Распределение обратного хи-квадрата

Обратный хи-квадрат

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\nu >0\!$
Поддерживать	$x\in (0,\infty )\!$
PDF	${\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e^{-1/(2x)}\!$
CDF	$\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2x}}\right){\bigg /}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\!$
Иметь в виду	${\frac {1}{\nu -2}}\!$ для $\nu >2\!$
медиана	$\approx {\dfrac {1}{\nu {\bigg (}1-{\dfrac {2}{9\nu }}{\bigg )}^{3}}}$
Режим	${\frac {1}{\nu +2}}\!$
Дисперсия	${\frac {2}{(\nu -2)^{2}(\nu -4)}}\!$ для $\nu >4\!$
асимметрия	${\frac {4}{\nu -6}}{\sqrt {2(\nu -4)}}\!$ для $\nu >6\!$
Избыточный эксцесс	${\frac {12(5\nu -22)}{(\nu -6)(\nu -8)}}\!$ для $\nu >8\!$
Энтропия	${\frac {\nu }{2}}\!+\!\ln \!\left({\frac {\nu }{2}}\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\right)$ $\!-\!\left(1\!+\!{\frac {\nu }{2}}\right)\psi \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)$
МГФ	${\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-t}{2i}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2t}}\right)$; не существует как действительнозначная функция
CF	${\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-it}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2it}}\right)$

В теории вероятности и статистике распределение обратного хи-квадрата (или распределение обратного хи-квадрата) ) — непрерывное распределение вероятностей положительной случайной величины. Оно тесно связано с распределением хи-квадрат . Оно возникает при байесовском выводе , где его можно использовать в качестве априорного и апостериорного распределения для неизвестной дисперсии нормального распределения .

Определение

Обратное распределение хи-квадрат (или распределение обратного хи-квадрат) ) — это распределение вероятностей случайной величины, мультипликативная обратная (обратная) величина которой имеет распределение хи-квадрат .

Если $X$ следует распределению хи-квадрат с $\nu$ степени свободы , тогда $1/X$ следует обратному распределению хи-квадрат с $\nu$ степени свободы.

Функция плотности вероятности обратного распределения хи-квадрат определяется выражением

$f(x;\nu )={\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e^{-1/(2x)}$

В приведенном выше $x>0$ и $\nu$ – параметр степеней свободы . Дальше, $\Gamma$ это гамма-функция .

Обратное распределение хи-квадрат является частным случаем обратного гамма-распределения . с параметром формы $\alpha ={\frac {\nu }{2}}$ и параметр масштабирования $\beta ={\frac {1}{2}}$.

Связанные дистрибутивы

• хи-квадрат : если $X\thicksim \chi ^{2}(\nu )$ и $Y={\frac {1}{X}}$, затем $Y\thicksim {\text{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )$
• масштабированный обратный хи-квадрат : если $X\thicksim {\text{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,1/\nu )\,$, затем $X\thicksim {\text{inv-}}\chi ^{2}(\nu )$
• Обратная гамма с $\alpha ={\frac {\nu }{2}}$ и $\beta ={\frac {1}{2}}$
• Обратное распределение хи-квадрат является частным случаем распределения Пирсона 5-го типа.

См. также

• Масштабированное распределение обратного хи-квадрата
• Обратное распределение Уишарта

Внешние ссылки

• InvChisquare в пакете geoR для языка R.