сфера Римана

Сферу Римана можно представить как плоскость комплексных чисел, обернутую вокруг сферы (с помощью некоторой формы стереографической проекции - подробности приведены ниже).

В математике , сфера Римана названная в честь Бернхарда Римана , — это модель расширенной комплексной плоскости (также называемой замкнутой комплексной плоскостью ): комплексная плоскость плюс одна точка на бесконечности . Эта расширенная плоскость представляет собой расширенные комплексные числа , то есть комплексные числа плюс значение. $\infty$для бесконечности . В модели Римана точка $\infty$ близко к очень большим числам, так же как и точка $0$ близко к очень малым числам.

Расширенные комплексные числа полезны в комплексном анализе , поскольку в некоторых случаях они позволяют делить на ноль , что позволяет создавать такие выражения, как $1/0=\infty$ хорошо себя ведет . Например, любую рациональную функцию на комплексной плоскости можно расширить до голоморфной функции на сфере Римана, причем полюсы рациональной функции отображаются в бесконечность. В более общем смысле любую мероморфную функцию можно рассматривать как голоморфную функцию, кодовой областью которой является сфера Римана.

В геометрии сфера Римана является прототипом римановой поверхности и одним из простейших комплексных многообразий . В проективной геометрии сфера является примером сложного проективного пространства , и ее можно рассматривать как комплексную проективную линию. $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$, проективное пространство всех комплексных прямых в $\mathbf {C} ^{2}$. Как и любую компактную риманову поверхность, сферу также можно рассматривать как проективную алгебраическую кривую , что делает ее фундаментальным примером в алгебраической геометрии . Он также находит применение в других дисциплинах, которые зависят от анализа и геометрии, таких как сфера Блоха в квантовой механике и в других разделах физики .

Расширенные комплексные числа

Расширенные комплексные числа состоят из комплексных чисел $\mathbf {C}$ вместе с $\infty$. Набор расширенных комплексных чисел можно записать как $\mathbf {C} \cup \{\infty \}$и часто обозначается добавлением украшения к букве $\mathbf {C}$, такой как

${\widehat {\mathbf {C} }},\quad {\overline {\mathbf {C} }},\quad {\text{or}}\quad \mathbf {C} _{\infty }.$

Обозначения $\mathbf {C} ^{*}$ также нашел применение, но поскольку это обозначение также используется для проколотой плоскости $\mathbf {C} \setminus \{0\}$, это может привести к двусмысленности.

Геометрически набор расширенных комплексных чисел называется сферой Римана (или расширенной комплексной плоскостью ).

Арифметические операции

Сложение комплексных чисел можно расширить, определив для $z\in \mathbf {C}$,

$z+\infty =\infty$

для любого комплексного числа $z$, а умножение можно определить как

$z\times \infty =\infty$

для всех ненулевых комплексных чисел $z$, с $\infty \times \infty =\infty$. Обратите внимание, что $\infty -\infty$ и $0\times \infty$остаются неопределенными . В отличие от комплексных чисел, расширенные комплексные числа не образуют поля , поскольку $\infty$не имеет ни аддитивного , ни мультипликативного обратного . Тем не менее принято определять деление на $\mathbf {C} \cup \{\infty \}$ к

${\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{and}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0$

для всех ненулевых комплексных чисел $z$ с $\infty /0=\infty$ и $0/\infty =0$. Частные $0/0$ и $\infty /\infty$ остаются неопределенными.

Рациональные функции

Любая рациональная функция $f(z)=g(z)/h(z)$ (другими словами, $f(z)$ - отношение полиномиальных функций $g(z)$ и $h(z)$ из $z$ с комплексными коэффициентами, такими что $g(z)$ и $h(z)$не имеют общего множителя) можно продолжить до непрерывной функции на сфере Римана. В частности, если $z_{0}$ комплексное число такое, что знаменатель $h(z_{0})$ равен нулю, но числитель $g(z_{0})$ не равно нулю, то $f(z_{0})$ может быть определен как $\infty$. Более того, $f(\infty )$ можно определить предел как $f(z)$ как $z\to \infty$, которое может быть конечным или бесконечным.

Набор сложных рациональных функций, математический символ которых — $\mathbf {C} (z)$— образуют все возможные голоморфные функции из сферы Римана в себя, если рассматривать ее как риманову поверхность , за исключением постоянной функции, принимающей значение $\infty$повсюду. Функции $\mathbf {C} (z)$ образуют алгебраическое поле, известное как поле рациональных функций на сфере .

Например, учитывая функцию

$f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}$

мы можем определить $f(\pm 5)=\infty$, поскольку знаменатель равен нулю при $\pm 5$, и $f(\infty )=3$ с $f(z)\to 3$ как $z\to \infty$. Используя эти определения, $f$ становится непрерывной функцией от сферы Римана к себе.

Как сложное многообразие

Как одномерное комплексное многообразие , сфера Римана может быть описана двумя картами , обе с областью определения, равной плоскости комплексных чисел. $\mathbf {C}$. Позволять $\zeta$ быть комплексным числом в одном экземпляре $\mathbf {C}$, и разреши $\xi$ быть комплексным числом в другой копии $\mathbf {C}$. Определите каждое ненулевое комплексное число $\zeta$ из первых $\mathbf {C}$ с ненулевым комплексным числом $1/\xi$ второго $\mathbf {C}$. Тогда карта

$f(z)={\frac {1}{z}}$

называется картой перехода между двумя копиями $\mathbf {C}$— так называемые диаграммы — склеивая их вместе. Поскольку отображения перехода голоморфны , они определяют комплексное многообразие, называемое сферой Римана . Как комплексное многообразие одного комплексного измерения (т.е. двух действительных измерений), оно также называется римановой поверхностью .

Интуитивно понятно, что карты перехода показывают, как склеить две плоскости, чтобы сформировать сферу Римана. Плоскости склеены «наизнанку», так что они перекрываются почти везде, причем каждая плоскость вносит только одну точку (ее начало координат), недостающую в другую плоскость. Другими словами, (почти) каждая точка сферы Римана имеет как $\zeta$ ценность и $\xi$ значение, и эти два значения связаны соотношением $\zeta =1/\xi$. Точка, где $\xi =0$ тогда должен был иметь $\zeta$-ценить " $1/0$"; в этом смысле происхождение $\xi$-диаграмма играет роль $\infty$ в $\zeta$-диаграмма. Симметрично, происхождение $\zeta$-диаграмма играет роль $\infty$ в $\xi$-диаграмма.

Топологически полученное пространство представляет собой одноточечную компактификацию плоскости в сферу. Однако сфера Римана — это не просто топологическая сфера. Это сфера с четко определенной комплексной структурой , так что вокруг каждой точки сферы существует окрестность, которую можно биголоморфно отождествить с $\mathbf {C}$.

С другой стороны, теорема униформизации , центральный результат в классификации римановых поверхностей, утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность биголоморфна комплексной плоскости, гиперболической плоскости или римановой сфере. Из них сфера Римана — единственная, которая представляет собой замкнутую поверхность ( компактную поверхность без края ). Следовательно, двумерная сфера допускает уникальную комплексную структуру, превращающую ее в одномерное комплексное многообразие.

Как комплексная проективная линия

Сферу Римана можно также определить как комплексную проективную прямую . Точки комплексной проективной прямой можно определить как классы эквивалентности ненулевых векторов в комплексном векторном пространстве. $\mathbf {C} ^{2}$: два ненулевых вектора $(w,z)$ и $(u,v)$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $(w,z)=(\lambda u,\lambda v)$ для некоторого ненулевого коэффициента $\lambda \in \mathbf {C}$.

В этом случае класс эквивалентности записывается $[w,z]$используя проективные координаты . Учитывая любую точку $[w,z]$ в комплексной проективной прямой один из $w$ и $z$ должно быть ненулевым, скажем $w\neq 0$. Тогда по понятию эквивалентности $[w,z]=\left[1,z/w\right]$, который находится в карте сферического многообразия Римана.

Такая трактовка сферы Римана наиболее легко связана с проективной геометрией. Например, любая прямая (или гладкая коника) на комплексной проективной плоскости биголоморфна комплексной проективной прямой. сферы Это также удобно для изучения автоморфизмов , о которых говорится далее в этой статье.

Как сфера

Стереографическая проекция комплексного числа A на точку α сферы Римана.

Сферу Римана можно представить как единичную сферу. $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ в трехмерном реальном пространстве $\mathbf {R} ^{3}$. Для этого рассмотрим стереографическую проекцию единичной сферы за вычетом точки $(0,0,1)$ на самолет $z=0,$ которую мы отождествляем с комплексной плоскостью посредством $\zeta =x+iy$. В декартовых координатах $(x,y,z)$ и сферические координаты $(\theta ,\varphi )$ на сфере (с $\theta$ зенит ​ и $\varphi$ азимут проекция ),

$\zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}={\cot }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{i\varphi }.$

Аналогично, стереографическая проекция из $(0,0,-1)$ на самолет $z=0,$ отождествляется с другой копией сложной плоскости по $\xi =x-iy,$ написано

$\xi ={\frac {x-iy}{1+z}}={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{-i\varphi }.$

Обратные стороны этих двух стереографических проекций представляют собой карты комплексной плоскости на сферу. Первое обратное охватывает сферу, кроме точки $(0,0,1)$, а второй покрывает сферу, кроме точки $(0,0,-1)$. Две комплексные плоскости, являющиеся областями этих карт, по-разному отождествляются с плоскостью $z=0$, потому что смена ориентации необходима для поддержания постоянной ориентации на сфере.

Карты перехода между $\zeta$-координаты и $\xi$-координаты получаются путем составления одной проекции с обратной другой. Они оказываются $\zeta =1/\xi$ и $\xi =1/\zeta$, как описано выше. Таким образом, единичная сфера диффеоморфна сфере Римана.

При этом диффеоморфизме единичная окружность в $\zeta$-диаграмма, единичный круг в $\xi$-диаграмма и экватор единичной сферы идентифицированы. Единичный диск $|\zeta |<1$ отождествляется с южным полушарием $z<0$, а единичный диск $|\xi |<1$ отождествляется с северным полушарием $z>0$.

Метрика

Риманова поверхность не снабжена какой-либо конкретной римановой метрикой . Однако конформная структура римановой поверхности определяет класс метрик: все те, подчиненная конформная структура которых является заданной. Подробнее: Сложная структура римановой поверхности однозначно определяет метрику с точностью до конформной эквивалентности . (Две метрики называются конформно эквивалентными, если они различаются умножением на положительную гладкую функцию .) И наоборот, любая метрика на ориентированной поверхности однозначно определяет комплексную структуру, которая зависит от метрики только с точностью до конформной эквивалентности. Таким образом, сложные структуры на ориентированной поверхности находятся во взаимно однозначном соответствии с конформными классами метрик на этой поверхности.

Внутри данного конформного класса можно использовать конформную симметрию, чтобы найти представительную метрику с удобными свойствами. всегда существует полная метрика постоянной кривизны В частности, в любом конформном классе .

В случае сферы Римана из теоремы Гаусса – Бонне следует, что метрика постоянной кривизны должна иметь положительную кривизну. $K$. Отсюда следует, что метрика должна быть изометрична сфере радиуса $1/{\sqrt {K}}$ в $\mathbf {R} ^{3}$с помощью стереографической проекции. в $\zeta$-карта на сфере Римана, метрика с $K=1$ дан кем-то

$ds^{2}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\overline {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}.$

В реальных координатах $\zeta =u+iv$, формула

$ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).$

С точностью до постоянного множителя эта метрика согласуется со стандартной метрикой Фубини–Студи в комплексном проективном пространстве (примером которого является сфера Римана).

С точностью до масштабирования это единственная метрика на сфере, группа изометрий, сохраняющих ориентацию, трехмерна (и ни одна из них не является более чем трехмерной); эта группа называется ${\mbox{SO}}(3)$. В этом смысле это, безусловно, самая симметричная метрика на сфере. (Группа всех изометрий, известная как ${\mbox{O}}(3)$, также является трехмерным, но в отличие от ${\mbox{SO}}(3)$ это не связное пространство.)

И наоборот, пусть $S$обозначим сферу (как абстрактное гладкое или топологическое многообразие ). По теореме об униформизации существует единственная комплексная структура на $S$с точностью до конформной эквивалентности. Отсюда следует, что любая метрика на $S$конформно эквивалентна круглой метрике . Все такие метрики определяют одну и ту же конформную геометрию. Таким образом, круглая метрика не присуща сфере Римана, поскольку «округлость» не является инвариантом конформной геометрии. Сфера Римана является лишь конформным многообразием , а не римановым многообразием . Однако, если нужно реализовать риманову геометрию на сфере Римана, круглая метрика является естественным выбором (с любым фиксированным радиусом, хотя радиус $1$самый простой и распространенный вариант). Это связано с тем, что только круглая метрика на сфере Римана имеет группу изометрий, являющуюся трехмерной группой. (А именно, группа, известная как ${\mbox{SO}}(3)$, непрерывная («Льевая») группа, которая топологически является трехмерным проективным пространством. $\mathbf {P} ^{3}$.)

Автоморфизмы

Преобразование Мёбиуса, действующее на сфере и плоскости посредством стереографической проекции.

Основная статья: Преобразование Мёбиуса

Изучению любого математического объекта помогает понимание его группы автоморфизмов, то есть отображений объекта в самого себя, которые сохраняют существенную структуру объекта. В случае сферы Римана автоморфизм — это обратимое конформное отображение (т. е. биголоморфное отображение) сферы Римана в себя. Оказывается, единственными такими отображениями являются преобразования Мёбиуса . Это функции вида

$f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},$

где $a$, $b$, $c$, и $d$ являются комплексными числами такими, что $ad-bc\neq 0$. Примеры преобразований Мёбиуса включают расширения , вращения , перемещения и комплексную инверсию. Фактически любое преобразование Мёбиуса можно записать как их композицию.

Преобразования Мёбиуса представляют собой гомографии на комплексной проективной прямой. В проективных координатах преобразование f можно записать

$[\zeta ,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [a\zeta +b,\ c\zeta +d]\ =\ \left[{\tfrac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},\ 1\right]\ =\ [f(\zeta ),\ 1].$

Таким образом, преобразования Мёбиуса можно описать как комплексные матрицы два на два с ненулевым определителем . Поскольку они действуют на проективные координаты, две матрицы дают одно и то же преобразование Мёбиуса тогда и только тогда, когда они отличаются ненулевым фактором. Группа проективная преобразований Мёбиуса — это линейная группа ${\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )$.

Если снабдить сферу Римана метрикой Фубини–Штуди , то не все преобразования Мёбиуса являются изометриями; например, расширения и трансляции — нет. Изометрии образуют собственную подгруппу ${\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )$, а именно ${\mbox{PSU}}(2)$. Эта подгруппа изоморфна группе вращений ${\mbox{SO}}(3)$, представляющий собой группу симметрий единичной сферы в $\mathbf {R} ^{3}$ (которые, будучи ограничены сферой, становятся изометриями сферы).

Приложения

В комплексном анализе мероморфная функция на комплексной плоскости (или на любой римановой поверхности, если уж на то пошло) представляет собой отношение $f/g$ двух голоморфных функций $f$ и $g$. Как карта комплексных чисел, она не определена везде, где $g$равен нулю. Однако оно индуцирует голоморфное отображение $(f,g)$ к комплексной проективной прямой, которая четко определена даже там, где $g=0$. Эта конструкция полезна при изучении голоморфных и мероморфных функций. Например, на компактной римановой поверхности нет непостоянных голоморфных отображений комплексных чисел, но голоморфных отображений комплексной проективной прямой имеется множество.

Сфера Римана имеет множество применений в физике. В квантовой механике точки на комплексной проективной линии являются естественными значениями фотонов состояний поляризации , спиновых состояний массивных частиц со спином $1/2$и частицы с двумя состояниями в целом (см. также Квантовый бит и сфера Блоха ). Сфера Римана была предложена в качестве релятивистской модели небесной сферы . В теории струн мировые листы струн представляют собой римановы поверхности, и риманова сфера, являющаяся простейшей римановой поверхностью, играет значительную роль. Это также важно в теории твисторов .

См. также

• Конформная геометрия
• Перекрестное соотношение
• Детский рисунок
• Направленная бесконечность
• пучок Хопфа
• План Мёбиуса
• Параллельно (оператор) § Свойства
• Проективно расширенная действительная линия
• диаграмма Смита
• Теория колеса

Ссылки

• Браун, Джеймс и Черчилль, Руэл (1989). Комплексные переменные и приложения . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-010905-2 .
• Гриффитс, Филлип и Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-32792-1 .
• Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности . Нью-Йорк: Кнопф. ISBN  0-679-45443-8 .
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-100276-6 .

Внешние ссылки

• «Сфера Римана» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Открытие преобразований Мебиуса , Дуглас Н. Арнольд и Джонатан Рогнесс (видео двух профессоров Университета Миннесоты, объясняющее и иллюстрирующее преобразования Мебиуса с использованием стереографической проекции со сферы)