Борнология

В математике , особенно в функциональном анализе , борнология на множестве X представляет собой совокупность подмножеств X, удовлетворяющих аксиомам, обобщающим понятие ограниченности . Одной из ключевых мотиваций борнологии и борнологического анализа является тот факт, что борнологические пространства предоставляют удобную среду для гомологической алгебры в функциональном анализе. Это потому, что ^{стр. 9} Категория аддитивна борнологических пространств , полна , кополна и имеет тензорное произведение, сопряженное с внутренним hom , все необходимые компоненты для гомологической алгебры.

История

Борнология берет свое начало от функционального анализа . Есть два естественных способа изучения проблем функционального анализа: один путь — изучение понятий, связанных с топологиями ( векторные топологии , непрерывные операторы , открытые / компактные подмножества и т. д.), а другой — изучение понятий, связанных с ограниченностью. ( векторные борнологии , ограниченные операторы , ограниченные подмножества и т. д.).

Для нормированных пространств , из которых возник функциональный анализ, топологические и борнологические понятия различны, но дополняют друг друга и тесно связаны. Например, единичный шар с центром в начале координат является одновременно окрестностью начала координат и ограниченным подмножеством. При этом подмножеством нормированного пространства называется окрестность начала координат (соответственно является ограниченным множеством ) ровно тогда, когда оно содержит (соответственно содержится в ) ненулевое скалярное кратное этого шара; так что это один из примеров, когда топологические и борнологические понятия различны, но дополняют друг друга (в том смысле, что их определения различаются только тем, какое из них $\,\subseteq \,$ и $\,\supseteq \,$ используется).В других случаях различие между топологическими и борнологическими понятиями может быть даже ненужным. Например, для линейных карт между нормированными пространствами непрерывность ( топологическое понятие) эквивалентна ограниченности (борнологическое понятие). Хотя различие между топологией и борнологией часто размыто или ненужно для нормированного пространства, оно становится более важным при изучении обобщений нормированных пространств. Тем не менее, борнологию и топологию все же можно рассматривать как два необходимых, различных и взаимодополняющих аспекта одной и той же реальности.

Общая теория топологических векторных пространств возникла сначала из теории нормированных пространств, а затем из этой общей теории топологических векторных пространств возникла борнология, хотя с тех пор борнология стала признана фундаментальным понятием в функциональном анализе . Рожденная в работе Джорджа Макки (в честь которого названы пространства Макки ), важность ограниченных подмножеств впервые стала очевидной в теории двойственности , особенно из-за теоремы Макки-Аренса и топологии Макки . Примерно с 1950-х годов стало очевидно, что топологические векторные пространства недостаточны для изучения некоторых важных проблем. Например, операция умножения некоторых важных топологических алгебр не была непрерывной, хотя часто была ограниченной. Другие основные проблемы, для решения которых TVS оказались неадекватными, заключались в разработке более общей теории дифференциального исчисления, обобщении от (обычных) скалярных распределений до векторных или операторнозначных распределений и расширении голоморфного функционального исчисления Гельфанда распределений ( которая в первую очередь согласована с банаховыми алгебрами или локально выпуклыми алгебрами ) с более широким классом операторов, включая те, спектры которых некомпактны. Борнология оказалась полезным инструментом для исследования этих и других проблем. включая задачи алгебраической геометрии и общей топологии .

Определения

Борнология . на множестве — это покрытие множества, замкнутое относительно конечных объединений и принимающее подмножества Элементы борнологии называются ограниченными множествами .

Явно, а борнология или ограниченность на множестве $X$ это семья ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ подмножеств $X$ такой, что

1. ${\mathcal {B}}$ устойчив при включении или вниз закрыто : Если $B\in {\mathcal {B}}$ тогда каждое подмножество $B$ является элементом ${\mathcal {B}}.$
   • Говоря простым языком , это говорит о том, что подмножества ограниченных множеств ограничены.
2. ${\mathcal {B}}$ обложки $X:$ Каждая точка $X$ является элементом какого-то $B\in {\mathcal {B}},$ или эквивалентно, $X={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}B}.$
   • Полагая (1), это условие можно заменить следующим: Для каждого $x\in X,$ $\{x\}\in {\mathcal {B}}.$ Говоря простым языком, это говорит о том, что каждая точка ограничена.
3. ${\mathcal {B}}$ устойчив при конечных объединениях : объединение конечного числа элементов ${\mathcal {B}}$ является элементом ${\mathcal {B}},$ или, что то же самое, объединение любых двух множеств, принадлежащих ${\mathcal {B}}$ также принадлежит ${\mathcal {B}}.$
   • Говоря простым языком, это говорит о том, что объединение двух ограниченных множеств является ограниченным множеством.

в этом случае пара $(X,{\mathcal {B}})$ называется ограниченная структура или борнологический набор .

Таким образом, борнологию можно эквивалентно определить как закрытую вниз оболочку, закрытую относительно бинарных объединений .Непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и принимающее подмножества (свойства (1) и (3)) называется идеалом ( потому что оно является идеалом в булевой алгебре / поле множеств, состоящих из всех подмножеств ). Борнология на съемочной площадке $X$ таким образом, может быть эквивалентно определено как идеал, охватывающий $X.$

Элементы ${\mathcal {B}}$ называются ${\mathcal {B}}$-ограниченные множества или просто ограниченное множество s , если ${\mathcal {B}}$ понятно. Свойства (1) и (2) подразумевают, что каждое одноэлементное подмножество $X$ является элементом каждой борнологии на $X;$ свойство (3), в свою очередь, гарантирует, что то же самое верно для любого конечного подмножества $X.$ Другими словами, в любой борнологии точки и конечные подмножества всегда ограничены. В частности, пустое множество всегда ограничено.

Если $(X,{\mathcal {B}})$ представляет собой ограниченную структуру и $X\notin {\mathcal {B}},$ тогда набор дополнений $\{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\}$ это (собственный) фильтр , называемый фильтр на бесконечности ; это всегда свободный фильтр , что по определению означает, что он имеет пустое пересечение/ ядро , поскольку $\{x\}\in {\mathcal {B}}$ для каждого $x\in X.$

Базы и подбазы

Если ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ являются ли борлогии на $X$ затем ${\mathcal {B}}$ Говорят, что это тоньше или сильнее, чем ${\mathcal {A}}$ а также ${\mathcal {A}}$ Говорят, что это грубее или слабее , чем ${\mathcal {B}}$ если ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}.$

Семейство наборов ${\mathcal {A}}$ называется база или фундаментальная система борнологии ${\mathcal {B}}$ если ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$ и для каждого $B\in {\mathcal {B}},$ существует $A\in {\mathcal {A}}$ такой, что $B\subseteq A.$

Семейство наборов ${\mathcal {S}}$ называется подоснова борнологии ${\mathcal {B}}$ если ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}$ и совокупность всех конечных объединений множеств в ${\mathcal {S}}$ образует основу для ${\mathcal {B}}.$

Каждая основа борнологии является также ее подбазой.

борнология

Пересечение любой совокупности (одной или нескольких) борнологий на $X$ снова является борнологией на $X.$ Такое пересечение борнологии охватит $X$ потому что каждая борнология на $X$ содержит каждое конечное подмножество $X$ (то есть, если ${\mathcal {B}}$ это борнология на $X$ и $F\subseteq X$ конечно тогда $F\in {\mathcal {B}}$). Легко проверить, что такое пересечение также будет замкнуто относительно включения (подмножества) и конечных объединений и, следовательно, будет борнологией на $X.$

Учитывая коллекцию ${\mathcal {S}}$ подмножеств $X,$ самая маленькая борнология на $X$ содержащий ${\mathcal {S}}$ называется борнология, порожденная ${\mathcal {S}}$. Оно равно пересечению всех борнологий на $X$ которые содержат ${\mathcal {S}}$ как подмножество. Это пересечение четко определено, поскольку набор степеней $\wp (X)$ из $X$ всегда является борнологией на $X,$ так что каждая семья ${\mathcal {S}}$ подмножеств $X$ всегда содержится хотя бы в одной борнологии на $X.$

Ограниченные карты

Предположим, что $(X,{\mathcal {A}})$ и $(Y,{\mathcal {B}})$ являются ограниченными структурами. Карта $f:X\to Y$ называется локально ограниченная карта или просто ограниченная карта , если изображение под $f$ каждого ${\mathcal {A}}$-ограниченное множество – это ${\mathcal {B}}$-ограниченное множество; то есть, если для каждого $A\in {\mathcal {A}},$ $f(A)\in {\mathcal {B}}.$

Поскольку композиция двух локально ограниченных отображений снова локально ограничена, ясно, что класс всех ограниченных структур образует категорию , которой морфизмы являются ограниченными отображениями. Изоморфизм в этой категории называется борноморфизм и это биективное локально ограниченное отображение, обратное которому также локально ограничено.

Примеры ограниченных карт

Если $f:X\to Y$ является непрерывным линейным оператором между двумя топологическими векторными пространствами (не обязательно Хаусдорфом), то он является ограниченным линейным оператором, когда $X$ и $Y$ имеют свои борнологии фон Неймана , где множество ограничено именно тогда, когда оно поглощается всеми окрестностями происхождения (это подмножества TVS, которые обычно называются ограниченными, когда никакая другая борнология явно не упоминается). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

карта непрерывная Последовательно - $f:X\to Y$ между двумя TVS обязательно локально ограничено.

Общие конструкции

Дискретная борнология

Для любого набора $X,$ набор мощности $\wp (X)$ из $X$ это борнология на $X$ назвал дискретная борнология . Поскольку каждая борнология на $X$ является подмножеством $\wp (X),$ Дискретная борнология – это лучшая борнология на свете. $X.$ Если $(X,{\mathcal {B}})$ тогда это ограниченная структура (поскольку борнологии замкнуты вниз ) ${\mathcal {B}}$ является дискретной борнологией тогда и только тогда, когда $X\in {\mathcal {B}}.$

Недискретная борнология

Для любого набора $X,$ множество всех конечных подмножеств $X$ это борнология на $X$ назвал недискретная борнология . Это самая грубая борнология на $X,$ это означает, что это подмножество каждой борнологии на $X.$

Множества ограниченной мощности

Множество всех счетных подмножеств $X$ это борнология на $X.$ В более общем смысле для любого бесконечного кардинала $\kappa ,$ совокупность всех подмножеств $X$ имеющий не более мощности $\kappa$ это борнология на $X.$

Борнология обратного образа

Если $f:S\to X$ это карта и ${\mathcal {B}}$ это борнология на $X,$ затем $\left[f^{-1}({\mathcal {B}})\right]$ обозначает борнологию, порожденную $f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}\right\},$ которая называется борлогией обратного образа или начальной борлогией, вызванной $f$ на $S.$

Позволять $S$ быть набором, $\left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}$ быть $I$-индексированное семейство ограниченных структур, и пусть $\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ быть $I$-индексированное семейство карт, где $f_{i}:S\to T_{i}$ для каждого $i\in I.$обратное изображение борнологии ${\mathcal {A}}$ на $S$ определяемая этими картами, является сильнейшей борнологией на $S$ делая каждый $f_{i}:(S,{\mathcal {A}})\to \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)$ локально ограничен. Эта борнология равна ${\textstyle \bigcap \limits _{i\in I}\left[f^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)\right]}.$

прямого

Позволять $S$ быть набором, $\left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}$ быть $I$-индексированное семейство ограниченных структур, и пусть $\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ быть $I$-индексированное семейство карт, где $f_{i}:T_{i}\to S$ для каждого $i\in I.$прямой образ борнологии ${\mathcal {A}}$ на $S$ определяемая этими картами, является самой слабой борнологией на $S$ делая каждый $f_{i}:\left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)\to (S,{\mathcal {A}})$ локально ограничен. Если для каждого $i\in I,$ ${\mathcal {A}}_{i}$ обозначает борнологию, порожденную $f\left({\mathcal {B}}_{i}\right),$ тогда эта борнология равна совокупности всех подмножеств $A$ из $S$ формы $\cup _{i\in I}A_{i}$ где каждый $A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ и все, кроме конечного числа $A_{i}$ пусты.

Подпространственная борнология

Предположим, что $(X,{\mathcal {B}})$ представляет собой ограниченную структуру и $S$ быть подмножеством $X.$подпространственная борнология ${\mathcal {A}}$ на $S$ это лучшая борнология на $S$ составление карты включения $(S,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {B}})$ из $S$ в $X$ (определено $s\mapsto s$) локально ограничен.

Борнология продукта

Позволять $\left(X_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}$ быть $I$-индексированное семейство ограниченных структур, пусть $X={\textstyle \prod \limits _{i\in I}X_{i}},$ и для каждого $i\in I,$ позволять $f_{i}:X\to X_{i}$ обозначим каноническую проекцию. Борнология продукта на $X$ - это борнология обратного образа, определяемая каноническими проекциями $f_{i}:X\to X_{i}.$ То есть это сильнейшая борнология на $X$ делая каждую из канонических проекций локально ограниченной. Базой для продуктовой борнологии является ${\textstyle \left\{\prod \limits _{i\in I}B_{i}~:~B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}{\text{ for all }}i\in I\right\}}.$

Топологические конструкции

борнология

Подмножество топологического пространства $X$ называется относительно компактным, если его замыкание является компактным подпространством $X.$ Для любого топологического пространства $X$ в котором одноэлементные подмножества относительно компактны (например, пространство T1 ), множество всех относительно компактных подмножеств $X$ сформировать борнологию на $X$ назвал компактная борнология на $X.$ Всякое непрерывное отображение между пространствами T1 ограничено относительно их компактных борнологий.

Множество относительно компактных подмножеств $\mathbb {R}$ сформировать борнологию на $\mathbb {R} .$ Базой этой борнологии являются все замкнутые интервалы вида $[-n,n]$ для $n=1,2,3,\ldots .$

Метрическая

Учитывая метрическое пространство $(X,d),$ метрическая борнология состоит из всех подмножеств $S\subseteq X$ такой, что верхняя грань $\sup _{s,t\in S}d(s,t)<\infty$ конечно.

Аналогично, учитывая пространство с мерой $(X,\Omega ,\mu ),$ семейство всех измеримых подмножеств $S\in \Omega$ конечной меры (имеется в виду $\mu (S)<\infty$) образуют борнологию на $X.$

и

Предположим, что $X$ является топологическим пространством и ${\mathcal {B}}$ это борнология на $X.$

Борнология, порожденная множеством всех топологических внутренностей множеств в ${\mathcal {B}}$ (то есть созданный $\{\operatorname {int} B:B\in {\mathcal {B}}\}$ называется интерьер ​ ${\mathcal {B}}$ и обозначается $\operatorname {int} {\mathcal {B}}.$ Борнология ${\mathcal {B}}$ называется открыть, если ${\mathcal {B}}=\operatorname {int} {\mathcal {B}}.$

Борнология, порожденная множеством всех топологических замыканий множеств в ${\mathcal {B}}$ (то есть созданный $\{\operatorname {cl} B:B\in {\mathcal {B}}\}$) называется закрытие ​ ${\mathcal {B}}$ и обозначается $\operatorname {cl} {\mathcal {B}}.$ У нас обязательно есть $\operatorname {int} {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {cl} {\mathcal {B}}.$

Борнология ${\mathcal {B}}$ называется закрыт, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. ${\mathcal {B}}=\operatorname {cl} {\mathcal {B}};$
2. закрытые подмножества $X$ генерировать ${\mathcal {B}}$;
3. закрытие каждого $B\in {\mathcal {B}}$ принадлежит ${\mathcal {B}}.$

Борнология ${\mathcal {B}}$ называется правильно, если ${\mathcal {B}}$ бывает как открытым, так и закрытым.

Топологическое пространство $X$ называется локально ${\mathcal {B}}$-ограниченный или просто локально ограниченный, если каждый $x\in X$ имеет район, который принадлежит ${\mathcal {B}}.$Каждое компактное подмножество локально ограниченного топологического пространства ограничено.

Борнология

См. Также: Векторная борнология

Если $X$ является топологическим векторным пространством (TVS), то множество всех ограниченных подмножеств $X$ сформировать борнологию (даже векторную борнологию ) на $X$ назвал фон Неймана $X$, обычная борнология , или просто Борнология ​ $X$ и называется естественная ограниченность . В любом локально выпуклом TVS $X,$ множество всех замкнутых ограниченных дисков образует основу обычной борнологии $X.$

Линейное отображение между двумя борнологическими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено (относительно обычных борнологий).

Топологические кольца

Предположим, что $X$ является коммутативным топологическим кольцом . Подмножество $S$ из $X$ называется ограниченное множество , если для каждой окрестности $U$ происхождения в $X,$ существует район $V$ происхождения в $X$ такой, что $SV\subseteq U.$

См. также

• Набор Bornivorous - набор, который может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Борнологическое пространство - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Грубая структура # ограниченный набор - семейство наборов по геометрии и топологии для измерения крупномасштабных свойств пространства. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Пространство линейных карт
• Ультраборнологическое пространство
• Векторная борнология

Ссылки

• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0 . МР   0500064 . OCLC   316549583 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1971). «Исторические корни современной борнологии» (PDF) . Семинар Шоке: Введение в анализ (на французском языке). 10 (1): 1–7. МР   0477660 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 29–33, 49, 104. ISBN.  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кригль, Андреас ; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-0780-4 . OCLC   37141279 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .