Гармоническая прогрессия (математика)

В математике гармоническая прогрессия (или гармоническая последовательность ) — это прогрессия , образованная путем взятия обратных величин арифметической прогрессии .

Эквивалентно, последовательность представляет собой гармоническую прогрессию, когда каждый член является средним гармоническим из соседних терминов.

В качестве третьей эквивалентной характеристики это бесконечная последовательность вида

{\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,

где a не равен нулю и − a / d не является натуральным числом или конечной последовательностью вида

{\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,\ {\frac {1}{a+kd}},

где a не равно нулю, k — натуральное число и − a / d не является натуральным числом или больше k .

Примеры [ править ]

Далее $n$ — натуральное число в последовательности: $\ n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \$

$1,{\tfrac {\ 1\ }{2}},\ {\tfrac {\ 1\ }{3}},\ {\tfrac {\ 1\ }{4}},\ {\tfrac {\ 1\ }{5}},\ {\tfrac {\ 1\ }{6}},\ \ldots \ ,\ {\tfrac {\ 1\ }{n}},\ \ldots \$ называется гармонической последовательностью
12, 6, 4, 3, $\ {\tfrac {12}{\ 5\ }},\ 2,\ \ldots \ ,\ {\tfrac {12}{\ n\ }},\ \ldots \$
30, −30, −10, −6, $\ -{\tfrac {30}{\ 7\ }},\ \ldots \ ,\ {\tfrac {30}{\ \left(3\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \$
10, 30, −30, −10, −6, $\ \ldots \ {\tfrac {30}{\ \left(5\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \$

Суммы прогрессий гармонических

Бесконечные гармонические прогрессии не суммируются (сумма равна бесконечности).

= 0) не может Гармоническая прогрессия различных единичных дробей (кроме тривиального случая, когда a = 1 и k привести к целому числу . Причина в том, что обязательно хотя бы один знаменатель прогрессии будет делиться на простое число , которое не делит ни один другой знаменатель. ^[1]

Использование в геометрии [ править ]

Если коллинеарные точки A, B, C и D таковы, что D является гармонически сопряженной точкой C относительно A и B, то расстояния от любой из этих точек до трех оставшихся точек образуют гармоническую прогрессию. ^[2]^[3]В частности, каждая из последовательностей АС, АВ, АД; BC, BA, BD; СА, CD, CB; а DA, DC, DB — гармонические прогрессии, где каждое из расстояний подписано в соответствии с фиксированной ориентацией линии.

В треугольнике, если высоты находятся в арифметической прогрессии , то стороны находятся в гармонической прогрессии.

Падающая башня Лиры [ править ]

Прекрасным примером Гармонической Прогрессии является Падающая Башня Лиры . В нем однородные блоки укладываются друг на друга для достижения максимального пройденного бокового или бокового расстояния. Блоки укладываются на 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10… расстояния вбок ниже исходного блока. Это гарантирует, что центр тяжести будет находиться точно в центре конструкции и она не рухнет. Небольшое увеличение веса конструкции приводит к ее нестабильности и падению.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Эрдеш, П. (1932), «Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремы Куршака» [Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремы Куршака] (PDF) , Матем. Физ. Статьи (на венгерском языке), 39 : 17–24 . Как цитирует Грэм, Рональд Л. (2013), «Пол Эрдеш и египетские дроби», столетие Эрдеша , Bolyai Soc. Студ., вып. 25, Янош Бояи Матем. Соц., Будапешт, с. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91 , doi : 10.1007/978-3-642-39286-3_9 , ISBN 978-3-642-39285-6 , МР 3203600 .
^ Главы по современной геометрии точки, линии и круга, Том. II Ричарда Таунсенда (1865), с. 24
^ Современная геометрия точки, прямой линии и круга: элементарный трактат Джона Александра Третьего (1898), с. 44

«Освоение технической математики» , Стэн Гибилиско, Норман Х. Кроухерст, (2007), с. 221
Стандартные математические таблицы компании Chemical Rubber Company (1974), с. 102
Основы алгебры для средних школ Вебстера Уэллса (1897), с. 307

[1] Эрдеш, П. (1932), «Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремы Куршака» [Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремы Куршака] (PDF) , Матем. Физ. Статьи (на венгерском языке), 39 : 17–24 . Как цитирует Грэм, Рональд Л. (2013), «Пол Эрдеш и египетские дроби», столетие Эрдеша , Bolyai Soc. Студ., вып. 25, Янош Бояи Матем. Соц., Будапешт, с. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91 , doi : 10.1007/978-3-642-39286-3_9 , ISBN 978-3-642-39285-6 , МР 3203600 .

[2] Главы по современной геометрии точки, линии и круга, Том. II Ричарда Таунсенда (1865), с. 24

[3] Современная геометрия точки, прямой линии и круга: элементарный трактат Джона Александра Третьего (1898), с. 44

[1]

[2]

[3]