Леон Мирский

Леон Мирский
Рожденный	( 1918-12-19 ) 19 декабря 1918 г. Россия
Умер	1 декабря 1983 г. ) ( 1983-12-01 ) ( 64 года Шеффилд, Англия
Национальность	Русский Британский
Альма-матер	Университет Шеффилда Королевский колледж, Лондон
Известный	Теорема Мирского Теорема Мирского – Ньюмана
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Шеффилда

Леонид Мирский (19 декабря 1918 — 1 декабря 1983) — российско-британский математик, работавший в области теории чисел, линейной алгебры и комбинаторики. Теорема Мирского названа в его честь.

Биография

Мирский родился в России 19 декабря 1918 года в семье медиков, но когда ему было восемь лет, родители отправили его жить к тете и дяде, торговцу шерстью в Германии . Семья его дяди переехала в Брэдфорд , Англия, в 1933 году, взяв с собой Мирского. Он учился в средней школе Херн-Бей и Королевском колледже в Лондоне , которые окончил в 1940 году. Из-за эвакуации Лондона во время Блица студенты Королевского колледжа были переведены в Бристольский университет , где Мирский получил степень магистра. В 1942 году он занял краткосрочную должность преподавателя в Шеффилдском университете , а затем аналогичную должность в Манчестере; он вернулся в Шеффилд в 1945 году, где (за исключением периода работы приглашенным преподавателем в Бристоле) оставался до конца своей карьеры. В 1947 году стал преподавателем, получил степень доктора философии. из Шеффилда в 1949 году, стал старшим преподавателем в 1958 году, читателем в 1961 году и получил персональную кафедру в 1971 году.

В 1953 году Мирский женился на Эйлин Гилдинг, которая в то время преподавала библейскую историю и литературу в Шеффилде, но позже стала профессором и заведующей кафедрой.

Он вышел на пенсию в сентябре 1983 года и умер 1 декабря 1983 года.

Мирский был редактором журналов «Линейная алгебра и ее приложения» , « Журнал математического анализа и приложений» и «Математический спектр» .

Исследования

Теория чисел

Ранние исследования Мирского касались теории чисел . Его особенно интересовали числа без квадратов , обобщение целых чисел без квадратов, состоящее из чисел, не делящихся ни на одну r степень . Эти числа являются надмножеством простых чисел , и Мирский доказал для них теоремы, аналогичные теореме Виноградова , гипотезе Гольдбаха и гипотезе простых чисел-близнецов для простых чисел.

Вместе с Полом Эрдёшем в 1952 году Мирский доказал строгие асимптотические границы количества различных значений, принимаемых функцией делителя d ( n ), подсчитывающей количество делителей числа n . Если D ( n ) обозначает количество различных значений d ( m ) для m ≤ n , то

$D(n)={\bigl (}1+o(1){\bigr )}\exp \left({\frac {\pi {\sqrt {8\log n}}}{{\sqrt {3}}\log \log n}}\right).$

Теорема Мирского-Ньюмана касается разбиения целых чисел на арифметические прогрессии и утверждает, что любое такое разбиение должно иметь две прогрессии с одинаковой разницей. То есть не может существовать покрывающей системы , которая покрывает каждое целое число ровно один раз и имеет явные различия. Этот результат является частным случаем гипотезы Герцога – Шёнгейма в теории групп ; это было высказано в 1950 году Полом Эрдешем и вскоре после этого доказано Мирским и Дональдом Дж. Ньюманом . Однако Мирский и Ньюман так и не опубликовали свое доказательство. Такое же доказательство было также независимо найдено Гарольдом Давенпортом и Ричардом Радо .

Линейная алгебра

В 1947 году Мирскому предложили вести курс линейной алгебры . Вскоре после этого он написал учебник по этому предмету « Введение в линейную алгебру» (Oxford University Press, 1955), а также написал ряд исследовательских статей по этому предмету.

В своих исследованиях Мирский предоставил необходимые и достаточные условия существования матриц различных типов ( действительные симметричные матрицы , ортогональные матрицы , эрмитовы матрицы и т. д.) с заданными диагональными элементами и заданными собственными значениями .

Он получил ужесточение теоремы Биркгофа-фон Неймана с Х. К. Фарахатом, заявив, что каждая дважды стохастическая матрица может быть получена как выпуклая комбинация перестановок матриц . В версии этой теоремы Мирского он показал, что не более $n^{2}-2n+2$ матрицы перестановок необходимы для представления каждого $n\times n$ дважды стохастическая матрица, и что для некоторых дважды стохастических матриц требуется такое же количество матриц перестановок. В современной полиэдральной комбинаторике этот результат можно рассматривать как частный случай теоремы Каратеодори, примененной к многограннику Биркгофа . Он также работал с Хейзел Перфект над спектрами дважды стохастических матриц.

Комбинаторика

В середине 1960-х годов фокус исследований Мирского снова сместился на комбинаторику после использования теоремы Холла о браке в связи с его работой над дважды стохастическими матрицами. В этой области он написал учебник «Трансверсальная теория» (Academic Press, 1971), одновременно редактируя festschrift для Рихарда Радо . Он вывел условия, при которых пары семейств множеств имеют одновременные трансверсали, что тесно связано с более поздними работами над проблемами сетевых потоков . Он также был одним из первых, кто осознал важность поперечных матроидов . и он показал, что трансверсальные матроиды могут быть представлены с помощью линейной алгебры над трансцендентными расширениями рациональных чисел .

Теорема Мирского , двойственная версия теоремы Дилворта, опубликованная Мирским в 1971 году, утверждает, что в любом конечном частично упорядоченном множестве размер самой длинной цепи равен наименьшему количеству антицепей , на которые множество может быть разделено. Хотя ее гораздо легче доказать, чем теорему Дилворта, она имеет многие из тех же последствий.