Метрический круг
В математике метрическая окружность — это метрическое пространство длины дуги на окружности или, что то же самое, на любой спрямляемой простой замкнутой кривой ограниченной длины. [1] Метрические пространства, которые можно вложить в метрические окружности, можно охарактеризовать равенством четырехточечного треугольника .
Некоторые авторы называли метрические круги римановыми кругами , особенно в связи с гипотезой о площади заполнения в римановой геометрии . [2] но этот термин также использовался для других понятий. [3] Метрический круг, определенный таким образом, не связан с метрическим шаром , подмножеством метрического пространства в пределах заданного радиуса от центральной точки, и его следует отличать от него.
Характеристика подпространств
[ редактировать ]Метрическое пространство — это подпространство метрического круга (или эквивалентно определенной метрической прямой, интерпретируемой как вырожденный случай метрического круга), если каждые четыре его точки можно переставить и пометить как так что они подчиняются равенству расстояний и . Пространство с этим свойством было названо круговым метрическим пространством . [1]
Наполнение
[ редактировать ]
Риманова единичная окружность длины 2 π может быть вложена без какого-либо изменения расстояния в метрику геодезических на единичной сфере путем сопоставления окружности с большим кругом , а его метрики с расстоянием большого круга . То же самое метрическое пространство можно было бы получить и из расстояний в полушарии . Это отличается от границы единичного круга , для которой противоположные точки на единичном круге будут иметь расстояние 2 вместо расстояния π на римановой окружности. Эта разница во внутренних метриках полусферы и диска привела Михаила Громова к выдвижению гипотезы о площади заполнения , согласно которой единичная полусфера представляет собой поверхность минимальной площади, имеющую в качестве границы риманов круг. [4]
Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Платье, Андреас В.М .; Маэхара, Хироши; Панг, Сабрина Син Мэй; Цзэн, Чжэньбин (2019), «О структуре дискретных метрических пространств, изометричных окружностям», в Ду, Дин {-} Чжу; Ли, Лиан; Сунь, Сяомин; Чжан, Цзялинь (ред.), Алгоритмические аспекты информации и управления – 13-я Международная конференция, AAIM 2019, Пекин, Китай, 6–8 августа 2019 г., Труды , Конспекты лекций по информатике, том. 11640, Springer, стр. 83–94, номер doi : 10.1007/978-3-030-27195-4_8 , ISBN. 978-3-030-27194-7
- ^ Кац, Михаил (1991), «Об окрестностях вложения Куратовского за первым экстремумом функционала диаметра», Polska Akademia Nauk , 137 (3): 161–175, doi : 10.4064/fm-137-3-161-175 , МР 1110030
- ^ Курита, Минору (1965), «О некоторых отображениях римановых многообразий» , Nagoya Mathematical Journal , 25 : 121–142, doi : 10.1017/S0027763000011491 , MR 0175062. Здесь
мы подразумеваем под римановыми окружностями те кривые на [римановом многообразии], которые развитие в евклидовом пространстве представляет собой круги.
- ^ Громов, Михаил (1983), «Заполнение римановых многообразий» , Журнал дифференциальной геометрии , 18 (1): 1–147, doi : 10.4310/jdg/1214509283 , MR 0697984
