Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия , также известная как геометрическая последовательность , представляет собой математическую последовательность ненулевых чисел , в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением . Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... представляет собой геометрическую прогрессию с общим соотношением 3. Аналогично 10, 5, 2,5, 1,25, ... является геометрической прогрессией с общим соотношением 1/2.

Примерами геометрической прогрессии являются степени r ^к фиксированного ненулевого числа r , например 2 ^к и 3 ^к. Общий вид геометрической прогрессии:

a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots

где r ≠ 0 — общее соотношение, а a ≠ 0 — масштабный коэффициент , равный начальному значению последовательности. Сумма членов геометрической прогрессии называется геометрической прогрессией .

Элементарные свойства [ править ]

-й член n геометрической прогрессии с начальным значением a = a ₁ и общим отношением r определяется выражением

a_{n}=a\,r^{n-1},

и вообще

a_{n}=a_{m}\,r^{n-m}.

Такая геометрическая последовательность также подчиняется рекурсивному соотношению

a_{n}=r\,a_{n-1}

для каждого целого числа

n\geq 2.

Обычно, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные элементы последовательности имеют одинаковое соотношение.

Обычное соотношение геометрической последовательности может быть отрицательным, что приводит к чередующейся последовательности, в которой числа чередуются между положительными и отрицательными. Например

1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

представляет собой геометрическую последовательность с общим отношением −3.

Поведение геометрической прогрессии зависит от значения общего отношения. Если общее соотношение равно:

положительный, все члены будут иметь тот же знак, что и исходный член.
отрицательные, термины будут чередоваться между положительными и отрицательными.
больше 1, будет экспоненциальный рост в сторону положительной или отрицательной бесконечности (в зависимости от знака начального члена).
1, прогрессия представляет собой постоянную последовательность.
между −1 и 1, но не нулем, будет экспоненциальное затухание к нулю (→ 0).
−1, абсолютное значение каждого члена последовательности постоянно, а члены чередуются по знаку.
меньше -1, для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост в сторону (беззнаковой) бесконечности из-за перемены знака.

Геометрические последовательности (с общим отношением, не равным -1, 1 или 0) демонстрируют экспоненциальный рост или экспоненциальное затухание, в отличие от линейного роста (или убывания) арифметической прогрессии , такой как 4, 15, 26, 37, 48,… (с общей разницей 11). Этот результат был взят Т. Р. Мальтусом за математическую основу его « Принципа народонаселения» . Обратите внимание, что два вида прогрессии связаны между собой: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифмирование каждого члена геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

Интересный результат определения геометрической прогрессии состоит в том, что любые три последовательных члена a , b и c будут удовлетворять следующему уравнению:

b^{2}=ac

где b считается средним геометрическим между a и c .

Геометрическая серия [ править ]

Геометрический ряд 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... показан в виде площадей фиолетовых квадратов. Каждый из фиолетовых квадратов имеет 1/4 площади следующего большего квадрата (1/2× 1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16 и т. д.). Сумма площадей фиолетовых квадратов составляет одну треть площади большого квадрата.

В математике геометрическая прогрессия — это сумма бесконечного числа членов , имеющих постоянное соотношение между последовательными членами. Например, сериал

{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots

является геометрическим, поскольку каждый последующий член можно получить умножением предыдущего члена на $1/2$ . В общем случае геометрическая прогрессия записывается как $a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...$ , где $a$ - коэффициент каждого члена и $r$ — общее соотношение между соседними членами. Геометрические ряды сыграли важную роль на раннем этапе развития исчисления , используются во всей математике и могут служить введением в часто используемые математические инструменты, такие как ряд Тейлора , ряд Фурье и матричная экспонента .

Геометрическая серия имени указывает, что каждый термин представляет собой среднее геометрическое двух соседних с ним терминов, аналогично тому, как арифметическая серия имени указывает, что каждый термин является средним арифметическим двух соседних терминов.

Продукт [ править ]

Продукт геометрической прогрессии — это произведение всех ее членов. Его можно быстро вычислить, взяв среднее геометрическое первого и последнего отдельных членов прогрессии и возведя это среднее значение в степень, определяемую количеством членов. (Это очень похоже на формулу суммы членов арифметической последовательности : возьмите среднее арифметическое первого и последнего отдельных членов и умножьте на количество членов.)

Поскольку среднее геометрическое двух чисел равно квадратному корню из их произведения, произведение геометрической прогрессии равно:

\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

.

(Интересный аспект этой формулы заключается в том, что, хотя она предполагает извлечение квадратного корня из потенциально нечетной степени потенциально отрицательного $r$ , она не может дать комплексный результат, если ни $a$ , ни $r$ не имеют мнимой части. Это возможно. , если $r$ отрицательно, а $n$ нечетно, квадратный корень должен быть взят из отрицательного промежуточного результата, в результате чего последующий промежуточный результат будет мнимым числом. Однако вскоре после этого мнимый промежуточный результат будет повышен до числа. сила $\textstyle n+1$ , которое должно быть четным числом, поскольку $n$ само по себе было нечетным; таким образом, конечный результат вычислений вполне может быть нечетным числом, но никогда не может быть мнимым.)

Доказательство [ править ]

Пусть $P$ представляет продукт. По определению, его вычисляют путем явного умножения каждого отдельного члена вместе. Написано полностью,

P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

.

Выполняя умножения и собирая подобные члены,

P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

.

Показатель степени $r$ представляет собой сумму арифметической последовательности. Подставив формулу для этого расчета,

P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}

,

что позволяет упростить выражение до

P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}

.

Переписывание $as$ $\textstyle {\sqrt {a^{2}}}$ ,

P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}

,

что завершает доказательство.

История [ править ]

Глиняная табличка раннединастического периода в Месопотамии (ок. 2900 – ок. 2350 до н.э.), идентифицированная как MS 3047, содержит геометрическую прогрессию с основанием 3 и множителем 1/2. Было высказано предположение, что это шумер из города Шуруппак . Это единственная известная запись геометрической прогрессии, существовавшая до времен старой вавилонской математики, начиная с 2000 года до нашей эры. ^[1]

В книгах VIII и IX » Евклида « Начал анализируются геометрические прогрессии (например, степени двойки , подробности см. в статье) и приводятся некоторые их свойства. ^[2]

См. также [ править ]

Арифметическая прогрессия – Последовательность чисел
Арифметико-геометрическая последовательность - математическая последовательность, удовлетворяющая определенному шаблону.
Линейное разностное уравнение
Экспоненциальная функция – математическая функция, обозначаемая exp(x) или e^x.
Гармоническая прогрессия - прогрессия, образованная путем взятия обратных величин арифметической прогрессии.
Гармонический ряд - расходящаяся сумма всех положительных единичных дробей.
Бесконечная серия – Бесконечная сумма
Предпочтительный номер — стандартные рекомендации по выбору точных размеров продукта в рамках заданного набора ограничений.
Томас Роберт Мальтус – британский политэкономист (1766–1834)
Геометрическое распределение – Распределение вероятностей

Ссылки [ править ]

^ Фриберг, Йоран (2007). «MS 3047: Текст древней шумерской метроматематической таблицы». Во Фриберге, Йоран (ред.). Замечательное собрание вавилонских математических текстов . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 150–153. дои : 10.1007/978-0-387-48977-3 . ISBN 978-0-387-34543-7 . МР 2333050 .
^ Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.

Холл и Найт, Высшая алгебра , с. 39, ISBN 81-8116-000-2

Внешние ссылки [ править ]

[1] Фриберг, Йоран (2007). «MS 3047: Текст древней шумерской метроматематической таблицы». Во Фриберге, Йоран (ред.). Замечательное собрание вавилонских математических текстов . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 150–153. дои : 10.1007/978-0-387-48977-3 . ISBN 978-0-387-34543-7 . МР 2333050 .

[2] Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.

[1]

[2]