Тета-функция Римана – Зигеля

В математике тета-функция Римана -Зигеля определяется через гамма-функцию как

$\theta (t)=\arg \left(\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\log \pi }{2}}t$

для реальных значений t . Здесь аргумент выбран таким образом, что получается непрерывная функция и $\theta (0)=0$ т. е. так же, как главная ветвь лог -гамма определяется -функции.

Он имеет асимптотическое разложение

$\theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+\cdots$

который не сходится, но первые несколько членов которого дают хорошее приближение для $t\gg 1$. Это ряд Тейлора в 0, который сходится при $|t|<1/2$ является

$\theta (t)=-{\frac {t}{2}}\log \pi +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\psi ^{(2k)}\left({\frac {1}{4}}\right)}{(2k+1)!}}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}$

где $\psi ^{(2k)}$ обозначает полигамма-функцию порядка $2k$. Тета-функция Римана-Зигеля представляет интерес для изучения дзета-функции Римана , поскольку она может вращать дзета-функцию Римана так, что она становится полностью вещественной Z-функцией на критической линии. $s=1/2+it$ .

Обсуждение кривой

Тета-функция Римана-Зигеля представляет собой нечетную действительную аналитическую функцию для действительных значений $t$ с тремя корнями в $0$ и $\pm 17.8455995405\ldots$. Это возрастающая функция для $|t|>6.29$и имеет локальные экстремумы при $\pm 6.289835988\ldots$, со значением $\mp 3.530972829\ldots$. имеет единственную точку перегиба $t=0$ с $\theta ^{\prime }(0)=-{\frac {\ln \pi +\gamma +\pi /2+3\ln 2}{2}}=-2.6860917\ldots$, что является минимумом его производной.

Тета как функция комплексной переменной

У нас есть выражение бесконечной серии для логарифмической гамма- функции.

$\log \Gamma \left(z\right)=-\gamma z-\log z+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\log \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right),$

где γ — постоянная Эйлера . Замена $(2it+1)/4$ для z и почленное взятие мнимой части дает следующий ряд для θ ( t )

$\theta (t)=-{\frac {\gamma +\log \pi }{2}}t-\arctan 2t+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {t}{2n}}-\arctan \left({\frac {2t}{4n+1}}\right)\right).$

Для значений с мнимой частью между −1 и 1 арктангенс голоморфен , и легко видеть, что ряд сходится равномерно на компактных множествах в области с мнимой частью между −1/2 и 1/2, что приводит к голоморфному функционировать в этом домене. Отсюда следует, что функция Z также голоморфна в этой области, которая является критической полосой.

Мы можем использовать тождества

$\arg z={\frac {\log z-\log {\bar {z}}}{2i}}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\bar {z}})$

чтобы получить выражение в замкнутой форме

$\theta (t)={\frac {\log \Gamma \left({\frac {2it+1}{4}}\right)-\log \Gamma \left({\frac {-2it+1}{4}}\right)}{2i}}-{\frac {\log \pi }{2}}t=-{\frac {i}{2}}\left(\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}-{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\ln(\pi )t}{2}}$

которое расширяет наше исходное определение до голоморфной функции t . Поскольку главная ветвь log Γ имеет единственный разрез вдоль отрицательной вещественной оси, θ ( t ) в этом определении наследует разрезы ветвей вдоль мнимой оси выше i /2 и ниже − i /2.

Тета-функция Римана – Зигеля в комплексной плоскости

$-1<\Re (t)<1$	$-5<\Re (t)<5$	$-40<\Re (t)<40$

Грамм-очки

Дзета-функция Римана на критической линии может быть записана

$\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=e^{-i\theta (t)}Z(t),$

$Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).$

Если $t$ является действительным числом , то функция Z $Z(t)$ возвращает реальные значения.

Следовательно, дзета-функция на критической линии будет действительной либо в нуле, что соответствует $Z(t)=0$, или когда $\sin \left(\,\theta (t)\,\right)=0$. Положительные реальные значения $t$ где имеет место последний случай, называются точками Грама после JP Gram и, конечно, также могут быть описаны как точки, где ${\frac {\theta (t)}{\pi }}$ является целым числом.

Точка Грама – это решение $g_{n}$ из

$\theta (g_{n})=n\pi .$

Эти решения аппроксимируются последовательностью:

$g'_{n}={\frac {2\pi \left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)}{W\left({\frac {1}{e}}\left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)\right)}},$

где $W$ — Ламберта W. функция

Вот наименьшие неотрицательные баллы по Граму

$n$	$g_{n}$	$\theta (g_{n})$
−3	0	0
−2	3.4362182261...	− п
−1	9.6669080561...	− п
0	17.8455995405...	0
1	23.1702827012...	п
2	27.6701822178...	14:00 ​
3	31.7179799547...	15:00 ​
4	35.4671842971...	16:00 ​
5	38.9992099640...	17:00 ​
6	42.3635503920...	18:00 ​
7	45.5930289815...	19:00 ​
8	48.7107766217...	20:00 ​
9	51.7338428133...	21:00 ​
10	54.6752374468...	22:00 ​
11	57.5451651795...	11 утра
12	60.3518119691...	12:00 ​
13	63.1018679824...	13:00 ​
14	65.8008876380...	14:00 ​
15	68.4535449175...	15:00 ​

Выбор индекса n немного груб. Исторически он выбран таким образом, что индекс равен 0 при первом значении, которое больше наименьшего положительного нуля (в мнимой части 14,13472515...) дзета-функции Римана на критической линии. Обратите внимание, это $\theta$-функция колеблется для абсолютно малых действительных аргументов и, следовательно, не является однозначно обратимой в интервале [−24,24]. Таким образом, нечетная тета-функция имеет свою симметричную точку Грама со значением 0 в индексе −3. Точки грамма полезны при вычислении нулей $Z\left(t\right)$. В точке грамма $g_{n},$

$\zeta \left({\frac {1}{2}}+ig_{n}\right)=\cos(\theta (g_{n}))Z(g_{n})=(-1)^{n}Z(g_{n}),$

и если он положителен в двух последовательных точках Грама, $Z\left(t\right)$ должен иметь ноль в интервале.

Согласно закону Грама , действительная часть обычно мнимая положительна, в то время как часть чередуется с точками Грама, между положительными и отрицательными значениями через несколько регулярных интервалов.

$(-1)^{n}Z(g_{n})>0$

Количество корней, $N(T)$, в полосе от 0 до T , можно найти по формуле

$N(T)={\frac {\theta (T)}{\pi }}+1+S(T),$

где $S(T)$ - это член ошибки, который асимптотически растет как $\log T$.

Только если $g_{n}$ будет подчиняться закону Грама , то нахождение количества корней в полосе просто становится

$N(g_{n})=n+1.$

Сегодня мы знаем, что в долгосрочной перспективе закон Грама не может содержать ровно 1/4 всех интервалов Грама, содержащих ровно 1 ноль дзета-функции Римана. Грамм опасался, что он может потерпеть неудачу для более крупных индексов (первый промах приходится на индекс 126 перед 127-м нулем), и поэтому утверждал это только для не слишком высоких индексов. Позже Хатчинсон придумал термин « закон Грама» для обозначения (ложного) утверждения о том, что все нули на критической линии будут разделены точками Грама.

См. также

• Z-функция

Ссылки

• Эдвардс, HM (1974), Дзета-функция Римана , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-41740-0 , МР   0466039
• Габке, В. (1979), Новый вывод и явная оценка невязки формулы Римана-Зигеля . Диссертация, Геттингенский университет . Пересмотренная версия (eDiss Göttingen, 2015 г.)
• Грам, JP (1903), «Примечание о нулях функции Римана ζ(s)» (PDF) , Acta Mathematica , 27 (1): 289–304, doi : 10.1007/BF02421310

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Римана-Зигеля» . Математический мир .
• Wolfram Research – Тета-функция Римана-Зигеля (включает построение графика и оценку функции)