Определитель Фредгольма

В математике определитель Фредгольма — это комплекснозначная функция , которая обобщает определитель конечномерного линейного оператора . Он определен для ограниченных операторов в гильбертовом пространстве , которые отличаются от тождественного оператора оператором трассового класса . Функция названа в честь математика Эрика Ивара Фредхольма .

Определители Фредгольма нашли множество применений в математической физике , наиболее известным примером является Габора Сеге , предельная формула доказанная в ответ на вопрос, поднятый Ларсом Онсагером и К.Н. Янгом о спонтанном намагничивании модели Изинга .

Определение

Позволять $H$ быть гильбертовым пространством и $G$ множество ограниченных обратимых операторов на $H$ формы $I+T$, где $T$ является оператором трассировочного класса . $G$ это группа , потому что

$$(I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1},$$

так $(I+T)^{-1}-I$ это класс трассировки, если $T$ является. Он имеет естественную метрику, определяемую выражением $d(X,Y)=\|X-Y\|_{1}$, где $\|\cdot \|_{1}$ является нормой трассового класса.

Если $H$ является гильбертовым пространством со внутренним произведением $(\cdot ,\cdot )$, то также $k$внешняя сила $\Lambda ^{k}H$ с внутренним продуктом $$(v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})=\det(v_{i},w_{j}).$$

В частности $$e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})$$

дает ортонормированный базис $\Lambda ^{k}H$ если $(e_{i})$ является ортонормированным базисом $H$. Если $A$ является ограниченным оператором на $H$, затем $A$ функториально определяет ограниченный оператор $\Lambda ^{k}(A)$ на $\Lambda ^{k}H$ к $$\Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}.$$

Если $A$ является трассировочным классом, тогда $\Lambda ^{k}(A)$ также является трассировочным классом с $$\|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!.$$

Это показывает, что определение определителя Фредгольма, данное формулой $$\det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)$$

имеет смысл.

Характеристики

• Если $A$ является оператором трассировочного класса

$$\det(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}\operatorname {Tr} \Lambda ^{k}(A)$$ определяет целую функцию такую, что $$\left|\det(I+zA)\right|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1}).$$

• Функция $\det(I+A)$ непрерывен для операторов трассового класса, причем

$$\left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1).$$ Можно немного улучшить это неравенство до следующего, как отмечено в главе 5 книги Саймона: $$\left|\det(I+A)-\det(I+B)\right|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1).$$

• Если $A$ и $B$ тогда это трассировочный класс

$$\det(I+A)\cdot \det(I+B)=\det(I+A)(I+B).$$

• Функция $\det$ определяет гомоморфизм ​ $G$ в мультипликативную группу $\mathbb {C} ^{*}$ ненулевых комплексных чисел (поскольку элементы $G$ обратимы).
• Если $T$ находится в $G$ и $X$ является обратимым,

$$\det XTX^{-1}=\det T.$$

• Если $A$ является трассировочным классом, тогда

$$\det e^{A}=\exp \,\operatorname {Tr} (A).$$$$\log \det(I+zA)=\operatorname {Tr} (\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\operatorname {Tr} A^{k}}{k}}z^{k}$$

Определители Фредгольма коммутаторов

Функция $F(t)$ от $(a,b)$ в $G$ называется дифференцируемым, если $F(t)-I$ дифференцируема как отображение на операторы трассового класса, т.е. если предел

$${\dot {F}}(t)=\lim _{h\to 0}{F(t+h)-F(t) \over h}$$

существует в норме трассового класса.

Если $g(t)$ является дифференцируемой функцией со значениями в операторах трассировочного класса, то также $\exp g(t)$ и

$$F^{-1}{\dot {F}}={\operatorname {id} -\exp -\operatorname {ad} g(t) \over \operatorname {ad} g(t)}\cdot {\dot {g}}(t),$$

где $$\operatorname {ad} (X)\cdot Y=XY-YX.$$

Исраэль Гоберг и Марк Крейн доказали, что если $F$ является дифференцируемой функцией в $G$, затем $f=\det F$ является дифференцируемым отображением в $\mathbb {C} ^{*}$ с $$f^{-1}{\dot {f}}=\operatorname {Tr} F^{-1}{\dot {F}}.$$

Этот результат был использован Джоэлом Пинкусом, Уильямом Хелтоном и Роджером Хоу, чтобы доказать, что если $A$ и $B$ являются ограниченными операторами с коммутатором ядерного класса $AB-BA$, затем

$$\det e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \operatorname {Tr} (AB-BA).$$

Предельная формула Сзэнго

Смотрите также: предельные теоремы Сегё

Позволять $H=L^{2}(S^{1})$ и пусть $P$ — ортогональная проекция на пространство Харди $H^{2}(S^{1})$.

Если $f$ — гладкая функция на окружности, пусть $m(f)$ обозначим соответствующий оператор умножения на $H$.

Коммутатор $$Pm(f)-m(f)P$$является трассировочным классом.

Позволять $T(f)$ быть оператором Теплица на $H^{2}(S^{1})$ определяется $$T(f)=Pm(f)P,$$

тогда аддитивный коммутатор $$T(f)T(g)-T(g)T(f)$$является трассировочным классом, если $f$ и $g$ гладкие.

Бергер и Шоу доказали, что $$\operatorname {tr} (T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }f\,dg.$$

Если $f$ и $g$ гладкие, то $$T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})$$находится в $G$.

Гарольд Видом использовал результат Пинкуса-Хелтона-Хоу, чтобы доказать, что $$\det T(e^{f})T(e^{-f})=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},$$где $$f(z)=\sum a_{n}z^{n}.$$

Он использовал это, чтобы дать новое доказательство знаменитой предельной формулы Габора Сеге : $$\lim _{N\to \infty }\det P_{N}m(e^{f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},$$где $P_{N}$ есть проекция на подпространство $H$ охватываемый $1,z,\ldots ,z^{N}$ и $a_{0}=0$.

Предельная формула Сегё была доказана в 1951 году в ответ на вопрос, поднятый в работе Ларса Онсагера и К. Н. Янга по расчету спонтанной намагниченности для модели Изинга . Формула Видома, которая довольно быстро приводит к предельной формуле Сегё, также эквивалентна дуальности между бозонами и фермионами в конформной теории поля . Сингулярная версия предельной формулы Сегё для функций, носимых на дуге окружности, была доказана Видомом; он был применен для получения вероятностных результатов о распределении собственных значений случайных унитарных матриц .

Неформальное изложение для случая интегральных операторов

В разделе ниже представлено неформальное определение определителя Фредгольма. $I-T$ когда оператор класса трассировки $T$ — интегральный оператор, заданный ядром $K(x,y)$. Правильное определение требует представления, показывающего, что каждая из манипуляций четко определена, сходится и т. д. для данной ситуации, для которой рассматривается определитель Фредгольма. Поскольку ядро $K$ может быть определено для большого разнообразия гильбертовых и банаховых пространств , это нетривиальное упражнение.

Определитель Фредгольма можно определить как $$\det(I-\lambda T)=\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)=\exp {\left(-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Tr} (T^{n})}{n}}\lambda ^{n}\right)}$$

где $T$ является интегральным оператором . След оператора $T$ и его знакопеременные степени заданы через ядро $K$ к $$\operatorname {Tr} T=\int K(x,x)\,dx$$и $$\operatorname {Tr} \Lambda ^{2}(T)={\frac {1}{2!}}\iint \left(K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\right)dx\,dy$$и вообще $$\operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)={\frac {1}{n!}}\int \cdots \int \det K(x_{i},x_{j})|_{1\leq i,j\leq n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}.$$

Трассировка четко определена для этих ядер, поскольку это операторы трассировочного класса или ядерные операторы .

Приложения

Определитель Фредгольма был использован физиком Джоном А. Уилером (1937, Phys. Rev. 52:1107) для математического описания волновой функции составного ядра, состоящего из антисимметричной комбинации частичных волновых функций, с помощью метода резонирующей групповой структуры. Этот метод соответствует различным возможным способам распределения энергии нейтронов и протонов по фундаментальным бозонным и фермионным кластерам нуклонных групп или строительным блокам, таким как альфа-частица, гелий-3, дейтерий, тритон, динейтрон и т. д. При применении к методу структуры резонирующей группы для бета- и альфа-стабильных изотопов использование определителя Фредгольма: (1) определяет значения энергии сложной системы и (2) определяет сечения рассеяния и распада. Метод резонирующей групповой структуры Уиллера обеспечивает теоретическую основу для всех последующих моделей кластеров нуклонов и связанной с ними динамики энергии кластеров для всех изотопов легких и тяжелых масс (см. обзор кластерных моделей в физике в ND Cook, 2006).

Ссылки

• Саймон, Барри (2005), Идеалы трассировки и их приложения , Математические обзоры и монографии, том. 120, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-3581-5
• Уилер, Джон А. (1 декабря 1937 г.). «О математическом описании легких ядер методом резонирующей групповой структуры». Физический обзор . 52 (11). Американское физическое общество (APS): 1107–1122. Бибкод : 1937PhRv...52.1107W . дои : 10.1103/physrev.52.1107 . ISSN   0031-899X .
• Борнеманн, Фолькмар (2010), «О числовой оценке определителей Фредгольма», Math. Комп. , 79 (270), Спрингер: 871–915, arXiv : 0804.2543 , doi : 10.1090/s0025-5718-09-02280-7