Кривая Бринга

Основной многоугольник для кривой Бринга представляет собой правильный гиперболический икосагон (20-угольник), показанный здесь с додекадодекаэдрическим графиком зеленого цвета и его двойственным фиолетовым цветом. Это частное и пятиугольной мозаики четвертого порядка ее двойственной квадратной мозаики .
Ребра 20-угольников, отмеченные одной и той же буквой, равны.

Кривая Бринга связана с малым звездчатым додекаэдром и додекадодекаэдром .

В математике квартикой кривая Бринга (также называемая поверхностью Бринга и, по аналогии с Клейна , секстикой Бринга ) — кривая в проективном пространстве $\mathbb {P} ^{4}$ вырезаны однородными уравнениями

$v+w+x+y+z=v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=v^{3}+w^{3}+x^{3}+y^{3}+z^{3}=0.$

Он был назван Кляйном (2003 , стр. 157) в честь Эрланда Сэмюэля Бринга , который изучал подобную конструкцию в 1786 году в Promotionschrift, представленном в Лундский университет . Заметим, что корни x _i квинтики Бринга $x^{5}+ax+b=0$ удовлетворяет кривой Бринга, поскольку $\sum _{i=1}^{5}x_{i}^{k}=0$ для $k=1,2,3.$

Группа автоморфизмов кривой — это симметрическая группа S ₅ порядка 120 , заданная перестановками 5 координат. Это максимально возможная группа автоморфизмов комплексной кривой рода 4.

Кривая может быть реализована как тройное покрытие сферы, разветвленной в 12 точках, и представляет собой риманову поверхность , связанную с малым звездчатым додекаэдром . Имеет род 4. Полная группа симметрий (включая отражения) является прямым произведением $S_{5}\times \mathbb {Z} _{2}$, который имеет порядок 240.

Фундаментальный домен и систола

Кривую Бринга можно получить как риманову поверхность, соединив стороны гиперболического икосагона (см. фундаментальный многоугольник ). Идентификационная схема приведена на прилагаемой диаграмме. Икосагон (площади $12\pi$, по теореме Гаусса-Бонне ) можно разбить на 240 (2,4,5) треугольников. Действия, переносящие один из этих треугольников в другой, дают полную группу автоморфизмов поверхности (включая отражения). Не считая отражений, мы получаем 120 автоморфизмов, упомянутых во введении. Обратите внимание, что 120 меньше 252, максимального количества автоморфизмов, сохраняющих ориентацию, разрешенных для поверхности рода 4 согласно теореме Гурвица об автоморфизме . Следовательно, поверхность Бринга не является поверхностью Гурвица . Это также говорит нам о том, что не существует поверхности Гурвица рода 4.

Полная группа симметрий имеет следующее представление:

$\langle r,\,s,\,t\,|\,r^{5}=s^{2}=t^{2}=rtrt=stst=(rs)^{4}=(sr^{3}sr^{2})^{2}=e\rangle$,

где $e$ это тождественное действие, $r$ представляет собой вращение порядка 5 вокруг центра фундаментального многоугольника, $s$ представляет собой вращение порядка 2 в вершине, где встречаются 4 (2,4,5) треугольника в мозаике, и $t$ является отражением в реальной линии. Из этой презентации информацию о теории линейного представления группы симметрии поверхности Бринга можно вычислить с помощью GAP . В частности, группа имеет четыре одномерных, четыре четырехмерных, четыре пятимерных и два шестимерных неприводимых представления, и мы имеем

$4(1^{2})+4(4^{2})+4(5^{2})+2(6^{2})=4+64+100+72=240$

как и ожидалось.

Систола длину поверхности имеет

$12\sinh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}}\right)\approx 4.60318$

и кратность 20, геодезическая петля такой длины, состоящая из объединенных высот двенадцати из 240 (2,4,5) треугольников. Подобно квартике Клейна , поверхность Бринга не максимизирует длину систолы среди компактных римановых поверхностей в своей топологической категории (то есть поверхностей одного и того же рода), несмотря на максимизацию размера группы автоморфизмов. Систола, по-видимому, максимизируется за счет поверхности, обозначенной M4 в ( Schmutz 1993 ). Длина систолы М4 равна

$2\cosh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}(5+3{\sqrt {3}})\right)\approx 4.6245,$

и имеет кратность 36.

Спектральная теория

известно немного О спектральной теории поверхности Бринга , однако потенциально она может представлять интерес в этой области. Поверхность Больца и квартика Клейна имеют самые большие группы симметрии среди компактных римановых поверхностей постоянной отрицательной кривизны в родах 2 и 3 соответственно, и поэтому было высказано предположение, что они максимизируют первое положительное собственное значение в спектре Лапласа. Существуют убедительные численные доказательства в поддержку этой гипотезы, особенно в случае поверхности Больца, хотя обеспечение строгого доказательства все еще остается открытой проблемой. Следуя этой схеме, можно разумно предположить, что поверхность Бринга максимизирует первое положительное собственное значение лапласиана (среди поверхностей своего топологического класса).

См. также

• Поверхность Больцы
• Клейн квартик
• Поверхность Макбета
• Первая тройка Гурвица

Ссылки

• Принеси, Эрланд Сэмюэл; Соммелиус, Свен Густав (1786), Некоторые математические трактаты по преобразованию алгебраических уравнений , Promotionschrift, Лундский университет
• Эдж, WL (1978), «Кривая Бринга», Журнал Лондонского математического общества , 18 (3): 539–545, doi : 10.1112/jlms/s2-18.3.539 , ISSN   0024-6107 , MR   0518240
• Кляйн, Феликс (2003) [1884], Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени , Dover Phoenix Editions, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-49528-6 , МР   0080930
• Риера, Г.; Родригес, Р. (1992), «Матрицы периодов кривой Бринга» (PDF) , Pacific J. Math. , 154 (1): 179–200, doi : 10.2140/pjm.1992.154.179 , MR   1154738
• Шмутц, П. (1993), «Римановы поверхности с кратчайшей геодезической максимальной длины», GAFA , 3 (6): 564–631, doi : 10.1007/BF01896258
• Вебер, Маттиас (2005), «Маленький звездчатый додекаэдр Кеплера как риманова поверхность» , Pacific J. Math. , 220 : 167–182, doi : 10.2140/pjm.2005.220.167