Бета-прямоугольное распределение

Бета Прямоугольный

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\alpha >0$ форма ( настоящая ) $\beta >0$ форма ( настоящая ) $0<\theta <1$ параметр смеси
Поддерживать	$x\in (a,b)\!$
PDF	${\begin{cases}{\frac {\theta \Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}{\frac {(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta -1}}{(b-a)^{\alpha +\beta -1}}}+{\frac {1-\theta }{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
CDF	${\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a\\\theta I_{z}(\alpha ,\beta )+{\frac {(1-\theta )(x-a)}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\1&{\text{for }}x\geq b\end{cases}}$ где $z=(x-a)/(b-a)$
Иметь в виду	$a+(b-a)\left({\frac {\theta \alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {1-\theta }{2}}\right)$
Дисперсия	$(b-a)^{2}\left({\frac {\theta \,\alpha (\alpha +1)}{k(k+1)}}+{\frac {1-\theta }{3}}-{\frac {{\bigl (}k+\theta (\alpha -\beta ){\bigr )}^{2}}{4k^{2}}}\right)$ где $k=\alpha +\beta$

В теории вероятностей и статистике бета -прямоугольное распределение представляет собой распределение вероятностей , которое представляет собой конечную смесь распределения бета -распределения и непрерывного равномерного распределения . Поддержка распределения указывается параметрами a и b , которые являются минимальным и максимальным значениями соответственно. Распределение представляет собой альтернативу бета-распределению, позволяя разместить большую плотность на крайних точках ограниченного интервала поддержки. Таким образом, это ограниченное распределение, которое позволяет выбросам иметь большую вероятность появления, чем бета-распределение.

Определение

Функция плотности вероятности

Если параметры бета-распределения равны α и β , а параметр смеси равен θ , то прямоугольное бета-распределение имеет функцию плотности вероятности.

$p(x|\alpha ,\beta ,\theta )={\begin{cases}{\frac {\theta \Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}{\frac {(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta -1}}{(b-a)^{\alpha +\beta -1}}}+{\frac {1-\theta }{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}$

где $\Gamma (\cdot )$ это гамма-функция .

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения равна

$F(x|\alpha ,\beta ,\theta )=\theta I_{z}(\alpha ,\beta )+{\frac {(1-\theta )(x-a)}{b-a}}\quad \quad \mathrm {for} \ a\leq x\leq b,$

где $z={\dfrac {x-a}{b-a}}$ и $I_{z}(\alpha ,\beta )$ – регуляризованная неполная бета-функция .

Приложения

Управление проектом

Вариант PERT распределения бета -распределения часто используется в PERT , методе критического пути (CPM) и других методологиях управления проектами для характеристики распределения времени до завершения операции.

В PERT ограничения на параметры распределения PERT приводят к сокращенным вычислениям среднего и стандартного отклонения бета-распределения:

${\begin{aligned}E(x)&{}={\frac {a+4m+b}{6}}\\\operatorname {Var} (x)&{}={\frac {(b-a)^{2}}{36}}\end{aligned}}$

где a — минимум, b — максимум, а m — режим или наиболее вероятное значение. Однако считается, что дисперсия является постоянной, зависящей от диапазона. В результате у менеджера проекта нет возможности выражать различные уровни неопределенности относительно времени выполнения операции.

Выявление параметра достоверности бета-прямоугольника θ позволяет менеджеру проекта включить прямоугольное распределение и увеличить неопределенность, указав, что θ меньше 1. Тогда приведенная выше формула ожидания принимает вид

$E(x)={\frac {\theta (a+4m+b)+3(1-\theta )(a+b)}{6}}.$

Если руководитель проекта предполагает, что бета-распределение симметрично при стандартных условиях PERT, тогда дисперсия равна

$\operatorname {Var} (x)={\frac {(b-a)^{2}(3-2\theta )}{36}},$

тогда как для асимметричного случая это

$\operatorname {Var} (x)={\frac {(b-a)^{2}(3-2\theta ^{2})}{36}}.$

Теперь дисперсию можно увеличить, когда неопределенность возрастает. Однако бета-дистрибутив все равно может применяться в зависимости от решения руководителя проекта.

Бета-прямоугольник сравнивали с равномерным двусторонним распределением мощности и равномерным обобщенным бипараболическим распределением в контексте управления проектами. Бета-прямоугольник по сравнению с этим демонстрировал большую дисперсию и меньший эксцесс.

Распределение доходов

Прямоугольное бета-распределение сравнивали с повышенным двусторонним распределением власти при подборе данных о доходах в США. Было обнаружено, что 5-параметрическое повышенное двустороннее распределение мощности лучше подходит для некоторых субпопуляций, в то время как 3-параметрическое бета-прямоугольник лучше подходит для других субпопуляций.