Векторная борнология

В математике , особенно в функциональном анализе , борнология ${\mathcal {B}}$ в векторном пространстве $X$ над полем $\mathbb {K} ,$ где $\mathbb {K}$ имеет борнологию ℬ _{$\mathbb {F}$}, называется векторной борнологией, если ${\mathcal {B}}$ превращает операции с векторным пространством в ограниченные карты.

Определения

Предварительные условия

Борнология площадке на съемочной $X$ это коллекция ${\mathcal {B}}$ подмножеств $X$ которые удовлетворяют всем следующим условиям:

${\mathcal {B}}$ обложки $X;$ то есть, $X=\cup {\mathcal {B}}$
${\mathcal {B}}$ устойчив относительно включений; то есть, если $B\in {\mathcal {B}}$ и $A\subseteq B,$ затем $A\in {\mathcal {B}}$
${\mathcal {B}}$ устойчив при конечных объединениях; то есть, если $B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}$ затем $B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}$

Элементы коллекции ${\mathcal {B}}$ называются ${\mathcal {B}}$ -ограниченные или просто ограниченные множества , если ${\mathcal {B}}$ понятно. Пара $(X,{\mathcal {B}})$ называется ограниченной структурой или борнологическим множеством .

Базовая фундаментальная или система борнологии ${\mathcal {B}}$ является подмножеством ${\mathcal {B}}_{0}$ из ${\mathcal {B}}$ так, что каждый элемент ${\mathcal {B}}$ является подмножеством некоторого элемента ${\mathcal {B}}_{0}.$ Учитывая коллекцию ${\mathcal {S}}$ подмножеств $X,$ наименьшая борнология, содержащая ${\mathcal {S}}$ называется борнологией, порожденной ${\mathcal {S}}.$ ^[1]

Если $(X,{\mathcal {B}})$ и $(Y,{\mathcal {C}})$ являются борнологическими множествами, то их произведение борнологии на $X\times Y$ Борнология имеет в своей основе совокупность всех множеств вида $B\times C,$ где $B\in {\mathcal {B}}$ и $C\in {\mathcal {C}}.$ ^[1] Подмножество $X\times Y$ ограничен в борнологии произведения тогда и только тогда, когда его образ при канонических проекциях на $X$ и $Y$ оба ограничены.

Если $(X,{\mathcal {B}})$ и $(Y,{\mathcal {C}})$ являются борнологическими множествами, то функция $f:X\to Y$ называется локально ограниченным отображением или ограниченным отображением (относительно этих борнологий), если оно отображает ${\mathcal {B}}$ -ограниченные подмножества $X$ к ${\mathcal {C}}$ -ограниченные подмножества $Y;$ то есть, если $f\left({\mathcal {B}}\right)\subseteq {\mathcal {C}}.$ ^[1] Если вдобавок $f$ является биекцией и $f^{-1}$ также ограничено, тогда $f$ называется борнологическим изоморфизмом .

Векторная борнология

Позволять $X$ быть векторным пространством над полем $\mathbb {K}$ где $\mathbb {K}$ имеет рождение ${\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.$ Борнология ${\mathcal {B}}$ на $X$ называется векторной борнологией на $X$ если оно устойчиво относительно сложения векторов, скалярного умножения и образования сбалансированных оболочек (т. е. если сумма двух ограниченных множеств ограничена и т. д.).

Если $X$ является векторным пространством и ${\mathcal {B}}$ это борнология на $X,$ то следующие условия эквивалентны:

${\mathcal {B}}$ это векторная борнология
Конечные суммы и сбалансированные оболочки ${\mathcal {B}}$ -ограниченные множества ${\mathcal {B}}$ -ограниченный ^[1]
Карта скалярного умножения $\mathbb {K} \times X\to X$ определяется $(s,x)\mapsto sx$ и дополнительная карта $X\times X\to X$ определяется $(x,y)\mapsto x+y,$ оба ограничены, когда их домены несут свои рожденные продукты (т. е. они отображают ограниченные подмножества в ограниченные подмножества) ^[1]

Векторная борнология ${\mathcal {B}}$ называется выпуклой векторной борнологией, если она устойчива относительно образования выпуклых оболочек (т.е. выпуклая оболочка ограниченного множества ограничена), тогда ${\mathcal {B}}.$ И векторная борнология ${\mathcal {B}}$ называется разделенным, если единственное ограниченное векторное подпространство $X$ — 0-мерное тривиальное пространство $\{0\}.$

Обычно, $\mathbb {K}$ является либо действительным, либо комплексным числом, и в этом случае векторная борнология ${\mathcal {B}}$ на $X$ будем называть выпуклой векторной борнологией, если ${\mathcal {B}}$ имеет базу, состоящую из выпуклых множеств.

Характеристики

Предположим, что $X$ — векторное пространство над полем $\mathbb {F}$ действительных или комплексных чисел и ${\mathcal {B}}$ это борнология на $X.$ Тогда следующие условия эквивалентны:

${\mathcal {B}}$ это векторная борнология
сложение и скалярное умножение являются ограниченными отображениями ^[1]
сбалансированный корпус каждого элемента ${\mathcal {B}}$ является элементом ${\mathcal {B}}$ и сумма любых двух элементов ${\mathcal {B}}$ снова является элементом ${\mathcal {B}}$ ^[1]

Борнология в топологическом векторном пространстве

Если $X$ является топологическим векторным пространством, то множество всех ограниченных подмножеств $X$ из векторной борнологии на $X$ назвали « фон Неймана » борнологией $X$ , обычная борнология , или борнология просто $X$ и называется естественной ограниченностью . ^[1]В любом локально выпуклом топологическом векторном пространстве $X,$ множество всех замкнутых ограниченных дисков образует основу обычной борнологии $X.$ ^[1]

Если не указано иное, всегда предполагается, что действительные или комплексные числа наделены обычной борнологией.

Топология, индуцированная векторной борнологией

Предположим, что $X$ — векторное пространство над полем $\mathbb {K}$ действительных или комплексных чисел и ${\mathcal {B}}$ это векторная борнология на $X.$ Позволять ${\mathcal {N}}$ обозначим все эти подмножества $N$ из $X$ выпуклые, сбалансированные и рожденоядные .Затем ${\mathcal {N}}$ образует базис окрестности в начале координат локально выпуклой топологической топологии векторного пространства .

Примеры

Локально выпуклое пространство ограниченных функций

Позволять $\mathbb {K}$ - действительные или комплексные числа (наделенные своей обычной борнологией), пусть $(T,{\mathcal {B}})$ — ограниченная структура, и пусть $LB(T,\mathbb {K} )$ обозначают векторное пространство всех локально ограниченных $\mathbb {K}$ -значные карты на $T.$ Для каждого $B\in {\mathcal {B}},$ позволять $p_{B}(f):=\sup \left|f(B)\right|$ для всех $f\in LB(T,\mathbb {K} ),$ где это определяет полунорму на $X.$ Топология локально выпуклого топологического векторного пространства на $LB(T,\mathbb {K} )$ определяется семейством полунорм $\left\{p_{B}:B\in {\mathcal {B}}\right\}$ называется топологией равномерной сходимости на ограниченном множестве . ^[1]Эта топология делает $LB(T,\mathbb {K} )$ в полноценное пространство . ^[1]

Борнология равнонепрерывности

Позволять $T$ быть топологическим пространством, $\mathbb {K}$ быть действительными или комплексными числами, и пусть $C(T,\mathbb {K} )$ обозначаем векторное пространство всех непрерывных $\mathbb {K}$ -значные карты на $T.$ Множество всех равнонепрерывных подмножеств $C(T,\mathbb {K} )$ образует векторную борнологию на $C(T,\mathbb {K} ).$ ^[1]

См. также

Цитаты

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 156–175.

Библиография

Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0 . МР 0500064 . OCLC 316549583 .
Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество . ISBN 978-082180780-4 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011156–175-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 156–175.

[1]

v т и Ограниченность и борнология
Basic concepts	Barrelled space Bounded set Bornological space (Vector) Bornology
Operators	(Un)Bounded operator Uniform boundedness principle
Subsets	Barrelled set Bornivorous set Saturated family
Related spaces	(Countably) Barrelled space (Countably) Quasi-barrelled space Infrabarrelled space (Quasi-) Ultrabarrelled space Ultrabornological space

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category