Геометрическое распределение

Не путать с гипергеометрическим распределением .

Геометрический

Функция массы вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$0<p\leq 1$ вероятность успеха ( реальная )	$0<p\leq 1$ вероятность успеха ( реальная )
Поддерживать	k испытаний, где $k\in \{1,2,3,\dots \}$	k отказов, где $k\in \{0,1,2,3,\dots \}$
ПМФ	$(1-p)^{k-1}p$	$(1-p)^{k}p$
CDF	$1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }$ для $x\geq 1$, $0$ для $x<1$	$1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor +1}$ для $x\geq 0$, $0$ для $x<0$
Иметь в виду	${\frac {1}{p}}$	${\frac {1-p}{p}}$
медиана	$\left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil$ (не уникальный, если $-1/\log _{2}(1-p)$ это целое число)	$\left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil -1$ (не уникальный, если $-1/\log _{2}(1-p)$ это целое число)
Режим	$1$	$0$
Дисперсия	${\frac {1-p}{p^{2}}}$	${\frac {1-p}{p^{2}}}$
асимметрия	${\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}$	${\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}$
Избыточный эксцесс	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}$	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}$
Энтропия	${\tfrac {-(1-p)\log(1-p)-p\log p}{p}}$	${\tfrac {-(1-p)\log(1-p)-p\log p}{p}}$
МГФ	${\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}},$ для $t<-\ln(1-p)$	${\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}},$ для $t<-\ln(1-p)$
CF	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$	${\frac {p}{1-(1-p)e^{it}}}$
ПГФ	${\frac {pz}{1-(1-p)z}}$	${\frac {p}{1-(1-p)z}}$

В теории вероятностей и статистике геометрическое распределение представляет собой одно из двух дискретных распределений вероятностей :

• Распределение вероятностей числа $X$ из испытаний Бернулли, необходимых для достижения одного успеха, поддержанного на съемочной площадке $\{1,2,3,\ldots \}$;
• Распределение вероятностей числа $Y=X-1$ неудач до первого успеха, поддержанного на съемочной площадке $\{0,1,2,\ldots \}$.

Какое из них называется геометрическим распределением, это вопрос условности и удобства.

Эти два разных геометрических распределения не следует путать друг с другом. название смещенного геометрического распределения (распределение Часто за первое принимают $X$); однако, чтобы избежать двусмысленности, считается разумным указать, что именно предполагается, путем явного упоминания поддержки.

Геометрическое распределение дает вероятность того, что для первого успеха потребуется $k$ независимые испытания, каждое с вероятностью успеха $p$. Если вероятность успеха в каждом испытании равна $p$, то вероятность того, что $k$-е испытание – это первый успех

$\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p$

для $k=1,2,3,4,\dots$

Вышеуказанная форма геометрического распределения используется для моделирования количества испытаний вплоть до первого успеха. Напротив, для моделирования количества неудач до первого успеха используется следующая форма геометрического распределения:

$\Pr(Y=k)=\Pr(X=k+1)=(1-p)^{k}p$

для $k=0,1,2,3,\dots$

В любом случае последовательность вероятностей является геометрической последовательностью .

Геометрическое распределение обозначается Geo( p ), где $0<p\leq 1$.

Определение

Геометрическое распределение — это дискретное распределение вероятностей , которое описывает, когда происходит первый успех в бесконечной последовательности независимых и одинаково распределенных испытаний Бернулли . Его функция массы вероятности равна

$$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$$

где $k=1,2,3,\dotsc$ это количество испытаний и $p$ — вероятность успеха в каждом испытании.

Альтернативно, в некоторых текстах определяется распределение, при котором $k=0,1,2,\dotsc$ изменяя функцию массы вероятности на:

$$P(Y=k)=(1-p)^{k}p$$

Пример геометрического распределения можно получить, бросая шестигранную игральную кость до тех пор, пока не появится цифра «1». Каждый рулон независим с $1/6$ шанс на успех. Количество необходимых рулонов подчиняется геометрическому распределению с $p=1/6$.

Свойства

Моменты и кумулянты

Ожидаемое значение количества независимых испытаний, приведших к первому успеху, и дисперсия геометрически распределенной случайной величины X составляют:

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \operatorname {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

Аналогично, ожидаемое значение и дисперсия геометрически распределенной случайной величины Y = X - 1 (см. определение распределения $\Pr(Y=k)$) является:

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (X-1)=\operatorname {E} (X)-1={\frac {1-p}{p}},\qquad \operatorname {var} (Y)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

Доказательство

Ожидаемое значение X

Рассмотрим ожидаемое значение $\mathrm {E} (X)$ X , как указано выше, т.е. среднее количество попыток до успеха. В первом испытании мы либо добьемся успеха с вероятностью $p$, или мы потерпим неудачу с вероятностью $1-p$. Если мы потерпим неудачу, оставшееся среднее число попыток до тех пор, пока успех не будет идентичен исходному среднему значению.Это следует из того, что все испытания независимы.Отсюда получаем формулу:

$\mathrm {E} (X)=p\cdot 1+(1-p)\cdot (1+\mathrm {E} (X)),$

что, если решить для $\mathrm {E} (X)$ дает:

$\mathrm {E} (X)={\frac {1}{p}}.$

Ожидаемое значение Y

То, что ожидаемое значение Y , как указано выше, равно (1 - p )/ p, можно тривиально увидеть из $\mathrm {E} (Y)=\mathrm {E} (X-1)=\mathrm {E} (X)-1={\frac {1}{p}}-1={\frac {1-p}{p}}$ что следует из линейности ожидания или может быть показано следующим образом:

${\begin{aligned}\mathrm {E} (Y)&{}=\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}p\cdot k\\&{}=p\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}k\\&{}=p(1-p)\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k-1}\cdot k\\&{}=p(1-p)\left[{\frac {d}{dp}}\left(-\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}\right)\right]\\&{}=p(1-p){\frac {d}{dp}}\left(-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {1-p}{p}}.\end{aligned}}$

Чередование суммирования и дифференцирования оправдано тем, что сходящиеся степенные ряды сходятся равномерно на компактных подмножествах множества точек, где они сходятся.

Пусть µ = (1 - p )/ p будет ожидаемым значением Y . Тогда кумулянты $\kappa _{n}$ распределения вероятностей Y удовлетворяют рекурсии

$\kappa _{n+1}=\mu (\mu +1){\frac {d\kappa _{n}}{d\mu }}.$

Примеры ожидаемого значения

Д3) Пациент ожидает подходящего донора почки для трансплантации. Если вероятность того, что случайно выбранный донор подойдет, равна p = 0,1, каково ожидаемое число доноров, которые пройдут тестирование, прежде чем будет найден подходящий донор?

При p = 0,1 среднее количество неудач до первого успеха равно E( Y ) = (1 − p )/ p = (1 − 0,1)/0,1 = 9.

Для альтернативной формулировки, где X — количество попыток до первого успеха включительно, ожидаемое значение равно E( X ) = 1/ p = 1/0,1 = 10.

Например, в примере 1 выше, при p = 0,6, среднее количество неудач до первого успеха равно E( Y ) = (1 - p )/ p = (1 - 0,6)/0,6 = 0,67.

Моменты высшего порядка

Моменты числа неудач до первого успеха определяются выражением

${\begin{aligned}\mathrm {E} (Y^{n})&{}=\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}p\cdot k^{n}\\&{}=p\operatorname {Li} _{-n}(1-p)&({\text{for }}n\neq 0)\end{aligned}}$

где $\operatorname {Li} _{-n}(1-p)$ — функция полилогарифма .

Общие свойства

• Функции генерирующие вероятность X Y и , , соответственно:

${\begin{aligned}G_{X}(s)&={\frac {s\,p}{1-s\,(1-p)}},\\[10pt]G_{Y}(s)&={\frac {p}{1-s\,(1-p)}},\quad |s|<(1-p)^{-1}.\end{aligned}}$

• Как и его непрерывный аналог ( экспоненциальное распределение ), геометрическое распределение не имеет памяти . справедливо следующее То есть для любых m и n .

$\Pr\{X>m+n|X>n\}=\Pr\{X>m\}$

Геометрическое распределение, поддерживаемое {0, 1, 2, 3, ... }, является единственным дискретным распределением без памяти. Обратите внимание, что геометрическое распределение, поддерживаемое {1, 2,... }, не является безпамятным.

• Среди всех дискретных распределений вероятностей, поддерживаемых на {1, 2, 3, ... } с заданным ожидаемым значением µ , геометрическое распределение X с параметром p = 1/ µ является распределением с наибольшей энтропией .
• Геометрическое распределение числа Y неудач до первого успеха бесконечно делится , т. е. для любого натурального числа n существуют независимые одинаково распределенные случайные величины Y ₁ , ..., Y _n, сумма которых имеет то же распределение, что Y. и . Они не будут геометрически распределены, если n = 1; они следуют отрицательному биномиальному распределению .
• Десятичные цифры геометрически распределенной случайной величины Y представляют собой последовательность независимых (и не одинаково распределенных) случайных величин. Например, цифра сотен D имеет такое распределение вероятностей:

$\Pr(D=d)={q^{100d} \over 1+q^{100}+q^{200}+\cdots +q^{900}},$

где q = 1 - p , и аналогично для других цифр и, в более общем плане, аналогично для систем счисления с основанием, отличным от 10. Когда основание равно 2, это показывает, что геометрически распределенная случайная величина может быть записана как сумма независимые случайные величины, распределения вероятностей которых неразложимы .

• Кодирование Голомба является оптимальным префиксным кодом. для геометрического дискретного распределения.
• Сумма двух независимых случайных величин, распределенных Geo (p), не является геометрическим распределением.

Связанные дистрибутивы

• Геометрическое распределение Y является частным случаем отрицательного биномиального распределения с r = 1. В более общем смысле, если Y ₁ , ..., Y _r — независимые геометрически распределенные переменные с параметром p , то сумма

$Z=\sum _{m=1}^{r}Y_{m}$

следует отрицательному биномиальному распределению с параметрами r и p .

• Геометрическое распределение является частным случаем дискретного составного распределения Пуассона .
• Если Y ₁ , ..., Y _r – независимые геометрически распределенные переменные (возможно с разными параметрами успешности pm ₎ , то их минимум

$W=\min _{m\in 1,\ldots ,r}Y_{m}\,$

также геометрически распределено с параметром $p=1-\prod _{m}(1-p_{m}).$

• Предположим, 0 < r < 1, и для k = 1, 2, 3,... случайная величина X _k имеет распределение Пуассона с ожидаемым значением r. ^к / к . Затем

$\sum _{k=1}^{\infty }k\,X_{k}$

имеет геометрическое распределение, принимающее значения из набора {0, 1, 2, ...}, с ожидаемым значением r /(1 - r ).

• Экспоненциальное распределение является непрерывным аналогом геометрического распределения. Если X — экспоненциально распределенная случайная величина с параметром λ, то

$Y=\lfloor X\rfloor ,$

где $\lfloor \quad \rfloor$ — функция пола (или наибольшего целого числа), геометрически распределенная случайная величина с параметром p = 1 — e ^{− л} (таким образом, λ = −ln(1 − p ) ) и принимающие значения из набора {0, 1, 2, ...}. Это можно использовать для генерации геометрически распределенных псевдослучайных чисел, сначала генерируя экспоненциально распределенные псевдослучайные числа из универсального генератора псевдослучайных чисел : затем $\lfloor \ln(U)/\ln(1-p)\rfloor$ геометрически распределен с параметром $p$, если $U$ равномерно распределен в [0,1].

• Если p = 1/ n и X геометрически распределено с параметром p , то распределение X / n приближается к экспоненциальному распределению с ожидаемым значением 1 при n → ∞, поскольку

${\begin{aligned}\Pr(X/n>a)=\Pr(X>na)&=(1-p)^{na}=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{na}=\left[\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{a}\\&\to [e^{-1}]^{a}=e^{-a}{\text{ as }}n\to \infty .\end{aligned}}$

В более общем смысле, если p = λ / n , где λ — параметр, то при n → ∞ распределение X / n приближается к экспоненциальному распределению со скоростью λ :

$\Pr(X>nx)=\lim _{n\to \infty }(1-\lambda /n)^{nx}=e^{-\lambda x}$

поэтому функция распределения X / n сходится к $1-e^{-\lambda x}$, что соответствует экспоненциальной случайной величине.

Статистический

Оценка параметров

Для обоих вариантов геометрического распределения параметр p можно оценить, приравняв ожидаемое значение к выборочному среднему . Это метод моментов , который в данном случае дает максимального правдоподобия оценки p .

В частности, для первого варианта пусть k = k ₁ , ..., k _n будет выборкой , где k _i ≥ 1 для i = 1, ..., n . Тогда p можно оценить как

${\widehat {p}}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{-1}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}.\!$

В байесовском выводе бета -распределение является сопряженным априорным распределением параметра p . Если этому параметру задано значение Beta( α , β ) априорно , то апостериорное распределение будет

$p\sim \mathrm {Beta} \left(\alpha +n,\ \beta +\sum _{i=1}^{n}(k_{i}-1)\right).\!$

Апостериорное среднее E[ p ] приближается к оценке максимального правдоподобия ${\widehat {p}}$ когда α и β приближаются к нулю.

В альтернативном случае пусть k ₁ , ..., k _n будет выборкой, где k _i ≥ 0 для i = 1, ..., n . Тогда p можно оценить как

${\widehat {p}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{-1}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}+n}}.\!$

Апостериорное распределение p с учетом априорного значения Beta( α , β ) равно

$p\sim \mathrm {Beta} \left(\alpha +n,\ \beta +\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right).\!$

И снова апостериорное среднее E[ p ] приближается к оценке максимального правдоподобия. ${\widehat {p}}$ когда α и β приближаются к нулю.

Для любой оценки ${\widehat {p}}$ при использовании максимального правдоподобия смещение равно

$b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {p}}_{\mathrm {mle} }-p)\;{\bigg ]}={\frac {p\,(1-p)}{n}}$

что дает оценку максимального правдоподобия с поправкой на смещение

${\hat {p\,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {p\,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}$

Вычислительные методы

В языке программирования R функция dgeom(k, prob) вычисляет вероятность k неудачи перед успехом с вероятностью успеха prob за каждое испытание.

В Microsoft Excel функция NEGBINOMDIST(number_f, number_s, probability_s) можно использовать для подсчета количества отказов, number_f, до ряда успехов, number_s, с вероятностью успеха, probability_s, для каждого испытания. Параметр number_s до 1, дает геометрическое распределение.

См. также

• Гипергеометрическое распределение
• Проблема коллекционера купонов
• Составное распределение Пуассона
• Отрицательное биномиальное распределение

Внешние ссылки

• Геометрическое распределение в MathWorld .