Распределение Трейси – Уидома

Плотности распределений Трейси–Уидома для β = 1, 2, 4

Распределение Трейси -Уидома — это распределение вероятностей из теории случайных матриц, введенное Крейгом Трейси и Гарольдом Уидомом ( 1993 , 1994 ). Это распределение нормализованного наибольшего собственного значения эрмитовой случайной матрицы . Распределение определяется как определитель Фредгольма .

С практической точки зрения Трейси – Уидома представляет собой функцию пересечения между двумя фазами слабо и сильно связанных компонентов в системе. Оно также проявляется в распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок : как крупномасштабная статистика в уравнении Кардара-Паризи-Чжана , в текущих колебаниях асимметричного процесса простого исключения (ASEP) со ступенчатым начальным условием, и в упрощенных математических моделях поведения задачи о самой длинной общей подпоследовательности на случайных входных данных. См. Takeuchi & Sano (2010) и Takeuchi et al. (2011) для экспериментальной проверки (и проверки), что флуктуации границы раздела растущей капли (или подложки) описываются распределением TW $F_{2}$ (или $F_{1}$), как предсказывали Prähofer & Spohn (2000) .

Распределение $F_{1}$ представляет особый интерес в многомерной статистике . Для обсуждения универсальности $F_{\beta }$, $\beta =1,2,4$см. Дейфт (2007) . Для применения $F_{1}$ Чтобы сделать вывод о структуре популяции на основе генетических данных, см. Patterson, Price & Reich (2006) . В 2017 году было доказано, что распределение F не является бесконечно делимым.

Определение как закон больших чисел

Позволять $F_{\beta }$ обозначают кумулятивную функцию распределения распределения Трейси – Уидома с заданными $\beta$. Его можно определить как закон больших чисел, аналогичный центральной предельной теореме .

Обычно существует три распределения Трейси – Уидома: $F_{\beta }$, с $\beta \in \{1,2,4\}$. Они соответствуют трем гауссовским ансамблям : ортогональным ( $\beta =1$), унитарный ( $\beta =2$) и симплектические ( $\beta =4$).

В общем, рассмотрим гауссов ансамбль со значением бета. $\beta$, причем его диагональные записи имеют дисперсию 1, а недиагональные записи имеют дисперсию $\sigma ^{2}$, и пусть $F_{N,\beta }(s)$ быть вероятностью того, что $N\times N$ матрица, выбранная из ансамбля, имеет максимальное собственное значение $\leq s$, затем определите $$F_{\beta }(x)=\lim _{N\to \infty }F_{N,\beta }(\sigma (2N^{1/2}+N^{-1/6}x))=\lim _{N\to \infty }Pr(N^{1/6}(\lambda _{max}/\sigma -2N^{1/2})\leq x)$$где $\lambda _{\max }$ обозначает наибольшее собственное значение случайной матрицы. Сдвиг на $2\sigma N^{1/2}$ центрирует распределение, так как в пределе распределение собственных значений сходится к полукруговому распределению с радиусом $2\sigma N^{1/2}$. Умножение на $N^{1/6}$ используется потому, что стандартное отклонение масштабов распределения равно $N^{-1/6}$ (впервые получено в ).

Например:

$F_{2}(x)=\lim _{N\to \infty }\operatorname {Prob} \left((\lambda _{\max }-{\sqrt {4N}})N^{1/6}\leq x\right),$

где матрица выбирается из гауссовского унитарного ансамбля с недиагональной дисперсией $1$.

Определение распределений Трейси – Уидома. $F_{\beta }$ может быть распространено на все $\beta >0$ (Слайд 56 в Эдельмане (2003 г.) , Рамиресе, Райдере и Вираге (2006 г.) ).

Естественно, можно задаться вопросом о предельном распределении вторых по величине собственных значений, третьих по величине собственных значений и т. д. Они известны.

Функциональные формы

Определитель Фредгольма

$F_{2}$ может быть задан как определитель Фредгольма

$F_{2}(s)=\det(I-A_{s})=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{(s,\infty )^{n}}\det _{i,j=1,...,n}[A_{s}(x_{i},x_{j})]dx_{1}\cdots dx_{n}$

ядра ​ $A_{s}$ («ядро Эйри») о функциях, интегрируемых с квадратом на полупрямой. $(s,\infty )$, заданный через функции Эйри Ai выражением

$A_{s}(x,y)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{x-y}}\quad {\text{if }}x\neq y\\Ai'(x)^{2}-x(Ai(x))^{2}\quad {\text{if }}x=y\end{cases}}$

Трансценденты Пенлеве

$F_{2}$ также может быть задано как интеграл

$F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)\,dx\right)$

с точки зрения решения уравнения Пенлеве типа II

$q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,$

с граничным условием ${\textstyle \displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\to \infty .}$ Эта функция $q$ есть трансцендентный Пенлеве .

Другие распределения также выражаются через те же самые распределения. $q$:

${\begin{aligned}F_{1}(s)&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}\\F_{4}(s/{\sqrt {2}})&=\cosh \left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}.\end{aligned}}$

Функциональные уравнения

Определять $${\begin{aligned}F(x)&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{x}^{\infty }(y-x)q(y)^{2}\,dy\right)\\E(x)&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{x}^{\infty }q(y)\,dy\right)\end{aligned}}$$затем $$F_{1}(x)=E(x)F(x),\quad F_{2}(x)=F(x)^{2},\quad \quad F_{4}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(E(x)+{\frac {1}{E(x)}}\right)F(x)$$

События

Помимо теории случайных матриц, распределения Трейси – Уидома встречаются во многих других вероятностных задачах.

Позволять $l_{n}$ — длина самой длинной возрастающей подпоследовательности в случайной перестановке, равномерно выбранной из $S_{n}$, группа перестановок из n элементов. Тогда кумулятивная функция распределения ${\frac {l_{n}-2N^{1/2}}{N^{1/6}}}$ сходится к $F_{2}$.

Асимптотика

Функция плотности вероятности

Позволять $f_{\beta }(x)=F_{\beta }'(x)$ — функция плотности вероятности распределения, тогда $$f_{\beta }(x)\sim {\begin{cases}e^{-{\frac {\beta }{24}}|x|^{3}},\quad x\to -\infty \\e^{-{\frac {2\beta }{3}}|x|^{3/2}},\quad x\to +\infty \end{cases}}$$В частности, мы видим, что она сильно перекошена вправо: это гораздо более вероятно для $\lambda _{max}$ быть намного больше, чем $2\sigma {\sqrt {N}}$ чем быть намного меньше. Это можно было интуитивно понять, увидев, что предельное распределение представляет собой закон полукруга, поэтому существует «отталкивание» от основной части распределения, заставляющее $\lambda _{max}$ быть не намного меньше, чем $2\sigma {\sqrt {N}}$.

На $x\to -\infty$ предел, более точное выражение (уравнение 49 ) $$f_{\beta }(x)\sim \tau _{\beta }|x|^{(\beta ^{2}+4-6\beta )/16\beta }\exp \left[-\beta {\frac {|x|^{3}}{24}}+{\sqrt {2}}{\frac {\beta -2}{6}}|x|^{3/2}\right]$$для некоторого положительного числа $\tau _{\beta }$ это зависит от $\beta$.

Кумулятивная функция распределения

На $x\to +\infty$ предел, $${\begin{aligned}F(x)&=1-{\frac {e^{-{\frac {4}{3}}x^{3/2}}}{32\pi x^{3/2}}}{\biggl (}1-{\frac {35}{24x^{3/2}}}+{\cal {O}}(x^{-3}){\biggr )},\\E(x)&=1-{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{4{\sqrt {\pi }}x^{3/2}}}{\biggl (}1-{\frac {41}{48x^{3/2}}}+{\cal {O}}(x^{-3}){\biggr )}\end{aligned}}$$и в $x\to -\infty$ предел, $${\begin{aligned}F(x)&=2^{1/48}e^{{\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)}{\frac {e^{-{\frac {1}{24}}|x|^{3}}}{|x|^{1/16}}}\left(1+{\frac {3}{2^{7}|x|^{3}}}+O(|x|^{-6})\right)\\E(x)&={\frac {1}{2^{1/4}}}e^{-{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}|x|^{3/2}}{\Biggl (}1-{\frac {1}{24{\sqrt {2}}|x|^{3/2}}}+{\cal {O}}(|x|^{-3}){\Biggr )}.\end{aligned}}$$где $\zeta$ – дзета-функция Римана , и $\zeta '(-1)=-0.1654211437$.

Это позволяет вывести $x\to \pm \infty$ поведение $F_{\beta }$. Например, $${\begin{aligned}1-F_{2}(x)&={\frac {1}{32\pi x^{3/2}}}e^{-4x^{3/2}/3}(1+O(x^{-3/2})),\\F_{2}(-x)&={\frac {2^{1/24}e^{\zeta ^{\prime }(-1)}}{x^{1/8}}}e^{-x^{3}/12}{\biggl (}1+{\frac {3}{2^{6}x^{3}}}+O(x^{-6}){\biggr )}.\end{aligned}}$$

Пенлеве превосходит

Трансцендент Пенлеве имеет асимптотическое расширение при $x\to -\infty$ (уравнение 4.1 ) $$q(x)={\sqrt {-{\frac {x}{2}}}}\left(1+{\frac {1}{8}}x^{-3}-{\frac {73}{128}}x^{-6}+{\frac {10657}{1024}}x^{-9}+O(x^{-12})\right)$$Это необходимо для численных расчетов, так как $q\sim {\sqrt {-x/2}}$ решение неустойчиво: любое отклонение от него имеет тенденцию отбрасывать его в сторону $q\sim -{\sqrt {-x/2}}$ вместо этого ветка.

Числа

Численные методы получения численных решений уравнений Пенлеве типов II и V, а также численной оценки распределений собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях были впервые представлены Эдельманом и Перссоном (2005) с использованием MATLAB . Эти методы аппроксимации были дополнительно аналитически обоснованы в Бежане (2005) и использованы для численной оценки распределений Пенлеве II и Трейси – Уидома (для $\beta =1,2,4$) в S-PLUS . Эти распределения были сведены в таблицу Бежаном (2005) до четырех значащих цифр для значений аргумента с шагом 0,01; в этой работе также была приведена статистическая таблица для значений p. Борнеманн (2010) предложил точные и быстрые алгоритмы численной оценки $F_{\beta }$ и функции плотности $f_{\beta }(s)=dF_{\beta }/ds$ для $\beta =1,2,4$. Эти алгоритмы можно использовать для численного вычисления среднего значения , дисперсии , асимметрии и избыточного эксцесса распределений. $F_{\beta }$.

$\beta$	Иметь в виду	Дисперсия	асимметрия	Избыточный эксцесс
1	−1.2065335745820	1.607781034581	0.29346452408	0.1652429384
2	−1.771086807411	0.8131947928329	0.224084203610	0.0934480876
4	−2.306884893241	0.5177237207726	0.16550949435	0.0491951565

Функции для работы с законами Трейси – Уидома также представлены в пакете R «RMTstat» Джонстона и др. (2009) и пакет MATLAB «RMLab» Диенга (2006) .

Простое приближение, основанное на смещенном гамма-распределении, см. в Chiani (2014) .

Шен и Серх (2022) разработали спектральный алгоритм собственного разложения интегрального оператора $A_{s}$, который можно использовать для быстрой оценки распределений Трейси–Уидома или, в более общем смысле, распределений $k$наибольшего уровня на пределе масштабирования мягких границ гауссовых ансамблей до машинной точности.

Трейси-Уидом и универсальность КПЗ

Распределение Трейси-Уидома появляется как предельное распределение в классе универсальности уравнения КПЗ . Например, он появляется под $t^{1/3}$ масштабирование одномерного уравнения КПЗ с фиксированным временем.

См. также

• Распределение полукруга Вигнера
• Распределение Марченко – Пастора

Ссылки

• Байк, Дж.; Дейфт, П.; Йоханссон, К. (1999), «О распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок», Журнал Американского математического общества , 12 (4): 1119–1178, arXiv : math/9810105 , doi : 10.1090 /S0894-0347-99-00307-0 , JSTOR   2646100 , MR   1682248 .
• Борнеманн, Ф. (2010), «О численной оценке распределений в теории случайных матриц: обзор с приглашением к экспериментальной математике», Марковские процессы и смежные области , 16 (4): 803–866, arXiv : 0904.1581 , Bibcode : 2009arXiv0904.1581B .
• Чиани, М. (2014), «Распределение наибольшего собственного значения для реальных случайных матриц Уишарта и Гаусса и простое приближение для распределения Трейси – Уидома», Journal of Multivariate Analysis , 129 : 69–81, arXiv : 1209.3394 , doi : 10.1016/j.jmva.2014.04.002 , S2CID   15889291 .
• Сасамото, Томохиро; Спон, Герберт (2010), «Одномерное уравнение Кардара-Паризи-Чжана: точное решение и его универсальность», Physical Review Letters , 104 (23): 230602, arXiv : 1002.1883 , Bibcode : 2010PhRvL.104w0602S , doi : 10.1103/PhysRevLett.104.230602 , PMID   20867222 , S2CID   34945972
• Дейфт, П. (2007), «Универсальность математических и физических систем» (PDF) , Международный конгресс математиков (Мадрид, 2006) , том. 1, Европейское математическое общество , стр. 125–152, arXiv : math-ph/0603038 , doi : 10.4171/022-1/7 , ISBN  978-3-98547-036-5 , МР   2334189 , S2CID   14133017 .
• Диенг, Момар (2006), RMLab, пакет MATLAB для расчета распределений Трейси-Уидома и моделирования случайных матриц .
• Домингес-Молина, Дж. Армандо (2017), «Распределение Трейси-Уидома не делится бесконечно», Статистика и вероятностные письма , 213 (1): 56–60, arXiv : 1601.02898 , doi : 10.1016/j.spl.2016.11 .029 , S2CID   119676736 .
• Йоханссон, К. (2000), «Флуктуации формы и случайные матрицы», Communications in Mathematical Physics , 209 (2): 437–476, arXiv : math/9903134 , Bibcode : 2000CMaPh.209..437J , doi : 10.1007/s002200050027 , S2CID   16291076 .
• Йоханссон, К. (2002), «Определители Теплица, случайный рост и детерминантные процессы» (PDF) , Proc. Международный конгресс математиков (Пекин, 2002) , вып. 3, Пекин: Высшее изд. Пресс, стр. 53–62, МР   1957518 .
• Джонстон, И.М. (2007), «Высокоразмерный статистический вывод и случайные матрицы» (PDF) , Международный конгресс математиков (Мадрид, 2006) , том. 1, Европейское математическое общество , стр. 307–333, arXiv : math/0611589 , doi : 10.4171/022-1/13 , ISBN  978-3-98547-036-5 , МР   2334195 , S2CID   88524958 .
• Джонстон, И.М. (2008), «Многомерный анализ и ансамбли Якоби: наибольшее собственное значение, пределы Трейси – Уидома и скорость сходимости», Annals of Статистика , 36 (6): 2638–2716, arXiv : 0803.3408 , doi : 10.1214/08- АОС605 , ПМК   2821031 , ПМИД   20157626 .
• Джонстон, И.М. (2009), «Приблизительное нулевое распределение наибольшего корня в многомерном анализе», Анналы прикладной статистики , 3 (4): 1616–1633, arXiv : 1009.5854 , doi : 10.1214/08-AOAS220 , PMC   2880335 , PMID   20526465 .
• Маджумдар, Сатья Н.; Нечаев, Сергей (2005), «Точные асимптотические результаты для модели выравнивания последовательностей Бернулли», Physical Review E , 72 (2): 020901, 4, arXiv : q-bio/0410012 , Bibcode : 2005PhRvE..72b0901M , doi : 10.1103/PhysRevE.72.020901 , MR   2177365 , PMID   16196539 , S2CID   11390762 .
• Паттерсон, Н.; Цена, Алабама; Райх, Д. (2006), «Структура популяции и собственный анализ», PLOS Genetics , 2 (12): e190, doi : 10.1371/journal.pgen.0020190 , PMC   1713260 , PMID   17194218 .
• Прехофер, М.; Спон, Х. (2000), «Универсальные распределения для растущих процессов в измерениях 1+1 и случайные матрицы», Physical Review Letters , 84 (21): 4882–4885, arXiv : cond-mat/9912264 , Bibcode : 2000PhRvL.. 84.4882P , дои : 10.1103/PhysRevLett.84.4882 , PMID   10990822 , S2CID   20814566 .
• Шен, З.; Серх, К. (2022), «Об оценке собственного разложения интегрального оператора Эйри», Прикладной и вычислительный гармонический анализ , 57 : 105–150, arXiv : 2104.12958 , doi : 10.1016/j.acha.2021.11.003 , S2CID   233407802 .
• Такеучи, Калифорния; Сано, М. (2010), «Универсальные флуктуации растущих границ раздела: данные в турбулентных жидких кристаллах», Physical Review Letters , 104 (23): 230601, arXiv : 1001.5121 , Bibcode : 2010PhRvL.104w0601T , doi : 10.1103/PhysRevLett.104.230601 , PMID   20867221 , S2CID   19315093
• Такеучи, Калифорния; Сано, М.; Сасамото, Т.; Спон, Х. (2011), «Растущие интерфейсы раскрывают универсальные колебания за масштабной инвариантностью», Scientific Reports , 1 : 34, arXiv : 1108.2118 , Bibcode : 2011NatSR...1E..34T , doi : 10.1038/srep00034 , PMC   3216521 , ПМИД   22355553
• Трейси, Калифорния ; Уидом, Х. (1993), «Распределения между уровнями и ядро ​​Эйри», Physics Letters B , 305 (1–2): 115–118, arXiv : hep-th/9210074 , Bibcode : 1993PhLB..305.. 115Т , дои : 10.1016/0370-2693(93)91114-3 , S2CID   119690132 .
• Трейси, Калифорния ; Видом, Х. (1994), «Распределения между уровнями и ядро ​​Эйри», Communications in Mathematical Physics , 159 (1): 151–174, arXiv : hep-th/9211141 , Bibcode : 1994CMaPh.159..151T , дои : 10.1007/BF02100489 , MR   1257246 , S2CID   13912236 .
• Трейси, Калифорния ; Видом, Х. (1996), «Об ансамблях ортогональных и симплектических матриц», Communications in Mathematical Physics , 177 (3): 727–754, arXiv : solv-int/9509007 , Bibcode : 1996CMaPh.177..727T , doi : 10.1007/БФ02099545 , МР   1385083 , С2КИД   17398688
• Трейси, Калифорния ; Видом, Х. (2002), «Функции распределения наибольших собственных значений и их приложения» (PDF) , Proc. Международный конгресс математиков (Пекин, 2002) , вып. 1, Пекин: Высшее изд. Пресс, стр. 587–596, МР   1989209 .
• Трейси, Калифорния ; Видом, Х. (2009), «Асимптотика в ASEP со ступенчатым начальным условием», Communications in Mathematical Physics , 290 (1): 129–154, arXiv : 0807.1713 , Bibcode : 2009CMaPh.290..129T , doi : 10.1007/s00220-009-0761-0 , S2CID   14730756 .

Дальнейшее чтение

• Бежан, Андрей Ю. (2005), Наибольшие собственные значения и выборочные ковариационные матрицы. Трейси-Уидом и Пенлеве II: Вычислительные аспекты и реализация в S-Plus с приложениями (PDF) , магистр наук. диссертация, факультет статистики, Уорикский университет .
• Эдельман, А.; Перссон, П.-О. (2005), Численные методы распределения собственных значений случайных матриц , arXiv : math-ph/0501068 , Bibcode : 2005math.ph...1068E .
• Эдельман, А. (2003), Стохастические дифференциальные уравнения и случайные матрицы , Прикладная линейная алгебра SIAM .
• Рамирес, Х.А.; Райдер, Б.; Вираг, Б. (2006), «Бета-ансамбли, стохастический спектр Эйри и диффузия», Журнал Американского математического общества , 24 (4): 919–944, arXiv : math/0607331 , Bibcode : 2006math.... ..7331R , дои : 10.1090/S0894-0347-2011-00703-0 , S2CID   10226881 .

Внешние ссылки

• Куйлаарс, Универсальность функций распределения в теории случайных матриц (PDF) .
• Трейси, Калифорния ; Видом, Х. , Распределения теории случайных матриц и их приложения (PDF) .
• Джонстон, Иэн; Ма, Цзунмин; Перри, Патрик; Шахрам, Мортеза (2009), Пакет «RMTstat» (PDF) .
• На грани нового универсального закона , журнал Quanta