Гипотеза дзета-функции Сельберга

В математике гипотеза Сельберга , названная в честь Атле Сельберга , представляет собой теорему о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it ). Известно, что на этой прямой в комплексной плоскости функция имеет бесконечно много нулей: вопрос в том, насколько плотно они сгруппированы. Результаты по этому вопросу можно сформулировать в терминах N ( T считающей нули на строке, для которой значение t удовлетворяет условию 0 ≤ t ≤ T. ), функции ,

Фон

В 1942 г. Атле Сельберг исследовал проблему гипотезы Харди-Литтлвуда 2 ; и он доказал, что для любого

$\varepsilon >0$

существуют

$T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$

и

$c=c(\varepsilon )>0,$

такой, что для

$T\geq T_{0}$

и

$H=T^{0.5+\varepsilon }$

неравенство

$N(T+H)-N(T)\geq cH\log T$

соответствует действительности.

В свою очередь, Сельберг высказал гипотезу, касающуюся более коротких интервалов: а именно, что можно уменьшить значение показателя a = 0,5 в

$H=T^{0.5+\varepsilon }.$

Доказательство гипотезы

В 1984 году Анатолий Карацуба доказал это за фиксированный $\varepsilon$ удовлетворяющее условию

$0<\varepsilon <0.001,$

достаточно большое Т и

$H=T^{a+\varepsilon },$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}},$

интервал в ординате t ( T , T + H ) содержит не менее cH ln T действительных нулей дзета-функции Римана

$\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )};$

и тем самым подтвердили гипотезу Сельберга. Оценки Сельберга и Карацубы не могут быть улучшены по порядку роста при T → +∞.

Дальнейшая работа

В 1992 году Карацуба доказал что аналог гипотезы Сельберга верен для «почти всех» интервалов ( T , T + H ], H = T ^е , где ε — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод Карацубы позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» интервалах критической линии, т. е. на интервалах ( T , T + H ), длина H которых растет медленнее, чем любой, даже сколь угодно малый степень Т. ​

В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ε, ε _1, удовлетворяющих условиям 0 < ε, ε ₁ < 1, почти все интервалы ( T , T + H ] при H ≥ exp[(ln T ) ^е ] содержат не менее H (ln T ) ^{1 −ε ₁} нули функции ζ(1/2 + it ). Эта оценка весьма близка к условному результату, следующему из гипотезы Римана .