Z-функция

Функция Z на комплексной плоскости, построенная с использованием варианта раскраски области .

Функция Z в комплексной плоскости, уменьшенная.

В математике функция Z — это функция, используемая для изучения дзета-функции Римана вдоль критической линии , где аргумент равен половине. Ее также называют Z-функцией Римана-Зигеля, дзета-функцией Римана-Зигеля, функцией Харди , Z-функцией Харди и дзета -функцией Харди . Его можно определить в терминах тэта-функции Римана – Зигеля и дзета-функции Римана следующим образом:

$Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).$

Из функционального уравнения дзета-функции Римана следует, что функция Z действительна при действительных значениях t . Это четная функция, настоящая аналитика для реальных значений. Из того факта, что тэта-функция Римана-Зигеля и дзета-функция Римана голоморфны в критической полосе, где мнимая часть t находится между -1/2 и 1/2, следует, что функция Z голоморфна в критическая полоса также. Более того, действительные нули Z ( t ) являются в точности нулями дзета-функции вдоль критической линии, а комплексные нули в критической полосе Z-функции соответствуют нулям вне критической линии дзета-функции Римана в ее критической полосе.

Формула Римана-Зигеля

Расчет значения Z ( t ) для реального t , а следовательно, и дзета-функции вдоль критической линии, значительно ускоряется с помощью формулы Римана-Зигеля . Эта формула говорит нам

$Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),$

где член ошибки R ( t ) имеет сложное асимптотическое выражение через функцию

$\Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}$

и его производные. Если $u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}$, $N=\lfloor u^{2}\rfloor$ и $p=u^{2}-N$ затем

$R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)$

там, где многоточие указывает, мы можем перейти к более высоким и все более сложным терминам.

Известны и другие эффективные ряды для Z(t), в частности несколько, использующие неполную гамма-функцию . Если

$Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du$

тогда особенно хороший пример

$Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)$

Поведение функции Z

Из теоремы о критической линии следует, что плотность вещественных нулей функции Z равна

${\frac {c}{2\pi }}\log {\frac {t}{2\pi }}$

для некоторой константы c > 2/5. Следовательно, количество нулей в интервале заданного размера медленно увеличивается. Если гипотеза Римана верна, все нули в критической полосе являются вещественными нулями, а константа c равна единице. Также постулируется, что все эти нули являются простыми нулями.

Теорема Омеги

Из-за нулей функции Z она демонстрирует колебательное поведение. Он также медленно растет как в среднем, так и в пиковом значении. Например, даже без гипотезы Римана мы имеем теорему Омеги , согласно которой

$Z(t)=\Omega \left(\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {\log t}{\log \log t}}}\right)\right),$

где обозначение означает, что $Z(t)$ разделенная на функцию внутри Ω, не стремится к нулю с ростом t .

Средний рост

Средний рост функции Z также хорошо изучен. Мы можем найти среднеквадратичное (сокращенно RMS) среднее значение из

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt\sim \log T$

или

${\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}dt\sim \log T$

которые говорят нам, что среднеквадратичный размер Z ( t ) растет как ${\sqrt {\log t}}$.

Эту оценку можно улучшить до

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+O(T^{-15/22})$

Если мы увеличим показатель степени, мы получим среднее значение, которое больше зависит от пиковых значений Z . Для четвертых степеней имеем

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{4}dt\sim {\frac {1}{2\pi ^{2}}}(\log T)^{4}$

откуда мы можем заключить, что четвертый корень из средней четвертой степени растет как ${\frac {1}{2^{1/4}{\sqrt {\pi }}}}\log t.$

Гипотеза Линделефа

Основная статья: гипотеза Линделефа

Высшие четные степени хорошо изучены, но о соответствующем среднем значении известно меньше. Предполагается и следует из гипотезы Римана, что

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}\,dt=o(T^{\varepsilon })$

для любого положительного ε. Здесь маленькая буква «о» означает, что левая часть, разделенная на правую, действительно сходится к нулю; другими словами, маленькое o является отрицанием Ω. Эта гипотеза называется гипотезой Линделефа и является более слабой, чем гипотеза Римана. Обычно это выражается в важной эквивалентной форме, а именно:

$Z(t)=o(t^{\varepsilon });$

в любой форме это говорит нам о том, что скорость роста пиковых значений не может быть слишком высокой. Самая известная граница этого темпа роста не является строгой и говорит нам, что любой $\epsilon >{\frac {89}{570}}\approx 0.156$ подходит. Было бы удивительно обнаружить, что функция Z росла примерно так же быстро. Литтлвуд доказал, что на основе гипотезы Римана

$Z(t)=o\left(\exp \left({\frac {10\log t}{\log \log t}}\right)\right),$

и это кажется гораздо более вероятным.

Ссылки

• Эдвардс, HM (1974). Дзета-функция Римана . Чистая и прикладная математика. Том. 58. Нью-Йорк-Лондон: Академическая пресса. ISBN  0-12-232750-0 . Збл   0315.10035 .
• Ивич, Александр (2013). Харди Теория Z -функции . Кембриджские трактаты по математике. Том. 196. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-1-107-02883-8 . Збл   1269.11075 .
• Париж, РБ; Камински, Д. (2001). Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 85. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-79001-8 . Збл   0983.41019 .
• Рамачандра, К. (февраль 1996 г.). Лекции о среднем значении и омега-теоремах для дзета-функции Римана . Лекции по математике и физике. Математика. Институт фундаментальных исследований Тата. Том. 85. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-58437-4 . Збл   0845.11003 .
• Титчмарш, ЕС (1986) [1951]. Хит-Браун, доктор медицинских наук (ред.). Теория дзета-функции Римана (второе исправленное издание). Издательство Оксфордского университета .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Римана – Зигеля» . Математический мир .
• Wolfram Research – функция Римана-Зигеля Z (включает построение графика и оценку функции)