q - символ Поххаммера

В математической области комбинаторики символ q -Похгаммера , также называемый q -сдвинутым факториалом , представляет собой произведение

$$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),$$

с $(a;q)_{0}=1.$Это q -аналог символа Похгаммера. $(x)_{n}=x(x+1)\dots (x+n-1)$, в том смысле, что

$$\lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=(x)_{n}.$$

Символ q -Поххаммера является основным строительным блоком в построении q -аналогов; например, в теории основных гипергеометрических рядов он играет ту же роль, которую обычный символ Похгаммера играет в теории обобщенных гипергеометрических рядов .

В отличие от обычного символа Похгаммера, символ q -Поххаммера можно расширить до бесконечного произведения:

$$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$$

Это аналитическая функция от q внутри единичного круга , которую также можно рассматривать как формальный степенной ряд по q . Особый случай

$$\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$$

известна как функция Эйлера и играет важную роль в комбинаторике , теории чисел и теории модульных форм .

Личности

Конечный продукт можно выразить через бесконечный продукт:

$$(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$$

что расширяет определение до отрицательных целых чисел n . Таким образом, для неотрицательного n имеем

$$(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}$$

и

$$(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.$$

Альтернативно,

$$\prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},$$

что полезно для некоторых производящих функций статистических сумм.

Символ q -Поххаммера является предметом ряда тождеств q -ряда, особенно разложений в бесконечный ряд.

$$(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}$$

и

$${\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},$$

которые являются частными случаями q -биномиальной теоремы :

$${\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.$$

Фридрих Карпелевич нашел следующее тождество ( см. Ольшанецкий и Рогов ( 1995 доказательство ):

$${\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.$$

интерпретация

Символ q -Поххаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент $q^{m}a^{n}$ в

$$(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}$$

— количество разбиений m не более чем на n частей.Поскольку при сопряжении разбиений это то же самое, что число разбиений m на части размера не выше n , то путем идентификации порождающих рядов получаем тождество

$$(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}$$

как в предыдущем разделе.

У нас также есть коэффициент $q^{m}a^{n}$ в

$$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})$$

— количество разбиений m на n или n -1 различных частей.

Удалив из такого раздела треугольный раздел с n - 1 частями, мы получим произвольный раздел, состоящий не более чем из n частей. Это дает сохраняющую вес биекцию между набором разбиений на n или n - 1 различных частей и набором пар, состоящим из треугольного разбиения, имеющего n - 1 частей, и разбиения, состоящего не более чем из n частей. Путем выявления порождающих рядов это приводит к тождеству

$$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}$$

также описано в разделе выше. обратная функция $(q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }$ аналогично возникает как производящая функция для статистической суммы , $p(n)$, который также расширен двумя вторыми расширениями серии q, приведенными ниже:

$${\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.$$

можно Саму q -биномиальную теорему также решить с помощью немного более сложного комбинаторного аргумента аналогичного характера (см. также расширения, данные в следующем подразделе ).

Сходным образом,

$$(q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.$$

Соглашение о нескольких аргументах

Поскольку тождества, включающие символы q -Pochhammer, часто включают в себя произведения многих символов, стандартное соглашение состоит в том, чтобы записать произведение как один символ с несколькими аргументами:

$$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$$

q -серия

Основная статья: q-аналог

Ряд q — это ряд , в котором коэффициенты являются функциями q , обычно это выражения $(a;q)_{n}$. Первые результаты принадлежат Эйлеру , Гауссу и Коши . Систематическое исследование начинается с Эдуарда Гейне (1843).

Связь с другими q -функциями

q - аналог n , также известный как q -скобка или q -число , n определяется как

$$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$$

Отсюда можно определить q , - аналог факториала q - факториал , как

$${\begin{aligned}\left[n\right]!_{q}&=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}$$

Эти числа являются аналогами в том смысле, что

$$\lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,$$

и так же

$$\lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.$$

Предельное значение n ! подсчитывает перестановки множества n элементного S. - Эквивалентно, он подсчитывает количество последовательностей вложенных наборов. $E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S$ такой, что $E_{i}$ содержит ровно i элементов. Для сравнения: когда q — степень простого числа, а V — n -мерное векторное пространство над полем с q элементами, q -аналог $[n]!_{q}$ — это количество полных флагов в V , то есть это количество последовательностей $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$ подпространств таких, что $V_{i}$ имеет размерность i . Предыдущие соображения позволяют предположить, что последовательность вложенных наборов можно рассматривать как флаг над гипотетическим полем с одним элементом .

Произведение отрицательных целых q -скобок можно выразить через q -факториал как

$$\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}$$

От q -факториалов можно перейти к определению q -биномиальных коэффициентов, также известных как гауссовы биномиальные коэффициенты , как

$${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},$$

где, как легко видеть, треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что

${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}$

для всех $0\leq m\leq n$. Это можно проверить

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}$$

Из предыдущих рекуррентных соотношений также видно, что следующие варианты $q$-биномиальная теорема раскрывается в терминах этих коэффициентов следующим образом:

$${\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}$$

Далее можно определить q -мультиномиальные коэффициенты

$${\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},$$

где аргументы $k_{1},\ldots ,k_{m}$ являются неотрицательными целыми числами, которые удовлетворяют $\sum _{i=1}^{m}k_{i}=n$. Коэффициент выше подсчитывает количество флагов $V_{1}\subset \dots \subset V_{m}$ подпространств в n -мерном векторном пространстве над полем с q элементами таких, что $\dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}$.

Предел $q\to 1$ дает обычный полиномиальный коэффициент ${n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}$, который считает слова в n различных символах $\{s_{1},\dots ,s_{m}\}$ такой, что каждый $s_{i}$ появляется $k_{i}$ раз.

Можно также получить q -аналог гамма-функции , называемый q-гамма-функцией и определяемый как

$$\Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}$$

Она сходится к обычной гамма-функции, когда q приближается к 1 изнутри единичного круга. Обратите внимание, что

$$\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$$

для любого х и

$$\Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}$$

для неотрицательных целых значений n . В качестве альтернативы это можно рассматривать как расширение функции q -факториала на действительную систему счисления.

См. также

• Список q-аналогов
• Базовый гипергеометрический ряд
• Эллиптическая гамма-функция
• Тета-функция Якоби
• Серия Ламберт
• Теорема о пятиугольных числах
• q -производная
• q -тета-функция
• q - тождество Вандермонда
• Личности Роджерса-Рамануджана
• Продолжительная дробь Роджерса-Рамануджана

Ссылки

• Джордж Гаспер и Мизан Рахман , Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание , (2004), Энциклопедия математики и ее приложений, 96 , Cambridge University Press, Кембридж. ISBN   0-521-83357-4 .
• Рулоф Кукук и Рене Ф. Свартау, Схема Аски ортогональных полиномов и ее q-аналоги , раздел 0.2.
• Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN   0853124914 , ISBN   0470274530 , ISBN   978-0470274538
• М.А. Ольшанецкий и В.Б.К. Рогов (1995), Модифицированные q-функции Бесселя и q-функции Бесселя-Макдональда, arXiv:q-alg/9509013.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. « q -аналог» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. « q -скобка» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. « q -факториал» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. « Серия q » . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. « q -биномиальный коэффициент» . Математический мир .