Линейная алгебра

В трехмерном евклидовом пространстве эти три плоскости представляют собой решения линейных уравнений, а их пересечение представляет собой множество общих решений: в данном случае — единственную точку. Синяя линия — общее решение двух из этих уравнений.

Линейная алгебра — это раздел математики, изучающий линейные уравнения, такие как:

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,$

линейные карты, такие как:

$(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$

и их представления в векторных пространствах и через матрицы .

Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра имеет фундаментальное значение в современных представлениях геометрии , в том числе для определения основных объектов, таких как линии , плоскости и вращения . Кроме того, функциональный анализ , раздел математического анализа , можно рассматривать как применение линейной алгебры к функциональным пространствам .

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку позволяет моделировать многие природные явления и эффективно выполнять вычисления с использованием таких моделей. Для нелинейных систем , которые невозможно смоделировать с помощью линейной алгебры, он часто используется для работы с аппроксимациями первого порядка , используя тот факт, что дифференциал функции многих переменных в точке является линейным отображением, которое лучше всего аппроксимирует функцию вблизи этой точки.

История

См. Также: Определитель § История и исключение Гаусса § История.

Процедура (с использованием счетных стержней) решения одновременных линейных уравнений, которая теперь называется методом исключения Гаусса, появляется в древнем китайском математическом тексте « Глава восьмая: Прямоугольные массивы девяти глав математического искусства» . Его использование проиллюстрировано на восемнадцати задачах с двумя-пятью уравнениями.

Системы линейных уравнений возникли в Европе с введением в 1637 Декартом координат геометрии в Рене . Фактически, в этой новой геометрии, которая теперь называется декартовой геометрией , линии и плоскости представлены линейными уравнениями, и вычисление их пересечений сводится к решению систем линейных уравнений.

Первые систематические методы решения линейных систем использовали определители и были впервые рассмотрены Лейбницем в 1693 году. В 1750 году Габриэль Крамер использовал их для получения явных решений линейных систем, которые теперь называются правилом Крамера . Позже Гаусс далее описал метод исключения, который изначально считался достижением в геодезии .

В 1844 году Герман Грассман опубликовал свою «Теорию расширения», которая включала фундаментальные новые темы того, что сегодня называется линейной алгеброй. В 1848 году Джеймс Джозеф Сильвестр ввел термин «матрица» , что в переводе с латыни означает « матка» .

Линейная алгебра выросла вместе с идеями, отмеченными в комплексной плоскости . Например, два числа w и z в $\mathbb {C}$ имеют разницу w – z , а отрезки wz и 0( w – z ) имеют одинаковую длину и направление. Сегменты равнополетны . Четырехмерная система $\mathbb {H}$ кватернионов . был открыт У. Р. Гамильтоном в 1843 году Термин вектор был введен как v = x i + y j + z k, обозначающий точку в пространстве. Разность кватернионов p – q также создает сегмент, эквивалентный pq . Другие гиперкомплексные системы счисления также использовали идею линейного пространства с базисом .

Артур Кэли ввел матричное умножение и обратную матрицу в 1856 году, что сделало возможным создание общей линейной группы . Стал доступен механизм группового представления для описания комплексных и гиперкомплексных чисел. Важно отметить, что Кэли использовал одну букву для обозначения матрицы, рассматривая таким образом матрицу как совокупный объект. Он также осознал связь между матрицами и определителями и написал: «Можно было бы многое сказать об этой теории матриц, которая, как мне кажется, должна предшествовать теории определителей».

Бенджамин Пирс опубликовал свою «Линейную ассоциативную алгебру» (1872 г.), а его сын Чарльз Сандерс Пирс позже расширил эту работу.

Телеграфу ввела требовалась объяснительная система, а публикация «Трактата об электричестве и магнетизме» 1873 года теорию полевых сил и потребовала для выражения дифференциальной геометрии . Линейная алгебра представляет собой плоскую дифференциальную геометрию и служит в касательных пространствах к многообразиям . Электромагнитные симметрии пространства-времени выражаются преобразованиями Лоренца , и большая часть истории линейной алгебры — это история преобразований Лоренца .

Первое современное и более точное определение векторного пространства было введено Пеано в 1888 году; к 1900 году возникла теория линейных преобразований конечномерных векторных пространств. Свой современный вид линейная алгебра приняла в первой половине ХХ века, когда многие идеи и методы предыдущих столетий были обобщены как абстрактная алгебра . Развитие компьютеров привело к увеличению количества исследований в области эффективных алгоритмов исключения Гаусса и разложения матриц, а линейная алгебра стала важным инструментом моделирования и моделирования.

Векторные пространства

Основная статья: Векторное пространство

До XIX века линейная алгебра вводилась через системы линейных уравнений и матриц . В современной математике представление через векторные пространства обычно предпочтительнее, поскольку оно более синтетическое , более общее (не ограничиваясь конечномерным случаем) и концептуально более простое, хотя и более абстрактное.

Векторное пространство над полем F (часто полем действительных чисел ) — это множество V, оснащенное двумя двоичными операциями, удовлетворяющими следующим аксиомам . Элементы V , а называются векторами элементы F называются скалярами . Первая операция, сложение векторов , берет любые два вектора v и w и выводит третий вектор v + w . Вторая операция, скалярное умножение , берет любой скаляр a и любой вектор v и выводит новый вектор a v . Аксиомы, которым должны удовлетворять сложение и скалярное умножение, следующие. (В списке ниже u , v и w — произвольные элементы V , а a и b — произвольные скаляры в поле F. )

Аксиома	Значение
Ассоциативность сложения	ты + ( v + ш ) знак равно ( ты + v ) + ш
Коммутативность сложения	u + v = v + u
Элемент идентичности дополнения	Существует элемент 0 в V , называемый нулевым вектором просто нулем ), такой, что v + 0 = v для всех v в V. ( или
Обратные элементы сложения	Для каждого v в V существует элемент − v в V , называемый аддитивным обратным элементу , v такой, что v + (− v ) = 0
Распределение скалярного умножения относительно сложения векторов	а ( ты + v ) знак равно а ты + а v
Распределение скалярного умножения по сложению полей	( а + б ) v знак равно а v + б v
Совместимость скалярного умножения с умножением полей	а ( б v ) знак равно ( ab ) v
Идентификатор скалярного умножения	1 v = v где 1 обозначает единицу F. , мультипликативную

Первые четыре аксиомы означают, что V является абелевой группой при добавлении.

Элемент конкретного векторного пространства может иметь различную природу; например, это может быть последовательность , функция , полином или матрица . Линейная алгебра занимается теми свойствами таких объектов, которые являются общими для всех векторных пространств.

Линейные карты

Основная статья: Линейная карта

Линейные карты — это отображения между векторными пространствами, которые сохраняют структуру векторного пространства. Учитывая два векторных пространства V и W над полем F , линейное отображение (также называемое в некоторых контекстах линейным преобразованием или линейным отображением) является отображением

$T:V\to W$

который совместим со сложением и скалярным умножением, то есть

$T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )$

для любых векторов , v в V и скаляра a в F. u

Это означает, что для любых векторов u , v в V и скаляров a , b в F имеет место

$T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )$

Когда V = W — одно и то же векторное пространство, линейное отображение T : V → V также известно как линейный оператор на V .

Биективное является линейное отображение между двумя векторными пространствами (то есть каждый вектор из второго пространства связан ровно с одним из первого) изоморфизмом . Поскольку изоморфизм сохраняет линейную структуру, два изоморфных векторных пространства «по сути одинаковы» с точки зрения линейной алгебры в том смысле, что их нельзя отличить с помощью свойств векторного пространства. Важным вопросом в линейной алгебре является проверка того, является ли линейное отображение изоморфизмом или нет, и, если это не изоморфизм, нахождение его диапазона (или образа) и набора элементов, которые отображаются в нулевой вектор, называемый ядром. карты. Все эти вопросы можно решить, используя метод исключения Гаусса или какой-либо вариант этого алгоритма .

Подпространства, диапазон и базис

Основные статьи: Линейное подпространство , Линейный интервал и Базис (линейная алгебра)

Исследование тех подмножеств векторных пространств, которые сами по себе являются векторными пространствами относительно индуцированных операций, является фундаментальным, как и для многих математических структур. Эти подмножества называются линейными подпространствами . Точнее, линейное подпространство векторного пространства V над полем F — это подмножество W поля V такое, что + v и a u находятся в W , для каждого u , v в W и каждого a в F. u (Этих условий достаточно, чтобы предположить, что W — векторное пространство.)

Например, дано линейное отображение : V → W , образ T ( V ) V и T обратный образ T ⁻¹ ( 0 ) из 0 (называемое ядром или нулевым пространством) являются линейными подпространствами W и V соответственно.

Другой важный способ формирования подпространства — рассмотреть линейные комбинации множества S векторов: множества всех сумм

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},$

где v ₁ , v ₂ , ..., v _k находятся в S , а a ₁ , a ₂ , ..., a _k находятся в F, линейное подпространство, называемое промежутком S образуют . Пространство S также является пересечением всех линейных подпространств, содержащих S . Другими словами, это наименьшее (по отношению включения) линейное подпространство, содержащее S .

Набор векторов является линейно независимым , если ни один из них не находится в диапазоне других. Эквивалентно, набор S векторов является линейно независимым, если единственный способ выразить нулевой вектор как линейную комбинацию элементов S — это взять ноль для каждого коэффициента a _i .

Набор векторов, охватывающий векторное пространство, называется охватывающим набором или порождающим набором . Если охватывающее множество S ( линейно зависимо то есть не является линейно независимым), то некоторый элемент w из S находится в промежутке других элементов S , и диапазон останется прежним, если w из S. удалить Можно продолжать удалять элементы из S до тех пор, пока не будет получено линейно независимое связующее множество . Такое линейно независимое множество, охватывающее векторное пространство V называется базисом V , . Важность базисов заключается в том, что они одновременно являются минимальными порождающими множествами и максимальными независимыми множествами. Точнее, если S — линейно независимое множество, а T остовное множество такое, что S ⊆ T , то существует базис B такой, что S ⊆ B ⊆ T. —

Любые две базы векторного пространства V одинаковую мощность , которая называется размерностью V имеют ; это теорема размерности для векторных пространств . Более того, два векторных пространства над одним и тем же полем F изоморфны тогда и только тогда , когда они имеют одинаковую размерность.

Если любой базис V (и, следовательно, каждый базис) имеет конечное число элементов, V является конечномерным векторным пространством . Если U — подпространство V , то U ≤ dim V. dim В случае, когда V конечномерно, из равенства размерностей следует U = V .

Если U ₁ и U ₂ — подпространства V , то

$\dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),$

где U ₁ + U ₂ обозначает пролет U ₁ ∪ U ₂ .

Матрицы

Основная статья: Матрица (математика)

Матрицы позволяют явно манипулировать конечномерными векторными пространствами и линейными картами . Таким образом, их теория является важной частью линейной алгебры.

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F и ( v1 _m , v2 _vm , ..., ) _— — базис V (таким образом, размерность V ) . По определению базиса отображение

${\begin{aligned}(a_{1},\ldots ,a_{m})&\mapsto a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots a_{m}\mathbf {v} _{m}\\F^{m}&\to V\end{aligned}}$

является биекцией из F ^м , набор последовательностей m элементов F V на , . Это изоморфизм векторных пространств, если F ^м оснащен стандартной структурой векторного пространства, где сложение векторов и скалярное умножение выполняются покомпонентно.

Этот изоморфизм позволяет представить вектор его прообразом при этом изоморфизме, то есть координатным вектором ( a ₁ , ..., a _m ) или матрицей-столбцом

${\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}.$

Если W — другое конечномерное векторное пространство (возможно, то же самое) с базисом ( w ₁ , ..., w _n ) , линейное отображение f из W в V корректно определяется своими значениями на базисных элементах, то есть ( ж ( ш ₁ ), ..., ж ( ш _п )) . Таким образом, f хорошо представлена ​​списком соответствующих матриц-столбцов. То есть, если

$f(w_{j})=a_{1,j}v_{1}+\cdots +a_{m,j}v_{m},$

для j = 1, ..., n , то f представляется матрицей

${\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}},$

с m строками и n столбцами.

Умножение матриц определяется таким образом, что произведение двух матриц является матрицей композиции соответствующих линейных карт, а произведение матрицы и матрицы-столбца представляет собой матрицу-столбец, представляющую результат применения представленной линейной карты к представленный вектор. Отсюда следует, что теория конечномерных векторных пространств и теория матриц — это два разных языка выражения одних и тех же понятий.

Две матрицы, кодирующие одно и то же линейное преобразование в разных базисах, называются подобными . Можно доказать, что две матрицы подобны тогда и только тогда, когда можно преобразовать одну в другую с помощью элементарных операций со строками и столбцами . Для матрицы, представляющей линейную карту от W до V , операции со строками соответствуют изменению оснований в V а операции со столбцами соответствуют изменению оснований в W. , Каждая матрица похожа на единичную матрицу, возможно, ограниченную нулевыми строками и нулевыми столбцами. В терминах векторных пространств это означает, что для любого линейного отображения из W в V существуют базы такие, что часть базиса W биективно отображается на часть базиса V и что остальные базисные элементы W , если таковые имеются, отображаются в ноль. Метод исключения Гаусса является основным алгоритмом для поиска этих элементарных операций и доказательства этих результатов.

Линейные системы

Основная статья: Система линейных уравнений

Конечная совокупность линейных уравнений с конечным набором переменных, например, x ₁ , x ₂ , ..., x _n , или x , y , ..., z называется системой линейных уравнений или линейной системой. .

Системы линейных уравнений составляют фундаментальную часть линейной алгебры. Исторически для решения таких систем была разработана линейная алгебра и теория матриц. В современном представлении линейной алгебры через векторные пространства и матрицы многие проблемы можно интерпретировать в терминах линейных систем.

Например, пусть

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3\end{alignedat}}$ ( С )

быть линейной системой.

Такой системе можно сопоставить ее матрицу

$M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right].$

и его правый вектор-член

$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}.$

Пусть T связанным с матрицей M. будет линейным преобразованием , Решением системы ( S ) является вектор

$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$

такой, что

$T(\mathbf {X} )=\mathbf {v} ,$

элемент прообраза v T по . это

Пусть ( S′ ) — ассоциированная однородная система , в которой правые части уравнений приравнены к нулю:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\end{alignedat}}$ ( С' )

Решения ( S′ ) являются в точности элементами ядра T или M. , что то же самое ,

состоит Исключение Гаусса из выполнения элементарных операций над строками расширенной матрицы.

$\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

для помещения его в форму уменьшенного эшелона строк . Эти операции над строками не меняют множество решений системы уравнений. В примере сокращенная форма эшелона имеет вид

$\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right],$

показывая, что система ( S ) имеет единственное решение

${\begin{aligned}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{aligned}}$

Из такой матричной интерпретации линейных систем следует, что одни и те же методы можно применять для решения линейных систем и для многих операций над матрицами и линейными преобразованиями, к которым относятся вычисление рангов , ядер , обратных матриц .

Эндоморфизмы и квадратные матрицы

Основная статья: Квадратная матрица

Линейный эндоморфизм — это линейное отображение, которое отображает векторное пространство V в себя. Если V имеет базу из n элементов, такой эндоморфизм представлен квадратной матрицей размера n .

Что касается общих линейных карт, линейные эндоморфизмы и квадратные матрицы обладают некоторыми специфическими свойствами, которые делают их изучение важной частью линейной алгебры, которая используется во многих разделах математики, включая геометрические преобразования , изменения координат , квадратичные формы и многие другие части. математики.

Определить

Основная статья: Определитель

Определитель A квадратной матрицы определяется как

$\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},$

где Sn _σ — группа всех перестановок из n элементов, — перестановка и (−1) ^п четность . перестановки Матрица обратима тогда и только тогда, когда определитель обратим (т. е. отличен от нуля, если скаляры принадлежат полю).

Правило Крамера — это выражение в замкнутой форме в терминах определителей решения системы n линейных уравнений с n неизвестными . Правило Крамера полезно для рассуждений о решении, но, за исключением n = 2 или 3 , оно редко используется для вычисления решения, поскольку исключение Гаусса является более быстрым алгоритмом.

Определитель эндоморфизма — это определитель матрицы, представляющей эндоморфизм в терминах некоторого упорядоченного базиса. Это определение имеет смысл, поскольку этот определитель не зависит от выбора базиса.

Собственные значения и собственные векторы

Основная статья: Собственные значения и собственные векторы

Если f — линейный эндоморфизм векторного пространства V над полем F , собственный вектор f — ненулевой вектор v поля V такой, что f ( v ) = av для некоторого скаляра a в F. это скаляр a является собственным значением f . Этот

Если размерность V конечна и базис выбран, f и v могут быть представлены соответственно квадратной матрицей M и матрицей-столбцом z ; уравнение, определяющее собственные векторы и собственные значения, принимает вид

$Mz=az.$

Используя единичную матрицу I , все элементы которой равны нулю, за исключением элементов главной диагонали, которые равны единице, это можно переписать

$(M-aI)z=0.$

Поскольку z предполагается, что не равен нулю, это означает, что M – aI является сингулярной матрицей и, следовательно, ее определитель det ( M – aI ) равен нулю. собственные значения являются корнями многочлена Таким образом ,

$\det(xI-M).$

Если V имеет размерность n , это унитарный многочлен степени n , называемый характеристическим многочленом матрицы (или эндоморфизма), и существует не более n собственных значений.

Если существует базис, состоящий только из собственных векторов, матрица f на этом базисе имеет очень простую структуру: это диагональная матрица, в которой элементы на главной диагонали являются собственными значениями, а остальные элементы равны нулю. В этом случае эндоморфизм и матрица называются диагонализуемыми . В более общем смысле эндоморфизм и матрица также называются диагонализуемыми, если они становятся диагонализуемыми после расширения поля скаляров. В этом расширенном смысле, если характеристический полином не содержит квадратов , то матрица диагонализируема.

всегда Симметричная матрица диагонализуема. Существуют недиагонализируемые матрицы, простейшая из которых

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

(она не может быть диагонализируемой, поскольку ее квадрат — это нулевая матрица , а квадрат ненулевой диагональной матрицы никогда не равен нулю).

Когда эндоморфизм недиагонализуем, существуют основания, по которым он имеет простую форму, хотя и не такую ​​простую, как диагональная форма. не Нормальная форма Фробениуса требует расширения поля скаляров и делает характеристический многочлен сразу читаемым на матрице. Нормальная форма Жордана требует расширения поля скаляров, чтобы оно содержало все собственные значения, и отличается от диагональной формы только некоторыми элементами, которые находятся чуть выше главной диагонали и равны 1.

Двойственность

Основная статья: Двойное пространство

Линейная форма — это линейное отображение векторного пространства V над полем F в поле скаляров F , рассматриваемое как векторное пространство над самим собой. Линейные формы, оснащенные поточечным сложением и умножением на скаляр, образуют векторное пространство, называемое пространством двойственным к V и обычно обозначаемое V*. или В ' .

Если v ₁ , ..., v _n является базисом V (это означает, что V конечномерно), то для i = 1, ..., n можно определить линейное отображение v _i * такое, что v _я *( v _я ) знак равно 1 и v _я *( v _j ) знак равно 0, если j ≠ я . Эти линейные отображения образуют базис V * , называемый базисом двойственным v ₁ , ..., v _n . (Если V не является конечномерным, то v _i * можно определить аналогично; они линейно независимы, но не образуют базиса.)

Для v в V карта

$f\to f(\mathbf {v} )$

является линейной формой на V* . Это определяет каноническое линейное отображение в V ( * ) V * двойственное к V* , называемое бидуальным к V. , Это каноническое отображение является изоморфизмом , если V конечномерно, и это позволяет отождествить V с его бидуалом. (В бесконечномерном случае каноническое отображение инъективно, но не сюръективно.)

Таким образом, существует полная симметрия между конечномерным векторным пространством и его двойственным пространством. Это мотивирует частое использование в этом контексте обозначения скобки

$\langle f,\mathbf {x} \rangle$

для обозначения f ( x ) .

Двойная карта

Основная статья: Транспонирование линейной карты

Позволять

$f:V\to W$

быть линейной картой. Для каждой линейной формы h на W h составная функция ∘ f является линейной формой на V . Это определяет линейное отображение

$f^{*}:W^{*}\to V^{*}$

называется двойственным или транспонированным f между двойственными пространствами, которое .

Если V и W конечномерны, а M — матрица f в терминах некоторых упорядоченных базисов, то матрица f* по двойственным базисам является транспонированной M ^Т числа M , полученного заменой строк и столбцов.

Если элементы векторных пространств и их двойственные элементы представлены векторами-столбцами, эта двойственность может быть выражена в обозначениях скобок следующим образом:

$\langle h^{\mathsf {T}},M\mathbf {v} \rangle =\langle h^{\mathsf {T}}M,\mathbf {v} \rangle .$

Чтобы подчеркнуть эту симметрию, два члена этого равенства иногда пишут

$\langle h^{\mathsf {T}}\mid M\mid \mathbf {v} \rangle .$

Пространства внутреннего продукта

Основная статья: Внутреннее пространство продукта

Помимо этих основных понятий, линейная алгебра также изучает векторные пространства с дополнительной структурой, такой как скалярное произведение . Внутренний продукт является примером билинейной формы и придает векторному пространству геометрическую структуру, позволяя определять длину и углы. Формально внутренний продукт — это карта

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F$

который удовлетворяет следующим трем аксиомам для всех векторов u , v , w в V и всех скаляров a в F :

• Сопряженная симметрия:

  $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}.$

В $\mathbb {R}$, оно симметрично.

• Линейность в первом аргументе:

  ${\begin{aligned}\langle a\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle &=a\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle .\\\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle &=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle .\end{aligned}}$

• Положительная определенность :

  $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0$

с равенством только для v = 0 .

Мы можем определить длину вектора v в V по формуле

$\|\mathbf {v} \|^{2}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

и мы можем доказать неравенство Коши – Шварца :

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|.$

В частности, количество

${\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}{\|\mathbf {u} \|\cdot \|\mathbf {v} \|}}\leq 1,$

и поэтому мы можем назвать эту величину косинусом угла между двумя векторами.

Два вектора ортогональны, если ⟨ ты , v ⟩ знак равно 0 . Ортонормированный базис — это базис, в котором все базисные векторы имеют длину 1 и ортогональны друг другу. Для любого конечномерного векторного пространства ортонормированный базис можно найти с помощью процедуры Грама – Шмидта . С ортонормированными базисами особенно легко иметь дело, поскольку если v = a ₁ v ₁ + ⋯ + a _n v _n , то

$a_{i}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle .$

Внутренний продукт облегчает построение многих полезных концепций. Например, учитывая преобразование T , мы можем определить его эрмитово сопряженное T* как линейное преобразование, удовлетворяющее

$\langle T\mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,T^{*}\mathbf {v} \rangle .$

Если T удовлетворяет TT* = T*T , мы называем T нормальным . Оказывается, нормальные матрицы — это именно те матрицы, которые имеют ортонормированную систему собственных векторов, охватывающую V .

Связь с геометрией

Существует сильная связь между линейной алгеброй и геометрией , которая началась с введения Рене Декартом в 1637 году декартовых координат . В этой новой (на тот момент) геометрии, называемой теперь декартовой геометрией , точки представлены декартовыми координатами , которые представляют собой последовательности трёх действительных чисел (в случае обычного трёхмерного пространства ). Основные объекты геометрии — линии и плоскости — представляются линейными уравнениями. Таким образом, вычисление пересечений прямых и плоскостей сводится к решению систем линейных уравнений. Это было одной из основных мотиваций для развития линейной алгебры.

Большинство геометрических преобразований , таких как перемещение , вращение , отражение , жесткое движение , изометрия и проекция , преобразуют линии в линии. Отсюда следует, что их можно определить, уточнить и изучить в терминах линейных отображений. Это также относится к гомографиям и преобразованиям Мёбиуса , если рассматривать их как преобразования проективного пространства .

До конца 19 века геометрические пространства определялись аксиомами, связывающими точки, линии и плоскости ( синтетическая геометрия ). Примерно в это же время выяснилось, что можно также определять геометрические пространства с помощью конструкций, включающих векторные пространства (см., например, Проективное пространство и Аффинное пространство ). Было показано, что эти два подхода по существу эквивалентны. В классической геометрии задействованные векторные пространства представляют собой векторные пространства над действительными числами, но конструкции могут быть расширены до векторных пространств над любым полем, что позволяет рассматривать геометрию над произвольными полями, включая конечные поля .

В настоящее время в большинстве учебников геометрические пространства представлены из линейной алгебры, а геометрия на элементарном уровне часто представляется как подполе линейной алгебры.

Использование и приложения

Линейная алгебра используется практически во всех областях математики, что делает ее актуальной практически во всех научных областях, в которых используется математика. Эти приложения можно разделить на несколько широких категорий.

Функциональный анализ

Функциональный анализ изучает функциональные пространства . Это векторные пространства с дополнительной структурой, такие как гильбертовы пространства . Таким образом, линейная алгебра является фундаментальной частью функционального анализа и его приложений, к которым относятся, в частности, квантовая механика ( волновые функции ) и анализ Фурье ( ортогональный базис ).

вычисления

Почти все научные вычисления связаны с линейной алгеброй. Следовательно, алгоритмы линейной алгебры были высоко оптимизированы. BLAS и LAPACK — наиболее известные реализации. Для повышения эффективности некоторые из них настраивают алгоритмы автоматически, во время выполнения, для адаптации их к особенностям компьютера ( размеру кэша , количеству доступных ядер ,...).

Некоторые процессоры , обычно графические процессоры (GPU), имеют матричную структуру для оптимизации операций линейной алгебры.

Геометрия окружающего пространства

Моделирование пространства окружающего геометрии основано . на Науки, занимающиеся этим пространством, широко используют геометрию. Так обстоит дело с механикой и робототехникой для описания динамики твердого тела ; геодезия для описания формы Земли ; перспектива , компьютерное зрение и компьютерная графика для описания взаимосвязи между сценой и ее плоскостным представлением; и многие другие научные области.

Во всех этих приложениях синтетическая геометрия часто используется для общего описания и качественного подхода, но для исследования явных ситуаций приходится выполнять вычисления с координатами . Это требует интенсивного использования линейной алгебры.

Исследование сложных систем

См. Также: Сложная система.

Большинство физических явлений моделируются уравнениями в частных производных . Для их решения обычно разбивают пространство, в котором ищутся решения, на небольшие взаимно взаимодействующие ячейки . Для линейных систем в этом взаимодействии участвуют линейные функции . Для нелинейных систем это взаимодействие часто аппроксимируется линейными функциями. Это называется линейной моделью или приближением первого порядка. Линейные модели часто используются для сложных нелинейных систем реального мира, поскольку они делают параметризацию более управляемой. В обоих случаях обычно используются очень большие матрицы. Прогноз погоды (или, точнее, параметризация для моделирования атмосферы ) является типичным примером реального приложения, где вся атмосфера Земли разделена на ячейки, скажем, 100 км ширины и 100 км высоты.

Механика жидкости, гидродинамика

Линейная алгебра, раздел математики, занимающийся векторными пространствами и линейными отображениями между этими пространствами, играет решающую роль в различных инженерных дисциплинах, включая механику жидкости , динамику жидкости и тепловой энергии системы . Его применение в этих областях многогранно и незаменимо для решения сложных задач.

В механике жидкости линейная алгебра является неотъемлемой частью понимания и решения проблем, связанных с поведением жидкостей. Он помогает в моделировании и моделировании потока жидкости, предоставляя необходимые инструменты для анализа проблем гидродинамики . Например, методы линейной алгебры используются для решения систем дифференциальных уравнений , описывающих движение жидкости. Эти уравнения, часто сложные и нелинейные , можно линеаризовать с помощью методов линейной алгебры, что позволяет упростить решения и анализ.

В области гидродинамики линейная алгебра находит свое применение в вычислительной гидродинамике (CFD), отрасли, которая использует численный анализ и структуры данных для решения и анализа задач, связанных с потоками жидкости. CFD в значительной степени опирается на линейную алгебру для расчета потока жидкости и теплопередачи в различных приложениях. Например, уравнения Навье-Стокса , фундаментальные в гидродинамике , часто решаются с использованием методов, заимствованных из линейной алгебры. Это включает в себя использование матриц и векторов для представления полей потока жидкости и управления ими.

Кроме того, линейная алгебра играет решающую роль в теплоэнергетических системах, особенно в энергетических систем анализе . Он используется для моделирования и оптимизации производства, передачи и распределения электроэнергии. Линейные алгебраические концепции, такие как матричные операции и проблемы собственных значений, используются для повышения эффективности, надежности и экономических показателей энергосистем . Применение линейной алгебры в этом контексте жизненно важно для проектирования и эксплуатации современных энергетических систем , включая возобновляемые источники энергии и интеллектуальные сети .

В целом, применение линейной алгебры в гидромеханике , гидродинамике и теплоэнергетических системах является примером глубокой взаимосвязи между математикой и инженерией . Он предоставляет инженерам необходимые инструменты для моделирования, анализа и решения сложных проблем в этих областях, что ведет к развитию технологий и промышленности.

Расширения и обобщения

В этом разделе представлены несколько связанных тем, которые обычно не встречаются в элементарных учебниках по линейной алгебре, но обычно рассматриваются в высшей математике как части линейной алгебры.

Теория модулей

Основная статья: Модуль (математика)

Существование мультипликативных обратных значений в полях не участвует в аксиомах, определяющих векторное пространство. Таким образом, можно заменить поле скаляров кольцом R , и это даст структуру, называемую модулем над R или R -модулем.

Понятия линейной независимости, промежутка, базиса и линейных отображений (также называемые гомоморфизмами модулей ) определяются для модулей точно так же, как и для векторных пространств, с той существенной разницей, что, если R не является полем, существуют модули, которые не имеют никаких основе. Модули, имеющие базис, — это свободные модули , а модули, натянутые на конечное множество, — это конечно порожденные модули . Гомоморфизмы модулей между конечно порожденными свободными модулями могут быть представлены матрицами. Теория матриц над кольцом аналогична теории матриц над полем, за исключением того, что определители существуют только в том случае, если кольцо коммутативно , и что квадратная матрица над коммутативным кольцом обратима только в том случае, если ее определитель имеет мультипликативный обратный в кольце. .

Векторные пространства полностью характеризуются своей размерностью (с точностью до изоморфизма). В общем, такой полной классификации модулей не существует, даже если ограничиться конечно порожденными модулями. Однако каждый модуль является коядром гомоморфизма свободных модулей.

Модули над целыми числами можно отождествить с абелевыми группами , поскольку умножение на целое число можно отождествить с повторным сложением. Большая часть теории абелевых групп может быть распространена на модули над областью главных идеалов . В частности, в области главных идеалов каждый подмодуль свободного модуля свободен, и фундаментальная теорема о конечно порожденных абелевых группах может быть непосредственно распространена на конечно порожденные модули над главным кольцом.

Существует множество колец, для которых существуют алгоритмы решения линейных уравнений и систем линейных уравнений. Однако эти алгоритмы обычно имеют вычислительную сложность , значительно превышающую аналогичные алгоритмы над полем. Подробнее см. в разделе Линейное уравнение над кольцом .

Полилинейная алгебра и тензоры

В полилинейной алгебре рассматриваются линейные преобразования со многими переменными, то есть отображения, линейные по каждой из ряда различных переменных. Эта линия исследования естественным образом приводит к идее двойственного пространства , векторного пространства V*, состоящего из линейных отображений f : V → F , где F — поле скаляров. Полилинейные карты T : V ^н → F можно описать через тензорные произведения элементов V* .

Если помимо векторного сложения и скалярного умножения существует билинейное векторное произведение V × V → V , векторное пространство называется алгеброй ; например, ассоциативные алгебры — это алгебры с ассоциированным векторным произведением (например, алгебра квадратных матриц или алгебра полиномов).

Топологические векторные пространства

Основные статьи: Топологическое векторное пространство , Нормированное векторное пространство и Гильбертово пространство.

Векторные пространства, которые не являются конечномерными, часто требуют дополнительной структуры для удобства работы. Нормированное векторное пространство — это векторное пространство вместе с функцией, называемой нормой , которая измеряет «размер» элементов. Норма порождает метрику , которая измеряет расстояние между элементами, и порождает топологию , которая позволяет определить непрерывные карты. Метрика также позволяет определить пределы и полноту — полное метрическое пространство известно как банахово пространство . Полное метрическое пространство вместе с дополнительной структурой скалярного произведения (сопряженной симметричной полуторалинейной формой ) известно как гильбертово пространство , которое в некотором смысле является банаховым пространством с особенно хорошим поведением. Функциональный анализ применяет методы линейной алгебры наряду с методами математического анализа для изучения различных функциональных пространств; центральными объектами изучения функционального анализа являются L ^п пространства , которые являются банаховыми пространствами, и особенно L ² пространство суммируемых с квадратом функций, которое является единственным среди них гильбертовым пространством. Функциональный анализ имеет особое значение для квантовой механики, теории уравнений в частных производных, цифровой обработки сигналов и электротехники. Он также обеспечивает основу и теоретическую основу, лежащую в основе преобразования Фурье и связанных с ним методов.

См. также

• Фундаментальная матрица (компьютерное зрение)
• Геометрическая алгебра
• Линейное программирование
• Линейная регрессия , метод статистической оценки
• Численная линейная алгебра
• Очерк линейной алгебры
• Матрица трансформации

Общие и цитируемые источники

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-84819-0
• Экслер, Шелдон (18 декабря 2014 г.), Linear Algebra Done Right , Тексты для студентов по математике (3-е изд.), Springer Publishing (опубликовано в 2015 г.), ISBN  978-3-319-11079-0 , МР   3308468
• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN  0-395-14017-Х
• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт , ISBN  0-534-93219-3
• Голуб, Джин Х .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления , Исследования Джонса Хопкинса в области математических наук (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса , ISBN  978-0-8018-5414-9
• Халмос, Пол Ричард (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике (1958, 2-е изд.), Springer Publishing , ISBN  0-387-90093-4 , OCLC   1251216
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN  0-13-487538-9
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008), A (краткое) Введение в линейную алгебру , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-4419-9
• Роман, Стивен (22 марта 2005 г.), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-24766-3

Дальнейшее чтение

История

• Фернли-Сандер, Десмонд, « Герман Грассман и создание линейной алгебры », American Mathematical Monthly 86 (1979), стр. 809–817.
• Грассманн, Герман (1844), Теория линейного расширения - новая отрасль математики: представлена ​​и объяснена посредством приложений к другим разделам математики, а также к статике, механике, теории магнетизма и кристаллономии , Лейпциг: О. Виганд

Вводные учебники

• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты по статистическим наукам (1-е изд.), Чепмен и Холл / CRC, ISBN  978-1420095388
• Бретшер, Отто (2004), Линейная алгебра с приложениями (3-е изд.), Прентис Холл, ISBN  978-0-13-145334-0
• Фарин, Джеральд; Хансфорд, Дайан (2004), Практическая линейная алгебра: набор инструментов для геометрии , AK Peters, ISBN  978-1-56881-234-2
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Анн-Арбор, Мичиган : Ортогональное издательство. ISBN  978-1-944325-11-4 . OCLC   1178900366 . ОЛ   30872051М .
• Колман, Бернард; Хилл, Дэвид Р. (2007), Элементарная линейная алгебра с приложениями (9-е изд.), Прентис Холл, ISBN  978-0-13-229654-0
• Лэй, Дэвид К. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл, ISBN  978-0-13-185785-8
• Мурти, Катта Г. (2014) Вычислительная и алгоритмическая линейная алгебра и n-мерная геометрия , World Scientific Publishing, ISBN   978-981-4366-62-5 . Глава 1: Системы одновременных линейных уравнений
• Нобл, Б. и Дэниел, Дж.В. (2-е изд. 1977 г.) [1] , Высшее образование Пирсона, ISBN   978-0130413437 .
• Пул, Дэвид (2010), Линейная алгебра: современное введение (3-е изд.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN  978-0-538-73545-2
• Рикардо, Генри (2010), Современное введение в линейную алгебру (1-е изд.), CRC Press, ISBN  978-1-4398-0040-9
• Садун, Лоренцо (2008), Прикладная линейная алгебра: принцип разделения (2-е изд.), AMS, ISBN  978-0-8218-4441-0
• Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN  978-09802327-7-6
• Манга-путеводитель по линейной алгебре (2012), авторы Шин Такахаши , Ироха Иноуэ и Trend-Pro Co., Ltd., ISBN   978-1-59327-413-9

Учебники для продвинутого уровня

• Бхатия, Раджендра (15 ноября 1996 г.), Матричный анализ , Тексты для выпускников по математике , Springer, ISBN  978-0-387-94846-1
• Деммель, Джеймс В. (1 августа 1997 г.), Прикладная числовая линейная алгебра , SIAM, ISBN  978-0-89871-389-3
• Дим, Гарри (2007), Линейная алгебра в действии , AMS, ISBN  978-0-8218-3813-6
• Гантмахер, Феликс Р. (2005), Приложения теории матриц , Dover Publications, ISBN  978-0-486-44554-0
• Гантмахер, Феликс Р. (1990), Теория матриц, том. 1 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1376-8
• Гантмахер, Феликс Р. (2000), Теория матриц, том. 2 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2664-5
• Гельфанд, Израиль М. (1989), Лекции по линейной алгебре , Dover Publications, ISBN  978-0-486-66082-0
• Глазман, И.М.; Любич, Ю. I. (2006), Конечномерный линейный анализ , Dover Publications, ISBN  978-0-486-45332-3
• Голан, Джонатан С. (январь 2007 г.), Линейная алгебра, которую должен знать начинающий аспирант (2-е изд.), Springer, ISBN  978-1-4020-5494-5
• Голан, Джонатан С. (август 1995 г.), Основы линейной алгебры , Kluwer, ISBN  0-7923-3614-3
• Греуб, Вернер Х. (16 октября 1981 г.), Линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (4-е изд.), Springer, ISBN  978-0-8018-5414-9
• Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971), Линейная алгебра (2-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., MR   0276251
• Халмос, Пол Р. (20 августа 1993 г.), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике , Springer, ISBN  978-0-387-90093-3
• Фридберг, Стивен Х.; Инсел, Арнольд Дж.; Спенс, Лоуренс Э. (7 сентября 2018 г.), Линейная алгебра (5-е изд.), Пирсон, ISBN  978-0-13-486024-4
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (23 февраля 1990 г.), Матричный анализ , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-38632-6
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (24 июня 1994 г.), Темы матричного анализа , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-46713-1
• Ланг, Серж (9 марта 2004 г.), Линейная алгебра , Тексты для студентов по математике (3-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-96412-6
• Маркус, Марвин ; Минк, Хенрик (2010), Обзор теории матриц и матричных неравенств , Dover Publications, ISBN  978-0-486-67102-4
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 31 октября 2009 г.
• Мирский, Л. (1990), Введение в линейную алгебру , Dover Publications, ISBN  978-0-486-66434-7
• Шафаревич, ИР ; Ремизов, А. О (2012), Линейная алгебра и геометрия , Springer , ISBN  978-3-642-30993-9
• Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Linear algebra , Dover Publications, ISBN  978-0-486-63518-7
• Шорс, Томас С. (6 декабря 2006 г.), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ , Тексты для студентов по математике, Springer, ISBN  978-0-387-33194-2
• Смит, Ларри (28 мая 1998 г.), Линейная алгебра , Тексты для студентов по математике, Springer, ISBN  978-0-387-98455-1
• Трефетен, Ллойд Н .; Бау, Дэвид (1997), Численная линейная алгебра , SIAM, ISBN  978-0-898-71361-9

Учебные пособия и конспекты

• Ледюк, Стивен А. (1 мая 1996 г.), Линейная алгебра (Краткий обзор Cliffs) , Cliffs Notes, ISBN  978-0-8220-5331-6
• Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (6 декабря 2000 г.), Очерк линейной алгебры Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-136200-9
• Липшуц, Сеймур (1 января 1989 г.), 3000 решенных задач по линейной алгебре , МакГроу – Хилл, ISBN  978-0-07-038023-3
• МакМахон, Дэвид (28 октября 2005 г.), Демистификация линейной алгебры , McGraw – Hill Professional, ISBN  978-0-07-146579-3
• Чжан, Фучжэнь (7 апреля 2009 г.), Линейная алгебра: сложные проблемы для студентов , Издательство Университета Джона Хопкинса, ISBN  978-0-8018-9125-0

Внешние ссылки

Интернет-ресурсы

• Видеолекции по линейной алгебре MIT , серия из 34 записанных лекций профессора Гилберта Стрэнга (весна 2010 г.)
• Международное общество линейной алгебры
• «Линейная алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейная алгебра на MathWorld
• Термины матрицы и линейной алгебры о самых ранних известных вариантах использования некоторых математических слов
• Самые ранние использования символов для матриц и векторов о самых ранних использованиях различных математических символов
• Сущность линейной алгебры , видеопрезентация от 3Blue1Brown основ линейной алгебры с акцентом на взаимосвязь между геометрической, матричной и абстрактной точками зрения.

Интернет-книги

• Бизер, Роберт А. (2009) [2004]. Первый курс линейной алгебры . Гейнсвилл, Флорида : Университетское издательство Флориды . ISBN  9781616100049 .
• Коннелл, Эдвин Х. (2004) [1999]. Элементы абстрактной и линейной алгебры . Университет Майами , Корал-Гейблс, Флорида : Самостоятельная публикация.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Анн-Арбор, Мичиган : Ортогональное издательство. ISBN  978-1-944325-11-4 . OCLC   1178900366 . ОЛ   30872051М .
• Маргалит, Дэн ; Рабинов, Джозеф (2019). Интерактивная линейная алгебра . Технологический институт Джорджии , Атланта, Джорджия : Самостоятельная публикация.
• Мэтьюз, Кейт Р. (2013) [1991]. Элементарная линейная алгебра . Университет Квинсленда , Брисбен, Австралия : Самостоятельная публикация.
• Микаэлян, Ваагн Х. (2020) [2017]. Линейная алгебра: теория и алгоритмы . Ереван, Армения : Самостоятельная публикация – через ResearchGate .
• Шарипов Руслан, Курс линейной алгебры и многомерной геометрии
• Трейл, Сергей , «Линейная алгебра сделана неправильно»