Дифференциальное уравнение Римана

В математике , дифференциальное уравнение Римана , названное в честь Бернхарда Римана является обобщением гипергеометрического дифференциального уравнения , позволяющего регулярным особым точкам возникать в любом месте сферы Римана , а не просто в точках 0, 1 и 0. $\infty$. Это уравнение также известно как уравнение Папперица .

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение — это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее три регулярные особые точки: 0, 1 и $\infty$. Это уравнение допускает два линейно независимых решения; вблизи сингулярности $z_{s}$, решения принимают вид $x^{s}f(x)$, где $x=z-z_{s}$ является локальной переменной, и $f$ локально голоморфен с $f(0)\neq 0$. Настоящее число $s$ называется показателем степени решения при $z_{s}$. Пусть α , β и γ — показатели одного решения в точках 0, 1 и $\infty$ соответственно; и пусть α ′ , β ′ и γ ′ являются характеристиками другого. Затем

$\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.$

Применяя подходящие замены переменных, можно преобразовать гипергеометрическое уравнение: применение преобразований Мёбиуса скорректирует положения регулярных особых точек, в то время как другие преобразования (см. ниже) могут изменить показатели степени в регулярных особых точках с учетом показателей степени. прибавление до 1.

Определение

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{z-a}}+{\frac {1-\beta -\beta '}{z-b}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{z-c}}\right]{\frac {dw}{dz}}$

$+\left[{\frac {\alpha \alpha '(a-b)(a-c)}{z-a}}+{\frac {\beta \beta '(b-c)(b-a)}{z-b}}+{\frac {\gamma \gamma '(c-a)(c-b)}{z-c}}\right]{\frac {w}{(z-a)(z-b)(z-c)}}=0.$

Регулярные особые точки — это a , b и c . Показатели решений в этих регулярных особых точках равны соответственно α ; α ′ , β ; β ′ и γ ; γ ′ . Как и ранее, показатели степени подчиняются условию

$\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.$

Решения и связь с гипергеометрической функцией

Решения обозначаются P-символом Римана (также известным как символ Папперица )

$w(z)=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}$

Стандартную гипергеометрическую функцию можно выразить как

$\;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-a-b&\;\end{matrix}}\right\}$

P-функции подчиняются ряду тождеств; один из них позволяет выразить общую P-функцию через гипергеометрическую функцию. Это

$P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrix}}\right\}$

Другими словами, можно записать решения через гипергеометрическую функцию как

$w(z)=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }\;_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\right)$

полный набор 24 решений Куммера Таким образом можно получить ; см. статью «Гипергеометрическое дифференциальное уравнение для лечения решений Куммера».

Дробно-линейные преобразования

P-функция обладает простой симметрией под действием дробных линейных преобразований, известных как преобразования Мёбиуса (которые представляют собой конформные переотображения сферы Римана), или, что то же самое, под действием группы GL (2, C ) . Учитывая произвольные комплексные числа A , B , C , D такие, что AD − BC ≠ 0 , определите величины

$u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ and }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}$

и

$\zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}$

тогда имеет место простое соотношение

$P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}$

выражая симметрию.

Экспоненты

Если приведенное выше преобразование Мебиуса перемещает особые точки, но не меняет показатели степени, следующее преобразование не перемещает особые точки, но меняет показатели степени:

$\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{k}\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{l}P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha +k&\beta -k-l&\gamma +l&z\\\alpha '+k&\beta '-k-l&\gamma '+l&\;\end{matrix}}\right\}$

См. также

• Метод Фробениуса
• Монодромия

Ссылки

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стеган, редакторы, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (Дувр: Нью-Йорк, 1972).
  • Глава 15. Гипергеометрические функции.
    • Раздел 15.6. Дифференциальное уравнение Римана.