Бочковое пространство

В функциональном анализе и смежных областях математики бочковое пространство (также называемое бочковое пространство ) — это топологическое векторное пространство (TVS), для которого каждое бочковое множество в пространстве является окрестностью нулевого вектора . или Бочкообразное множество бочка в топологическом векторном пространстве — это множество , которое является выпуклым , сбалансированным , поглощающим и замкнутым . Бочковые пространства изучаются потому, что для них все еще справедлива форма теоремы Банаха – Штейнгауза . Бочковые пространства были предложены Бурбаки ( 1950 ).

Бочки

Выпуклое . и сбалансированное подмножество вещественного или комплексного векторного пространства называется диском и его называют дисковым , абсолютно выпуклым или выпукло сбалансированным ,

А бочка или бочкообразное множество в топологическом векторном пространстве (ТВП) — подмножество, представляющее собой замкнутый поглощающий диск; то есть бочка представляет собой выпуклое, сбалансированное, закрытое и поглощающее подмножество.

В каждой бочке должно быть указано происхождение. Если $\dim X\geq 2$ и если $S$ это любое подмножество $X,$ затем $S$ представляет собой выпуклый, сбалансированный и поглощающий набор $X$ тогда и только тогда, когда все это верно для $S\cap Y$ в $Y$ для каждого $2$-мерное векторное подпространство $Y;$ таким образом, если $\dim X>2$ тогда требование, чтобы бочка была замкнутым подмножеством $X$ является единственным определяющим свойством, которое не зависит исключительно от $2$ (или более низкомерные) векторные подпространства $X.$

Если $X$ является любой TVS, то каждая замкнутая выпуклая и сбалансированная окрестность начала координат обязательно является бочкой в $X$ (поскольку каждая окрестность начала координат обязательно является поглощающим подмножеством). Фактически, каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет базис окрестности, в начале полностью состоящий из бочек. Однако в целом могут существовать бочки, не являющиеся окрестностями происхождения; «бочковые пространства» — это именно те ТВС, в которых каждая бочка обязательно является окрестностью начала координат. Каждое конечномерное топологическое векторное пространство является бочоночным пространством, поэтому примеры бочек, которые не являются окрестностями начала координат, можно найти только в бесконечномерных пространствах.

Примеры стволов и нестволов

Замыкание любого выпуклого, сбалансированного и поглощающего подмножества представляет собой бочку. Это связано с тем, что этим же свойством обладает замыкание любого выпуклого (соответственно любого сбалансированного, любого поглощающего) подмножества.

Семейство примеров : Предположим, что $X$ равно $\mathbb {C}$ (если рассматривать его как комплексное векторное пространство) или равное $\mathbb {R} ^{2}$ (если рассматривать его как реальное векторное пространство). Независимо от того, $X$ — это реальное или комплексное векторное пространство, где каждая бочка в $X$ обязательно является окрестностью начала координат (поэтому $X$ является примером бочкообразного пространства). Позволять $R:[0,2\pi )\to (0,\infty ]$ быть любой функцией и для любого угла $\theta \in [0,2\pi ),$ позволять $S_{\theta }$ обозначаем замкнутый отрезок от начала координат до точки $R(\theta )e^{i\theta }\in \mathbb {C} .$ Позволять ${\textstyle S:=\bigcup _{\theta \in [0,2\pi )}S_{\theta }.}$ Затем $S$ всегда является поглощающим подмножеством $\mathbb {R} ^{2}$ (реальное векторное пространство), но это поглощающее подмножество $\mathbb {C}$ (комплексное векторное пространство) тогда и только тогда, когда оно является окрестностью начала координат. Более того, $S$ представляет собой сбалансированное подмножество $\mathbb {R} ^{2}$ тогда и только тогда, когда $R(\theta )=R(\pi +\theta )$ для каждого $0\leq \theta <\pi$ (если это так, то $R$ и $S$ полностью определяются $R$значения на $[0,\pi )$) но $S$ представляет собой сбалансированное подмножество $\mathbb {C}$ тогда и только тогда, когда это открытый или закрытый шар с центром в начале координат (радиуса $0<r\leq \infty$). В частности, бочки в $\mathbb {C}$ это именно те замкнутые шары с центром в начале координат и радиусом в $(0,\infty ].$ Если $R(\theta ):=2\pi -\theta$ затем $S$ представляет собой закрытое подмножество, поглощающее $\mathbb {R} ^{2}$ но не впитывая в себя $\mathbb {C} ,$ и это не является ни выпуклым, ни сбалансированным, ни окрестностью начала координат в $X.$ Подходящим выбором функции $R,$ также возможно иметь $S$ быть сбалансированным и поглощающим подмножеством $\mathbb {R} ^{2}$ оно не является ни замкнутым, ни выпуклым. Иметь $S$ быть сбалансированным, поглощающим и закрытым подмножеством $\mathbb {R} ^{2}$ которая не является ни выпуклой, ни окрестностью начала координат, определим $R$ на $[0,\pi )$ следующим образом: для $0\leq \theta <\pi ,$ позволять $R(\theta ):=\pi -\theta$ (альтернативно это может быть любая положительная функция от $[0,\pi )$ непрерывно дифференцируемо, что гарантирует, что ${\textstyle \lim _{\theta \searrow 0}R(\theta )=R(0)>0}$ и это $S$ закрыто, и это также удовлетворяет ${\textstyle \lim _{\theta \nearrow \pi }R(\theta )=0,}$ что предотвращает $S$ быть окрестностью начала координат), а затем продлить $R$ к $[\pi ,2\pi )$ определяя $R(\theta ):=R(\theta -\pi ),$ что гарантирует, что $S$ сбалансирован в $\mathbb {R} ^{2}.$

Свойства бочек

• В любом топологическом векторном пространстве (ТВП) $X,$ каждая бочка в $X$ поглощает каждое компактное выпуклое подмножество $X.$
• В любой локально выпуклой ТВС Хаусдорфа $X,$ каждая бочка в $X$ поглощает каждое выпуклое ограниченное полное подмножество $X.$
• Если $X$ локально выпукло, то подмножество $H$ из $X^{\prime }$ является $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-ограничен тогда и только тогда, когда существует бочка $B$ в $X$ такой, что $H\subseteq B^{\circ }.$
• Позволять $(X,Y,b)$ быть парой и пусть $\nu$ быть локально выпуклой топологией на $X$ соответствует двойственности. Тогда подмножество $B$ из $X$ это бочка в $(X,\nu )$ тогда и только тогда, когда $B$ это полярник какого-то $\sigma (Y,X,b)$-ограниченное подмножество $Y.$
• Предполагать $M$ — векторное подпространство конечной коразмерности в локально выпуклом пространстве $X$ и $B\subseteq M.$ Если $B$ - это бочонок (соответственно родоядный бочонок, родоядный диск) в $M$ тогда существует бочонок (соответственно родоядный бочонок, родоядный диск) $C$ в $X$ такой, что $B=C\cap M.$

Характеристики бочкообразных пространств

Обозначим через $L(X;Y)$ пространство непрерывных линейных отображений из $X$ в $Y.$

Если $(X,\tau )$ представляет собой Хаусдорфа топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным двойственным пространством . $X^{\prime }$ то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ является бочкообразным.
2. Определение : Каждый баррель в $X$ является окрестностью начала координат.
   • Это определение аналогично характеристике ТВС Бэра, доказанной Саксоном [1974], который доказал, что ТВС Бэра $Y$ с топологией, отличной от недискретной , является пространством Бэра тогда и только тогда, когда каждое поглощающее сбалансированное подмножество является окрестностью некоторой точки $Y$ (не обязательно происхождение).
3. Для любого ТВС Хаусдорфа $Y$ каждое поточечно ограниченное подмножество $L(X;Y)$ является равнонепрерывным.
4. Для любого F-пространства $Y$ каждое поточечно ограниченное подмножество $L(X;Y)$ является равнонепрерывным.
   • F-пространство — это полная метризуемая TVS .
5. Каждый замкнутый линейный оператор из $X$ в полную метризуемую TVS непрерывна.
   • Линейная карта $F:X\to Y$ называется замкнутым, если его график является замкнутым подмножеством $X\times Y.$
6. Любая топология Хаусдорфа TVS. $\nu$ на $X$ который имеет базис окрестности начала, состоящий из $\tau$-замкнутое множество конечно, чем $\tau .$

Если $(X,\tau )$ является локально выпуклым пространством, то этот список можно расширить, добавив:

7. ТВС существует $Y$ не несущий недискретной топологии (в частности, $Y\neq \{0\}$) такой, что каждое поточечно ограниченное подмножество $L(X;Y)$ является равнонепрерывным.
8. Для любого локально выпуклого TVS $Y,$ каждое поточечно ограниченное подмножество $L(X;Y)$ является равнонепрерывным.
   • Из двух приведенных выше характеристик следует, что в классе локально выпуклых TVS бочечными пространствами являются именно те пространства, для которых справедлив принцип равномерной ограниченности.
9. Каждый $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-ограниченное подмножество непрерывного дуального пространства $X$ является равностепенно непрерывным (это обеспечивает частичное обращение к теореме Банаха-Штайнхауза ).
10. $X$ несет сильную двойную топологию $\beta \left(X,X^{\prime }\right).$
11. Любая нижняя полунепрерывная полунорма на $X$ является непрерывным.
12. Любая линейная карта $F:X\to Y$ в локально выпуклое пространство $Y$ является почти непрерывным .
    • Линейная карта $F:X\to Y$ называется почти непрерывно, если для каждой окрестности $V$ происхождения в $Y,$ закрытие $F^{-1}(V)$ является окрестностью начала координат в $X.$
13. Любое сюръективное линейное отображение $F:Y\to X$ из локально выпуклого пространства $Y$ почти открыт .
    • Это означает, что для каждой окрестности $V$ 0 в $Y,$ закрытие $F(V)$ является окрестностью 0 в $X.$
14. Если $\omega$ является локально выпуклой топологией на $X$ такой, что $(X,\omega )$ имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из $\tau$-закрытые множества, то $\omega$ слабее, чем $\tau .$

Если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то этот список можно расширить, добавив:

15. Теорема о замкнутом графике : каждый замкнутый линейный оператор $F:X\to Y$ в банахово пространство $Y$ является непрерывным .
    • Линейный оператор называется замкнутым , если его график представляет собой замкнутое подмножество $X\times Y.$
16. Для каждого подмножества $A$ непрерывного дуального пространства $X,$ следующие свойства эквивалентны: $A$ является
    1. равнонепрерывный;
    2. относительно слабо компактный;
    3. сильно ограничен;
    4. слабо ограничено.
17. Базы 0-соседства в $X$ и фундаментальные семейства ограниченных множеств в $X_{\beta }^{\prime }$ соответствуют друг другу по полярности .

Если $X$ является метризуемым топологическим векторным пространством , то этот список можно расширить, добавив:

18. Для любой полной метризуемой ТВС $Y$ каждая поточечно ограниченная последовательность в $L(X;Y)$ является равнонепрерывным.

Если $X$ является локально выпуклым метризуемым топологическим векторным пространством , то этот список можно расширить, добавив:

19. ( Свойство S ): Слабая* топология на $X^{\prime }$ является последовательно завершенным .
20. ( Свойство C ): Каждое слабо* ограниченное подмножество $X^{\prime }$ является $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$-относительно счетно компактен .
21. ( 𝜎-бочкообразное ): каждое счетное слабо* ограниченное подмножество $X^{\prime }$ является равнонепрерывным.
22. ( типа Бэра ): $X$ не является объединением возрастающей последовательности нигде не плотных дисков .

Примеры и достаточные условия

Каждое из следующих топологических векторных пространств является бочоночным:

1. ТВС, являющиеся пространством Бэра .
   • Следовательно, каждое топологическое векторное пространство, которое само по себе относится ко второй категории, является бочоночным.
2. F-пространства , пространства Фреше , банаховы пространства и гильбертовы пространства .
   • Однако существуют нормированные векторные пространства , которые не являются бочоночными. Например, если $L^{p}$-космос $L^{2}([0,1])$ топологизируется как подпространство $L^{1}([0,1]),$ тогда он не ствольный.
3. Полные псевдометризуемые ТВС.
   • Следовательно, каждая конечномерная ТВС является бочкообразной.
4. Пространства Монтеля .
5. Сильно двойственные пространства к пространствам Монтеля (поскольку они обязательно являются пространствами Монтеля).
6. Локально выпуклое квазибочечное пространство , которое также является σ-бочечным пространством .
7. Секвенциально полное квазибочкообразное пространство .
8. Квазиполное пространство хаусдорфово локально выпуклое инфрабочечное .
   • TVS называется квазиполным, если каждое замкнутое и ограниченное подмножество полно.
9. TVS с плотным бочкообразным векторным подпространством.
   • Таким образом, завершение бочкового пространства является бочоночным.
10. Хаусдорфова локально выпуклая ТВС с плотным инфрабочечным векторным подпространством.
    • Таким образом, пополнение инфрабочечного локально выпуклого пространства Хаусдорфа является бочоночным.
11. Векторное подпространство бочоночного пространства, имеющее счетную коразмерность.
    • В частности, конечное коразмерное векторное подпространство бочечного пространства является бочоночным.
12. Локально-выпуклая ультрабочкообразная ТВС.
13. Хаусдорфова локально выпуклая TVS $X$ такой, что каждое слабо ограниченное подмножество его непрерывного сопряженного пространства равностепенно непрерывно.
14. Локально выпуклая TVS $X$ такая, что для любого банахова пространства $B,$ замкнутая линейная карта $X$ в $B$ обязательно является непрерывным.
15. Продукт семейства бочкообразных пространств.
16. Локально выпуклая прямая сумма и индуктивный предел семейства бочечных пространств.
17. Частное бочкообразного пространства.
18. Хаусдорф секвенциально полный квазибочонок с ограниченным суммированием TVS.
19. Локально выпуклое рефлексивное пространство Хаусдорфа имеет бочкообразную форму.

Контрпримеры

• Бочковое пространство не обязательно должно быть монтелевским , полным , метризуемым , неупорядоченным, подобным Бэру, или индуктивным пределом банаховых пространств.
• Не все нормированные пространства являются бочкообразными. Однако все они инфраствольные.
• Замкнутое подпространство бочечного пространства не обязательно является счетно-квазибочечным (и, следовательно, не обязательно бочоночным).
• Существует плотное векторное подпространство Фреше . бочкообразного пространства $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ это не бочкообразный.
• Существуют полные локально выпуклые ТВС, не имеющие бочкообразной формы.
• Наилучшей локально выпуклой топологией в бесконечномерном векторном пространстве является бочкообразное пространство Хаусдорфа, которое является скудным подмножеством самого себя (и, следовательно, не является пространством Бэра ).

Свойства бочкообразных пространств

–

Важность бочкообразных пространств обусловлена ​​главным образом следующими результатами.

Теорема - Позволять $X$ быть ствольным ТВС и $Y$ быть локально выпуклым TVS. Позволять $H$ быть подмножеством пространства $L(X;Y)$ непрерывных линейных карт из $X$ в $Y$. Следующие действия эквивалентны:

1. $H$ ограничен для топологии поточечной сходимости;
2. $H$ ограничен в топологии ограниченной сходимости;
3. $H$ является равнонепрерывным .

Теорема Банаха-Штайнхауза является следствием приведенного выше результата. Когда векторное пространство $Y$ состоит из комплексных чисел, то справедливо также следующее обобщение.

Теорема - Если $X$ представляет собой бочкообразный TVS для комплексных чисел и $H$ является подмножеством непрерывного дуального пространства $X$, то следующие условия эквивалентны:

1. $H$ слабо ограничен;
2. $H$ сильно ограничен;
3. $H$ является равнонепрерывным;
4. $H$ относительно компактен в слабой дуальной топологии.

Напомним, что линейное отображение $F:X\to Y$ называется замкнутым, если его график является замкнутым подмножеством $X\times Y.$

Теорема о замкнутом графе — Каждый замкнутый линейный оператор из хаусдорфовой бочкообразной ТВС в полную метризуемую ТВС непрерывен.

Другая недвижимость

• Каждое хаусдорфово бочкообразное пространство является квазибочоночным .
• Линейное отображение бочоночного пространства в локально выпуклое пространство почти непрерывно .
• Линейное отображение локально выпуклого пространства в бочкообразное почти открыто .
• Отдельно непрерывное билинейное отображение произведения бочоночных пространств в локально выпуклое пространство гипонепрерывно .
• Линейная карта с замкнутым графом из бочкообразного ТВС в $B_{r}$-полная ТВС обязательно непрерывна.

См. также

• Ствольный набор
• Счетное пространство
• Выдающееся пространство – ТВС, сильный двойник которого заперт
• Квазибочковое пространство
• Ультраствольное пространство
• Принцип равномерной ограниченности # Обобщения - теорема, утверждающая, что из поточечной ограниченности следует равномерная ограниченность.
• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности
• Перепончатое пространство - пространство, в котором выполняются теоремы об открытом отображении и закрытом графе.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1950). «О некоторых топологических векторных пространствах» . Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 :5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР   0042609 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Осборн, Мейсон Скотт (2013). Локально выпуклые пространства . Тексты для аспирантов по математике. Том. 269. Чам Гейдельберг, Нью-Йорк, Дордрехт, Лондон: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-319-02045-7 . OCLC   865578438 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . стр. 65–75.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

• Фойгт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Чам: Биркхойзер Базель . ISBN  978-3-030-32945-7 . OCLC   1145563701 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .