Векторы-строки и столбцы

В линейной алгебре столбец вектор- с $m$ элементы – это $m\times 1$ матрица ^[1] состоящий из одного столбца $m$ записи, например,

{\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.

Аналогично, вектор-строка — это $1\times n$ матрица для некоторых $n$ , состоящий из одного ряда $n$ записи,

{\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.

(В этой статье жирный шрифт используется как для векторов-строек, так и для векторов-столбцов.)

Транспонирование ) любого вектора-строки является вектором - (обозначенное $T$ столбцом, а транспонирование любого вектора-столбца является вектором-строкой:

{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}

и

{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.

Набор всех векторов-строк с $n$ элементами в данном поле (например, действительные числа ) образует $n$ -мерное векторное пространство ; аналогично набор всех векторов-столбцов с $m$ элементами образует $m$ -мерное векторное пространство.

Пространство векторов-строк с $n$ элементами можно рассматривать как двойственное пространство к пространству векторов-столбцов с $n$ элементами, поскольку любой линейный функционал в пространстве векторов-столбцов может быть представлен как левое умножение уникального вектора-строки.

Обозначения [ править ]

Чтобы упростить запись векторов-столбцов в строке с другим текстом, иногда они записываются как векторы-строки с примененной к ним операцией транспонирования.

{\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}

или

{\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}

Некоторые авторы также используют соглашение о записи векторов-столбцов и векторов-строок в виде строк, но разделяя элементы вектор-столбца запятыми , а элементы вектор-столбца точками с запятой (см. альтернативное обозначение 2 в таблице ниже). ^{[ нужна цитата ]}

	Вектор-строка	Вектор-столбец
Стандартное матричное обозначение (пробелы в массиве, без запятых, транспонированные знаки)	${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Альтернативное обозначение 1 (запятые, переставить знаки)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Альтернативное обозначение 2 (запятые и точки с запятой, без знаков транспонирования)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}$

Операции [ править ]

Умножение матриц включает в себя умножение каждого вектора-строки одной матрицы на каждый вектор-столбец другой матрицы.

Скалярное произведение двух векторов-столбцов $a, b$ , рассматриваемых как элементы координатного пространства, равно матричному произведению транспонирования $a$ с $b$ ,

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,

Благодаря симметрии скалярного произведения скалярное произведение двух векторов-столбцов $a, b$ также равно матричному произведению транспонирования $b$ с $a$ ,

\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.

Матричное произведение столбца и вектора-строки дает внешнее произведение двух векторов $a, b$ , пример более общего тензорного произведения . Матричный продукт представления вектора-столбца $a$ и представления вектора-строки $b$ дает компоненты их двоичного произведения:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,

которое является транспонированием матричного произведения представления вектора-столбца $b$ и представления вектора-строки $a$ ,

\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.

Матричные преобразования [ править ]

Матрица $n \times n$ размера $M$ может представлять линейную карту линейной карты и действовать на векторы-строки и столбцы в качестве матрицы преобразования . Для вектора-строки $v$ произведение $v M$ является другим вектором-строкой $p$ :

\mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.

Другая $размера n \times n$ матрица $Q$ может действовать на $p$ ,

\mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.

Тогда можно написать $t = p Q = v MQ$ , так что матричного произведения преобразование $MQ$ отображает $v$ непосредственно в $t$ . матричные преобразования, дополнительно реконфигурирующие $n$ Продолжая работать с векторами-строками, справа от предыдущих выходных данных можно применить -пространство.

Когда вектор-столбец преобразуется в другой вектор-столбец под $действием матрицы размера n \times n$ , операция происходит слева:

\mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },

что приводит к алгебраическому выражению $QM v Т$ для составленного вывода из $v Т$ вход. Матричные преобразования монтируются вверх слева при использовании вектора-столбца для ввода в матричное преобразование.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Артин, Майкл (1991). Алгебра . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 2. ISBN 0-13-004763-5 .

Ссылки [ править ]

Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer Publishing, ISBN 0-387-98259-0
Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-99845-3
Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл

[Artin-1] Артин, Майкл (1991). Алгебра . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 2. ISBN 0-13-004763-5 .

[1]

v т Это Линейная алгебра
Контур Глоссарий
Базовые концепты	Скаляр Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Основа Изменение базы Векторы-строки и столбцы Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Исключение по Гауссу
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Произведение Адамара Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Продукт Кронекера Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Определитель Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное векторное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Многовекторный Тензор Аутерморфизм
Векторные космические конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая запятая Численная стабильность Основные подпрограммы линейной алгебры Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория