Плавное завершение

В алгебраической геометрии гладкое пополнение (или гладкая компактификация ) гладкой аффинной алгебраической кривой X — это полная гладкая алгебраическая кривая , которая содержит X как открытое подмножество. ^[1] Гладкие пополнения существуют и единственны над идеальным полем .

Примеры [ править ]

Аффинную форму гиперэллиптической кривой можно представить как $y^{2}=P(x)$ где $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$ и $P$ ( $x$ ) имеет различные корни и степень не ниже 5. Замыкание Зарисского аффинной кривой в $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{2}$ сингулярна в единственной добавленной бесконечной точке. Тем не менее, аффинную кривую можно вложить в единственную компактную риманову поверхность, называемую ее гладким пополнением. Проекция римановой поверхности на $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ имеет отношение 2 к 1 в особой точке на бесконечности, если $P(x)$ имеет четную степень и 1 к 1 (но разветвленную) в противном случае.

Это гладкое завершение можно также получить следующим образом. Спроецируйте аффинную кривую на аффинную линию, используя координату x . Вставьте аффинную линию в проективную линию, затем возьмите нормализацию проективной линии в функциональном поле аффинной кривой.

Приложения [ править ]

Гладкая связная кривая над алгебраически замкнутым полем называется гиперболической, если $2g-2+r>0$ где g — род гладкого пополнения, а r — количество добавленных точек.

Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 фундаментальная группа X свободна с $2g+r-1$ генераторы, если r >0.

(Аналог теоремы Дирихле о единице ) Пусть X — гладкая связная кривая над конечным полем. Тогда единицами кольца регулярных функций O(X) на X является конечно порожденная абелева группа ранга r -1.

Строительство [ править ]

Предположим, что базовое поле идеально. Любая аффинная кривая X изоморфна открытому подмножеству целочисленной проективной (следовательно, полной) кривой. Нормализация (или раздутие проективной кривой дает гладкое пополнение X. особенностей ) Их точки соответствуют дискретным нормированиям функционального поля , тривиальным на базовом поле.

По построению гладкое пополнение — это проективная кривая, содержащая данную кривую как всюду плотное открытое подмножество, а добавляемые новые точки являются гладкими. Такое (проективное) пополнение всегда существует и единственно.

Если базовое поле не идеально, гладкое завершение гладкой аффинной кривой не всегда существует. Но описанный выше процесс всегда приводит к регулярному пополнению, если мы начинаем с регулярной аффинной кривой (гладкие многообразия регулярны, и обратное верно для совершенных полей). Регулярное пополнение единственно и по оценочному критерию правильности любой морфизм аффинной кривой в полное алгебраическое многообразие однозначно продолжается до регулярного пополнения.

Обобщение [ править ]

Если X — отделимое алгебраическое многообразие, то теорема Нагаты ^[2] говорит, что X можно вложить как открытое подмножество полного алгебраического многообразия. Если X , кроме того, гладкое, а базовое поле имеет характеристику 0, то по теореме Хиронаки X можно даже вложить как открытое подмножество полного гладкого алгебраического многообразия с границей, являющейся нормальным делителем пересечения. Если X квазипроективно, гладкое пополнение можно выбрать проективным.

Однако, в отличие от одномерного случая, гладкое пополнение не является ни единственностью, ни каноническим.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Гриффитс, 1972, с. 286.
^ Конрад, Брайан (2007). «Заметки Делиня о компактификациях Нагаты» (PDF) . Журнал Математического общества Рамануджана . 22 (3): 205–257. МР 2356346 .

Библиография [ править ]

Гриффитс, Филипп А. (1972). «Теория функций конечного порядка на алгебраических многообразиях. I(A)». Журнал дифференциальной геометрии . 6 (3): 285–306. МР 0325999 . Збл 0269.14003 .
Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 0387902449 . (см. главу 4).

[1] Гриффитс, 1972, с. 286.

[2] Конрад, Брайан (2007). «Заметки Делиня о компактификациях Нагаты» (PDF) . Журнал Математического общества Рамануджана . 22 (3): 205–257. МР 2356346 .

[1]

[2]