Пятиугольное число

Не путать с центрированным пятиугольным числом .

Визуальное представление первых шести пятиугольных чисел.

Пятиугольное число — фигурное число , которое расширяет понятие треугольных и квадратных чисел до пятиугольника , но, в отличие от первых двух, закономерности, участвующие в построении пятиугольных чисел, не являются вращательно-симметричными . - е n пятиугольное число p _n — это количество различных точек в наборе точек, состоящем из очертаний правильных пятиугольников со сторонами до n точек, когда пятиугольники наложены друг на друга так, что они имеют общую вершину . Например, третий состоит из контуров, состоящих из 1, 5 и 10 точек, но 1 и 3 из 5 совпадают с 3 из 10, оставляя 12 отдельных точек, 10 в форме пятиугольника и 2 внутри.

p _n определяется по формуле:

$p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}={\binom {n}{1}}+3{\binom {n}{2}}$

для n ≥ 1. Первые несколько пятиугольных чисел:

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176 , 210 , 247 , 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 925, 1001 , 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3 151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (последовательность A000326 в OEIS ).

n - е пятиугольное число — это сумма n целых чисел, начиная с n (т.е. от n до 2n-1). Также имеют место следующие отношения:

$p_{n}=p_{n-1}+3n-2=2p_{n-1}-p_{n-2}+3$

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными числами. е n- пятиугольное число составляет одну треть (3 n − 1) -го треугольного числа . Кроме того, где T _n -е — n треугольное число:

$p_{n}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}$

Обобщенные пятиугольные числа получаются по формуле, приведенной выше, но где n принимает значения в последовательности 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4..., образуя последовательность:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 5, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (последовательность A001318 в OEIS ).

Обобщенные пятиугольные числа важны для целочисленных теории Эйлера разбиений , как это выражено в его теореме о пятиугольных числах .

Количество точек внутри самого внешнего пятиугольника узора, образующего пятиугольное число, само по себе является обобщенным пятиугольным числом.

Другая недвижимость

• $p_{n}$ при n>0 — количество составов различных $n+8$ на n частей, не включающих 2 или 3.
• $p_{n}$ представляет собой сумму первых n натуральных чисел, конгруэнтных 1 по модулю 3.
• $p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}$

пятиугольные числа и центрированные

Обобщенные пятиугольные числа тесно связаны с центрированными шестиугольными числами . Когда массив, соответствующий центрированному шестиугольному числу, разделен между его средней строкой и соседней строкой, он выглядит как сумма двух обобщенных пятиугольных чисел, при этом больший кусок представляет собой собственно пятиугольное число:

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

В общем:

$3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n){\bigl (}3(1-n)-1{\bigr )}$

где оба члена справа представляют собой обобщенные пятиугольные числа, а первый член представляет собой собственно пятиугольное число ( n ≥ 1). Такое разделение центрированных шестиугольных массивов дает обобщенные пятиугольные числа в виде трапециевидных массивов, которые можно интерпретировать как диаграммы Феррера для их разделения. Таким образом, их можно использовать для доказательства упомянутой выше теоремы о пятиугольных числах.

Доказательство без слов , что n -е пятиугольное число можно разложить на три треугольных числа и число n .

Тесты на пятиугольные числа

Учитывая положительное целое число x , чтобы проверить, является ли оно (необобщенным) пятиугольным числом, мы можем вычислить

$n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.$

Число x является пятиугольным тогда и только тогда, когда n — натуральное число . В этом случае x - е — n пятиугольное число.

Для обобщенных пятиугольных чисел достаточно просто проверить, является ли 24 x + 1 полным квадратом.

Для необобщенных пятиугольных чисел, помимо критерия идеального квадрата, требуется также проверить,

${\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6$

Математические свойства пятиугольных чисел гарантируют, что этих тестов достаточно для доказательства или опровержения пятиугольности числа.

Гномон

Гномон - го пятиугольного n числа:

$p_{n+1}-p_{n}=3n+1$

Квадратные пятиугольные числа

Квадратное пятиугольное число — это пятиугольное число, которое также является идеальным квадратом.

Первые несколько:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 76814196821925818691 34354401, 73756990988431941623299373152801... ( OEIS запись A036353 )

См. также

• Шестиугольное число
• Треугольное число

Дальнейшее чтение

• Леонард Эйлер: О замечательных свойствах пятиугольных чисел