Модульная форма

«Модульная функция» перенаправляется сюда. Отчетливое использование этого термина появляется в отношении меры Хаара .

В математике модулярная форма — это (комплексная) аналитическая функция в верхней полуплоскости , $\,{\mathcal {H}}\,$, что удовлетворяет:

• своего рода функциональное уравнение относительно группового действия модулярной группы ,
• и условия роста.

Поэтому теория модулярных форм относится к комплексному анализу . Основное значение теории — ее связь с теорией чисел . Модульные формы появляются и в других областях, таких как алгебраическая топология , упаковка сфер и теория струн .

Теория модульных форм является частным случаем более общей теории автоморфных форм , которые представляют собой функции, определенные на группах Ли , которые хорошо преобразуются относительно действия определенных дискретных подгрупп , обобщая пример модулярной группы. $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$.

Термин «модульная форма» как систематическое описание обычно приписывают Гекке.

Каждая модульная форма привязана к представлению Галуа .

Определение

В общем, дана подгруппа $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ , конечного индекса называемая арифметической группой , модулярной формой уровня $\Gamma$ и вес $k$ является голоморфной функцией $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ от верхней полуплоскости так, что выполняются два условия:

• Условие автоморфии: Для любого $\gamma \in \Gamma$ есть равенство $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$
• Условия роста: Для любого $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ функция $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ ограничен для ${\text{im}}(z)\to \infty$

где ${\textstyle \gamma (z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ и функция ${\textstyle \gamma }$ отождествляется с матрицей ${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).\,}$ Отождествление таких функций с такими матрицами приводит к тому, что композиция таких функций соответствует умножению матриц. Кроме того, ее называют формой возврата , если она удовлетворяет следующему условию роста:

• Каспидальное состояние: для любого $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ функция $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0$ как ${\text{im}}(z)\to \infty$

Как разделы линейной группы

Модульные формы также можно интерпретировать как участки определенного линейного расслоения на модульных разновидностях . Для $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ модульная форма уровня $\Gamma$ и вес $k$ можно определить как элемент

$f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma )$

где $\omega$ является каноническим расслоением на модульной кривой

$X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))$

Размерности этих пространств модулярных форм можно вычислить с помощью теоремы Римана–Роха . Классические модульные формы для $\Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ являются сечениями линейного расслоения на стеке модулей эллиптических кривых .

Модульная функция

Модульная функция — это функция, инвариантная относительно модулярной группы, но без условия f ( z ) голоморфности в верхней полуплоскости (среди прочих требований). Вместо этого модулярные функции мероморфны : они голоморфны в дополнении множества изолированных точек, которые являются полюсами функции.

Модульные формы для SL(2, Z)

Стандартное определение

Модульная форма веса k для модульной группы

${\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}$

— комплексная функция   f   в верхней полуплоскости H = { z ∈ C , Im ( z ) > 0}, удовлетворяющая следующим трем условиям:

1.  f   — голоморфная функция на H .
2. Для любого z ∈ H и любой матрицы из SL(2, Z ) , как указано выше, мы имеем:

   $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$

3.  f   требуется, чтобы оно было ограничено при z → i ∞ .

Примечания:

• Вес k обычно является положительным целым числом.
• При нечетном k только нулевая функция может удовлетворять второму условию.
• Третье условие также формулируется, говоря, что   f   «голоморфен на вершине», терминология, которая объясняется ниже. Явно это условие означает, что существуют некоторые $M,D>0$ такой, что $\operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D$, значение $f$ ограничено выше некоторой горизонтальной прямой.
• Второе условие для

$S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

читает

$f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)$

соответственно. Поскольку S и T порождают модулярную группу SL(2, Z ) , второе условие выше эквивалентно этим двум уравнениям.

• Поскольку   f ( z +1) = f ( z ) , модулярные формы являются периодическими функциями с периодом 1 и, таким образом, имеют ряд Фурье .

в терминах решеток или

Модульную форму можно эквивалентно определить как функцию F от набора решеток в C до набора комплексных чисел , которая удовлетворяет определенным условиям:

1. Если мы рассмотрим решетку Λ = Z α + Z z, порожденную константой α и переменной z , то F (Λ) является аналитической функцией от z .
2. Если α — ненулевое комплексное число и α Λ — решетка, полученная умножением каждого элемента Λ на α , то F ( α Λ) = α ^{- к} F (Λ), где k — константа (обычно положительное целое число), называемая весом формы.
3. Абсолютное значение F остается ограниченным сверху до тех пор , (Λ) пока абсолютное значение наименьшего ненулевого элемента в Λ отделено от 0.

Ключевая идея в доказательстве эквивалентности двух определений состоит в том, что такая функция F определяется в силу второго условия своими значениями на решетках вида Z + Z τ , где τ ∈ H .

Примеры

Серия И. Эйзенштейн

Простейшими примерами с этой точки зрения являются ряды Эйзенштейна . Для каждого четного целого числа k > 2 мы определяем G _k (Λ) как сумму λ ^{- к} по всем ненулевым векторам λ из Λ :

$G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.$

Тогда Gk _k модулярная форма веса . — Для Λ = Z + Z τ имеем

$G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},$

и

${\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}$

Условие k > 2 необходимо для сходимости ; для нечетного k существует сокращение между λ ^{- к} и (− λ ) ^{- к} , так что такие ряды тождественно равны нулю.

II. Тэта-функции четных унимодулярных решеток

Чётная унимодулярная решётка L в R ^н — это решетка, порожденная n векторами, образующими столбцы матрицы определителя 1 и удовлетворяющая условию, что квадрат длины каждого вектора в L является четным целым числом. Так называемая тета-функция

$\vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}$

сходится, когда Im(z) > 0, и, как следствие формулы суммирования Пуассона, можно показать, что это модулярная форма веса n /2 . Построить даже унимодулярные решетки не так-то просто, но есть один из способов: пусть n — целое число, делящееся на 8, и рассмотрим все векторы v из R. ^н такой, что 2 v имеет целые координаты, либо все четные, либо все нечетные, и такой, что сумма координат v является четным целым числом. Мы называем эту решетку L _n . Когда n = 8 , это решетка, порожденная корнями корневой системы, называемой E ₈ . Поскольку существует только одна модульная форма веса 8 с точностью до скалярного умножения,

$\vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),$

хотя решетки L ₈ × L ₈ и L ₁₆ не подобны. Джон Милнор заметил, что 16-мерные торы, полученные делением R ¹⁶ Следовательно, эти две решетки являются примерами компактных римановых многообразий , которые изоспектральны , но не изометричны (см. « Услышать форму барабана »).

III. Модульный дискриминант

Дополнительная информация: эллиптические функции Вейерштрасса § Модульный дискриминант.

определяется Эта-функция Дедекинда как

$\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.$

где q – квадрат нома . Тогда модульный дискриминант ∆( z ) = (2π) ¹² ч ( я ) ²⁴ является модулярной формой веса 12. Наличие числа 24 связано с тем, что решетка Лича имеет 24 измерения. Знаменитая гипотеза Рамануджана утверждала , что, когда Δ( z ) разлагается в степенной ряд по q, коэффициент при q ^п для любого простого числа p имеет абсолютное значение ≤ 2 p ^11/2 . Это было подтверждено работами Эйхлера , Шимуры , Куги , Ихары и Пьера Делиня в результате доказательства Делинем гипотез Вейля , которые, как было показано, подразумевают гипотезу Рамануджана.

Второй и третий примеры дают некоторый намек на связь между модулярными формами и классическими вопросами теории чисел, такими как представление целых чисел квадратичными формами и статистическая сумма . Решающую концептуальную связь между модулярными формами и теорией чисел обеспечивает теория операторов Гекке , которая также дает связь между теорией модулярных форм и теорией представлений .

Модульные функции

Когда вес k можно показать равен нулю, с помощью теоремы Лиувилля , что единственные модульные формы являются постоянными функциями. Однако ослабление требования голоморфности f приводит к понятию модулярных функций . Функция f : H → C называется модулярной, если она удовлетворяет следующим свойствам:

• f мероморфен H открытой верхней полуплоскости в
• Для каждой целочисленной матрицы ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ в модулярной группе Γ , $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$.
• Второе условие подразумевает, что f периодична и, следовательно, имеет ряд Фурье . Третье условие состоит в том, что этот ряд имеет вид

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.$

Часто пишут в терминах $q=\exp(2\pi iz)$ (квадрат нома ) , как:

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.$

Это также называется q -разложением f ( принцип q-разложения ). Коэффициенты $a_{n}$ известны как коэффициенты Фурье функции f , а число m называется порядком полюса функции f в точке i∞. Это условие называется «мероморфным на вершине», что означает, что только конечное число коэффициентов с отрицательным числом n отличны от нуля, поэтому q -разложение ограничено снизу, гарантируя, что оно мероморфно при q = 0.

Иногда используется более слабое определение модулярных функций - согласно альтернативному определению достаточно, чтобы f была мероморфной в открытой верхней полуплоскости и чтобы f была инвариантной относительно подгруппы модулярной группы конечного индекса. В данной статье это не соблюдено.

Другой способ сформулировать определение модулярных функций — использовать эллиптические кривые : каждая решетка Λ определяет эллиптическую кривую C /Λ над C ; две решетки определяют изоморфные эллиптические кривые тогда и только тогда, когда одна получается из другой умножением на некоторое ненулевое комплексное число α . Таким образом, модулярную функцию можно рассматривать и как мероморфную функцию на множестве классов изоморфизма эллиптических кривых. Например, j-инвариант j ( z ) эллиптической кривой, рассматриваемый как функция на множестве всех эллиптических кривых, является модулярной функцией. С более концептуальной точки зрения модулярные функции можно рассматривать как функции в пространстве модулей классов изоморфизма комплексных эллиптических кривых.

Модульная форма f, которая обращается в нуль при q = 0 (эквивалентно a ₀ = 0 , также перефразируемая как z = i ∞ ), называется формой возврата ( Spitzenform на немецком языке ). Наименьшее n такое, что a _n ≠ 0 — это порядок нуля f в точке i ∞ .

— Модульная единица это модульная функция, полюсы и нули которой ограничены точками возврата.

Модульные формы для более общих групп

Функциональное уравнение, т. е. поведение f относительно $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ можно смягчить, потребовав его только для матриц в меньших группах.

Риманова поверхность G \H ^∗

Пусть G — подгруппа SL(2, Z ), имеющая конечный индекс . Такая группа G действует на H так же, как SL(2, Z ) . фактортопологическое пространство G \ H Можно показать, что является хаусдорфовым пространством . Обычно он не компактен, но его можно компактифицировать, добавив конечное число точек, называемых точками возврата . Это точки на границе H , т.е. в Q ∪{∞}, такой, что существует параболический элемент G (матрица со следом ±2), фиксирующий точку. Это дает компактное топологическое пространство G \ H ^∗ . Более того, ей можно наделить структуру римановой поверхности , что позволяет говорить о голо- и мероморфных функциях.

Важными примерами являются для любого положительного целого числа N любая из подгрупп конгруэнтности

${\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}$

Для G = Γ ₀ ( N ) или Γ( N ) пространства G \ H и G \ H ^∗ обозначаются Y ₀ ( N ) и X ₀ ( N ) и Y ( N ), X ( N ) соответственно.

Геометрия G \ H ^∗ можно понять, изучая фундаментальные области для G , то есть подмножества D ⊂ H такие, что D пересекает каждую орбиту G -действия на H ровно один раз и такие, что замыкание D соответствует всем орбитам. Например род G \ , H ^∗ можно вычислить.

Определение

Модульная форма для G веса k — это функция на H, удовлетворяющая приведенному выше функциональному уравнению для всех матриц в G , то есть голоморфная на H и во всех точках G. возврата Опять же, модулярные формы, которые исчезают во всех точках возврата, называются формами сборки для G . C ) -векторные пространства модулярной и параболической форм веса обозначаются M k ₍ G k и S k ₍ G ) соответственно . Аналогично, мероморфная функция на G \ H ^∗ называется модулярной функцией для G . В случае G = Γ ₀ ( N ) их также называют модулярными/касп-формами и функциями уровня N . Для G = Γ(1) = SL(2, Z ) это возвращает приведенные выше определения.

Последствия

Теорию римановых поверхностей можно применить к G \ H ^∗ для получения дополнительной информации о модульных формах и функциях. Например, пространства Mk _Римана ( G ) и Sk _– ( G ) конечномерны, а их размерности можно вычислить благодаря Роха в терминах геометрии G -действия на H. теореме Например,

$\dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

где $\lfloor \cdot \rfloor$ обозначает функцию пола и $k$ четный.

Модульные функции составляют поле функций римановой поверхности и, следовательно, образуют поле первой степени трансцендентности (над C ). Если модулярная функция f не равна тождественному 0, то можно показать, что число нулей f равно числу полюсов f . в замыкании фундаментальной области R _Γ . Можно показать, что поле модулярной функции f не равно 0 функция уровня N ( N ≥ 1) порождается функциями j ( z ) и j ( Nz ).

Линейные пакеты

Ситуацию можно выгодно сравнить с той, которая возникает при поиске функций в проективном пространстве P( V ): в этой ситуации в идеале хотелось бы, чтобы функции F в векторном пространстве V были полиномиальными в координатах v ≠ 0 в V и удовлетворяют уравнению F ( cv ) = F ( v ) для всех ненулевых c . К сожалению, единственные такие функции — константы. Если мы допустим знаменатели (рациональные функции вместо многочленов), мы можем позволить F быть отношением двух однородных многочленов одной и той же степени. В качестве альтернативы мы можем придерживаться полиномов и ослабить зависимость от c , полагая F ( cv ) = c ^к Ф ( в ). Тогда решения представляют собой однородные многочлены степени k . С одной стороны, они образуют конечномерное векторное пространство для каждого k , а с другой, если мы позволим k меняться, мы сможем найти числители и знаменатели для построения всех рациональных функций, которые на самом деле являются функциями в базовом проективном пространстве P. ( В ).

Можно задаться вопросом: поскольку однородные полиномы на самом деле не являются функциями P( V ), каковы они с геометрической точки зрения? Алгебро -геометрический ответ заключается в том, что они представляют собой ( в сечения пучка данном случае можно также сказать, линейного расслоения ). Точно аналогичная ситуация и с модульными формами.

С этого геометрического направления также можно выгодно подойти к модульным формам как к сечениям линейных расслоений в пространстве модулей эллиптических кривых.

Кольца модульных форм

Основная статья: Кольцо модульных форм

Для подгруппы Γ группы SL(2, Z ) кольцо модулярных форм — это градуированное кольцо, порожденное модулярными формами Γ . Другими словами, если Mk _{, то} (Γ) — кольцо модулярных форм веса k кольцо модулярных форм Γ — это градуированное кольцо $M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )$.

Кольца модулярных форм конгруэнтных подгрупп группы SL(2, Z ) конечно порождены благодаря результату Пьера Делиня и Майкла Рапопорта . Такие кольца модулярных форм порождаются с весом не более 6, а отношения порождаются с весом не более 12, когда конгруэнтная подгруппа имеет модулярные формы с ненулевым нечетным весом, а соответствующие границы равны 5 и 10, когда нет модулярных форм с ненулевым нечетным весом. .

В более общем смысле существуют формулы для оценок весов образующих кольца модулярных форм и их соотношений для произвольных фуксовых групп .

Типы

Целые формы

Если f голоморфна = в точке возврата (не имеет полюса в точке q 0), она называется целой модулярной формой .

Если f мероморфна, но не голоморфна в точке возврата, она называется неполной модулярной формой . Например, j-инвариант представляет собой неполную модульную форму веса 0 и имеет простой полюс в точке i∞.

Новые формы

Основная статья: теория Аткина – Ленера

Новые формы — это подпространство модульных форм. фиксированного уровня $N$ которые не могут быть построены из модульных форм более низких уровней $M$ разделяющий $N$. Остальные формы называются старыми формами . Эти старые формы можно построить, используя следующие наблюдения: если $M\mid N$ затем $\Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)$ дающее обратное включение модульных форм $M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))$.

Формы острия

Основная статья: форма острия

Форма возврата — это модулярная форма с нулевым постоянным коэффициентом в ряду Фурье. Это называется формой возврата, потому что форма исчезает на всех точках возврата.

Обобщения

Помимо классического, существует ряд других вариантов использования термина «модульная функция»; например, в теории мер Хаара это функция ∆( g ), определяемая действием сопряжения.

Формы Мааса являются вещественно-аналитическими собственными функциями лапласиана , но не обязательно должны быть голоморфными . Голоморфные части некоторых слабых волновых форм Мааса оказываются, по сути, ложными тета-функциями Рамануджана . группы, не являющиеся подгруппами SL(2, Z ) Можно рассматривать .

Модульные формы Гильберта — это функции от n переменных, каждая из которых представляет собой комплексное число в верхней полуплоскости, удовлетворяющие модульному соотношению для матриц 2 × 2 с элементами в полностью вещественном числовом поле .

Модулярные формы Зигеля связаны с более крупными симплектическими группами так же, как классические модулярные формы связаны с SL(2, R ) ; другими словами, они связаны с абелевыми многообразиями в том же смысле, в каком классические модулярные формы (которые иногда называют эллиптическими модулярными формами , чтобы подчеркнуть это) связаны с эллиптическими кривыми.

Формы Якоби представляют собой смесь модульных форм и эллиптических функций. Примеры таких функций очень классические — тэта-функции Якоби и коэффициенты Фурье модулярных форм Зигеля второго рода — но относительно недавнее наблюдение показало, что формы Якоби имеют арифметическую теорию, очень аналогичную обычной теории модулярных форм.

Автоморфные формы расширяют понятие модулярных форм на общие группы Ли .

Модульные интегралы веса k — это мероморфные функции в верхней полуплоскости умеренного роста на бесконечности, которые не могут быть модулярными с весом k рациональной функцией.

Автоморфные факторы — это функции вида $\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}$ которые используются для обобщения отношения модульности, определяющего модульные формы, так что

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).$

Функция $\varepsilon (a,b,c,d)$ называется небентипусом модульной формы. Такие функции, как эта-функция Дедекинда , модульная форма веса 1/2, могут быть включены в теорию, допуская автоморфные факторы.

История

Теория модульных форм развивалась в четыре периода:

• В связи с теорией эллиптических функций в начале XIX в.
• Феликсом Кляйном и другими в конце девятнадцатого века, когда стало понятно понятие автоморфной формы (для одной переменной).
• Эрих Хекке , примерно 1925 г.
• В 1960-е годы, когда потребности теории чисел и, в частности, формулировка теоремы модулярности, прояснили, что модульные формы глубоко запутаны.

Танияма и Шимура выявили соответствие 1 к 1 между определенными модульными формами и эллиптическими кривыми. Роберт Ленглендс опирался на эту идею при построении своей обширной программы Ленглендса , которая стала одной из самых далеко идущих и последовательных исследовательских программ в области математики.

В 1994 году Эндрю Уайлс использовал модульные формы для доказательства Великой теоремы Ферма . В 2001 году была доказана модулярность всех эллиптических кривых над рациональными числами. В 2013 году была доказана модулярность эллиптических кривых над действительными квадратичными полями . В 2023 году было доказано, что эллиптические кривые являются модулярными примерно для половины мнимых квадратичных полей, включая поля, образованные путем объединения рациональных чисел с квадратным корнем из целых чисел до -5.

См. также

• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма

Ссылки

• Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  0-387-97127-0
• Даймонд, Фред; Шурман, Джерри Майкл (2005), Первый курс модульных форм , Тексты для выпускников по математике, том. 228, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0387232294 Подводит к обзору доказательства теоремы модульности .
• Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы в группах Адель , Анналы математических исследований, том. 83, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , MR   0379375 . Содержит введение в модульные формы с точки зрения теории представлений .
• Хекке, Эрих (1970), Математические труды , Геттинген: Ванденхук и Рупрехт
• Рэнкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-21212-Х
• Рибет, К.; Штейн В. Лекции по модульным формам и операторам Гекке
• Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики , Тексты для выпускников по математике, том. 7, Нью-Йорк: Springer-Verlag . Глава VII представляет собой элементарное введение в теорию модулярных форм .
• Скоруппа, НП; Загер, Д. (1988), «Формы Якоби и некоторое пространство модульных форм», Inventiones Mathematicae , 94 , Springer : 113, Bibcode : 1988InMat..94..113S , doi : 10.1007/BF01394347
• Взгляните на модульные формы, «пятую фундаментальную операцию» математики.