Гипотезы Харди – Литтлвуда о дзета-функции

В математике гипотезы о дзета-функции Харди-Литтлвуда , названные в честь Годфри Гарольда Харди и Джона Иденсора Литтлвуда , представляют собой две гипотезы, касающиеся расстояний между нулями и плотности нулей дзета-функции Римана .

Догадки

В 1914 году Годфри Гарольд Харди доказал что дзета-функция Римана $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ имеет бесконечно много действительных нулей.

Позволять $N(T)$ быть общим количеством действительных нулей, $N_{0}(T)$ — общее количество нулей нечетного порядка функции $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$, лежащий на отрезке $(0,T]$.

Харди и Литтлвуд заявили две гипотезы. Эти догадки – о расстоянии между действительными нулями $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ и от плотности нулей $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ на интервалах $(T,T+H]$ для достаточно большого $T>0$, $H=T^{a+\varepsilon }$ и с как можно меньшей стоимостью $a>0$, где $\varepsilon >0$ является сколь угодно малым числом – открывают два новых направления в исследовании дзета-функции Римана.

1. Для любого $\varepsilon >0$ существует такой $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ это для $T\geq T_{0}$ и $H=T^{0.25+\varepsilon }$ интервал $(T,T+H]$ содержит нуль нечетного порядка функции $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$.

2. Для любого $\varepsilon >0$ существуют $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ и $c=c(\varepsilon )>0$, такой, что для $T\geq T_{0}$ и $H=T^{0.5+\varepsilon }$ неравенство $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH$ это правда.

Статус

В 1942 году Атле Сельберг изучил проблему 2 и доказал, что для любого $\varepsilon >0$ существует такой $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ и $c=c(\varepsilon )>0$, такой, что для $T\geq T_{0}$ и $H=T^{0.5+\varepsilon }$ неравенство $N(T+H)-N(T)\geq cH\log T$ это правда.

В свою очередь, Сельберг высказал свою гипотезу. что можно уменьшить значение показателя степени $a=0.5$ для $H=T^{0.5+\varepsilon }$ что было доказано 42 года спустя А. А. Карацубой .