Формула Римана – Зигеля

В математике формула Римана–Зигеля — асимптотическая формула для погрешности приближенного функционального уравнения дзета -функции Римана , аппроксимация дзета-функции суммой двух конечных рядов Дирихле . Он был найден Зигелем (1932) в неопубликованных рукописях Бернхарда Римана, датированных 1850-ми годами. Сигел вывел его из интегральной формулы Римана-Зигеля , выражения для дзета-функции, включающей контурные интегралы . Его часто используют для вычисления значений формулы Римана-Зигеля, иногда в сочетании с алгоритмом Одлыцко-Шенхаге, который значительно ускоряет его. При использовании вдоль критической линии часто бывает полезно использовать ее в форме, в которой она становится формулой для Z. функции

Если M и N — целые неотрицательные числа, то дзета-функция равна

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)$

где

$\gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}$

– множитель, входящий в функциональное уравнение ζ ( s ) = γ (1 − s ) ζ (1 − s ) , и

$R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx$

— контурный интеграл, контур которого начинается и заканчивается в точке +∞ и окружает особенности по модулю не более 2 πM . Приближенное функциональное уравнение дает оценку размера ошибки. Сигел (1932) и Эдвардс (1974) вывели из этого формулу Римана-Зигеля, применив метод наискорейшего спуска к этому интегралу, чтобы дать асимптотическое разложение члена ошибки R ( s ) как ряд отрицательных степеней Im( s ). В приложениях s обычно находится на критической прямой, а целые положительные числа M и N выбираются равными примерно (2 π Im( s )) ^1/2 . Габке (1979) нашел хорошие оценки погрешности формулы Римана – Зигеля.

Интегральная формула Римана

Риман показал, что

$\int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}\,du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}$

где контур интегрирования представляет собой линию наклона −1, проходящую между 0 и 1 ( Эдвардс 1974 , 7.9).

Он использовал это, чтобы дать следующую интегральную формулу для дзета-функции:

$\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx$

Ссылки

• Берри, Майкл В. (1995), «Разложение Римана-Зигеля для дзета-функции: высокие порядки и остатки», Труды Лондонского королевского общества. Серия A: Математические, физические и технические науки , 450 (1939): 439–462, doi : 10.1098/rspa.1995.0093 , ISSN   0962-8444 , MR   1349513 , Zbl   0842.11030
• Эдвардс, Х.М. (1974), Дзета-функция Римана , Pure and Applied Mathematics, vol. 58, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, ISBN.  0-12-232750-0 , Збл   0315.10035
• Габке, Вольфганг (1979), Новый вывод и явная оценка невязки формулы Римана-Зигеля (на немецком языке), Georg-August-Universität Göttingen, hdl : 11858/00-1735-0000-0022-6013-8 , Zbl   0499.10040
• Паттерсон, С.Дж. (1988), Введение в теорию дзета-функции Римана , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 14, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-33535-3 , Збл   0641.10029
• Сигел, CL (1932), «О наследии Римана в аналитической теории чисел», источниковедение по истории математики. И Физ. Отдел B: Исследования 2 : 45–80, JFM   58.1037.07 , Zbl   0004.10501 Перепечатано в Сборнике статей, Том 1. Берлин: Springer-Verlag , 1966.

Внешние ссылки

• Гурдон, X., Численная оценка дзета-функции Римана.
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Римана – Зигеля» . Математический мир .