1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

В математике бесконечный ряд ⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ + ⁠ 1/16 + ··· ⁠ прогрессии — элементарный пример геометрической сходящейся абсолютно . Сумма ряда равна 1. В обозначениях суммирования это можно выразить как

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1.

Серия связана с философскими вопросами, рассматривавшимися в античности, в частности с парадоксами Зенона .

Доказательство

Как и в любом бесконечном ряду , сумма

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots

определяется как предел частичной суммы первых $n$ членов

s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}

когда $n$ приближается к бесконечности. По разным аргументам, ^{[ а ]} можно показать, что эта конечная сумма равна

s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.

Когда $n$ приближается к бесконечности, член ${\frac {1}{2^{n}}}$ приближается к 0, и поэтому $s n$ стремится к 1.

История

Парадокс Зенона

Эта серия использовалась как изображение многих парадоксов Зенона . ^{[ 1 ]} Например, в парадоксе «Ахиллес и черепаха» воин Ахилл должен был сразиться с черепахой. Длина трассы 100 метров. Ахиллес мог бежать со скоростью 10 м/с, а черепаха — только с 5. Зенон утверждал, что черепаха с преимуществом в 10 метров победит. Ахиллесу пришлось бы пройти 10 метров, чтобы догнать черепаху, но к тому времени черепаха уже продвинулась бы еще на пять метров. Тогда Ахиллесу придется переместиться на 5 метров, а черепахе — на 2,5 метра и так далее. Зенон утверждал, что черепаха всегда будет впереди Ахилла.

также Парадокс дихотомии гласит, что для перемещения на определенное расстояние нужно пройти половину его, затем половину оставшегося расстояния и так далее, следовательно, имея бесконечно много временных интервалов. ^{[ 1 ]} Эту проблему можно легко решить, заметив, что каждый временной интервал является членом бесконечной геометрической прогрессии и в сумме дает конечное число.

Глаз Гора

Когда-то считалось, что части Ока Гора представляют собой первые шесть слагаемых ряда. ^{[ 2 ]}

В Чжуанци

Версия этой серии появляется в древней даосской книге «Чжуанцзы» . В разных главах «Все под небом» есть следующее предложение: «Возьмите длинную палку ци и удаляйте половину каждый день, и через множество веков она не исчерпается». ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Примечания

^ Например: умножение $s n$ на 2 дает $2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].$ Вычитая $s n$ с обеих сторон, приходим к выводу $s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$ Другие аргументы могут быть основаны на математической индукции или добавлении ${\frac {1}{2^{n}}}$ в обе стороны $s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ и манипулируя, чтобы показать, что правая часть результата равна 1. ^{[ нужна ссылка ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Филд, Пол и Вайсштейн, Эрик В. «Парадоксы Зенона». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/ZenosParadoxes.html
^ Стюарт, Ян (2009). Клад математических сокровищ профессора Стюарта . Профильные книги. стр. 76–80. ISBN 978-1-84668-292-6 .

[1] Например: умножение $s n$ на 2 дает $2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].$ Вычитая $s n$ с обеих сторон, приходим к выводу $s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$ Другие аргументы могут быть основаны на математической индукции или добавлении ${\frac {1}{2^{n}}}$ в обе стороны $s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ и манипулируя, чтобы показать, что правая часть результата равна 1. ^{[ нужна ссылка ]}

[Description_of_Zeno's_paradoxe...-2] Jump up to: ^а ^б Филд, Пол и Вайсштейн, Эрик В. «Парадоксы Зенона». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/ZenosParadoxes.html

[3] Стюарт, Ян (2009). Клад математических сокровищ профессора Стюарта . Профильные книги. стр. 76–80. ISBN 978-1-84668-292-6 .

[ а ]

[ 1 ]

[ 2 ]