Симметричный набор

В математике непустое подмножество S группы , G называется симметричным если оно содержит обратные значения всех своих элементов.

Определение

В обозначении множества подмножество $S$ группы $G$ называется симметричным, если всегда $s\in S$ тогда обратное $s$ также принадлежит $S.$ Итак, если $G$ записывается мультипликативно, тогда $S$ симметричен тогда и только тогда, когда $S=S^{-1}$ где $S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.$ Если $G$ записывается аддитивно, тогда $S$ симметричен тогда и только тогда, когда $S=-S$ где $-S:=\{-s:s\in S\}.$

Если $S$ является подмножеством векторного пространства, тогда $S$ называется симметричным множеством , если оно симметрично относительно аддитивной групповой структуры векторного пространства; то есть, если $S=-S,$ что происходит тогда и только тогда, когда $-S\subseteq S.$ Симметричная оболочка подмножества $S$ — наименьшее симметричное множество, содержащее $S,$ и оно равно $S\cup -S.$ Самый большой симметричный набор, содержащийся в $S$ является $S\cap -S.$

Достаточные условия

Произвольные объединения и пересечения симметричных множеств симметричны.

Любое векторное подпространство в векторном пространстве является симметричным множеством.

Примеры

В $\mathbb {R} ,$ примерами симметричных множеств являются интервалы типа $(-k,k)$ с $k>0,$ и наборы $\mathbb {Z}$ и $(-1,1).$

Если $S$ — любое подмножество группы, то $S\cup S^{-1}$ и $S\cap S^{-1}$ являются симметричными множествами.

Любое сбалансированное подмножество вещественного или комплексного векторного пространства симметрично.

См. также

• Абсолютно выпуклый набор – выпуклый и сбалансированный набор. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Поглощающий набор - набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Сбалансированная функция — построение в функциональном анализе. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Сбалансированный набор - Конструкт в функциональном анализе
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество - в геометрии множество, пересечение которого с каждой линией представляет собой один отрезок линии.
• Функционал Минковского - функция, составленная из множества.
• Звездная область - свойство множеств точек в евклидовых пространствах.

Ссылки

• Р. Кристеску, Топологические векторные пространства, Noordhoff International Publishing, 1977.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

В эту статью включены материалы из симметричного набора PlanetMath , который доступен по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .