Труды Американского математического общества . 348 (12): 4825–4856. дои : 10.1090/S0002-9947-96-01743-6 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Роуз, Джереми; Уэбб, Джон Дж. (2015). «О пространствах модульных форм, натянутых на эта-факторы» . Достижения в математике . 272 : 200–224. arXiv : 1311.1460 . дои : 10.1016/j.aim.2014.12.002 .
^ «Идентификация продуктов эта-функции Дедекинда Майкла Сомоса» . Архивировано из оригинала 9 июля 2019 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Апостол, Том М. (1990). Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 41 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. гл. 3. ISBN 3-540-97127-0 .
Коблиц, Нил (1993). Введение в эллиптические кривые и модульные формы . Тексты для аспирантов по математике. Том. 97 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-97966-2 .

[1] Сигел, CL (1954). «Простое доказательство того, что η (−1/ τ ) = η ( τ ) √ τ / i ». Математика . 1 : 4. дои : 10.1112/S0025579300000462 .

[2] Бамп, Дэниел (1998), Автоморфные формы и представления , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-55098-Х

[3] Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-Х

[4] Гордон, Бэзил; Хьюз, Ким (1993). «Мультипликативные свойства η -произведений. II.». Дань уважения Эмилю Гроссвальду: теория чисел и связанный с ней анализ . Современная математика. Том. 143. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 415–430.

[AAHOS-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Аллен, Майкл; Андерсон, Николас; Хамакиотес, Асимина; Олцик, Бен; Свишер, Холли (2020). «Эта-факторы простого или полупростого уровня и эллиптические кривые». Вовлекать . 13 (5): 879–900. arXiv : 1901.10511 . дои : 10.2140/involve.2020.13.879 . S2CID 119620241 .

[6] Лигозат, Г. (1974). Модульные кривые рода 1 . Публикации Mathématiques d’Orsay. Полет. 75. UER Mathematics, Парижский университет XI, Орсе. п. 7411.

[7] Мартин, Ив (1996). «Мультипликативные η -частные» . Труды Американского математического общества . 348 (12): 4825–4856. дои : 10.1090/S0002-9947-96-01743-6 .

[RW-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Роуз, Джереми; Уэбб, Джон Дж. (2015). «О пространствах модульных форм, натянутых на эта-факторы» . Достижения в математике . 272 : 200–224. arXiv : 1311.1460 . дои : 10.1016/j.aim.2014.12.002 .

[9] «Идентификация продуктов эта-функции Дедекинда Майкла Сомоса» . Архивировано из оригинала 9 июля 2019 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]