Эрмитова матрица

Чтобы узнать о матрицах с симметрией над полем действительных чисел , см. Симметричную матрицу .

В математике ( эрмитова матрица или самосопряженная матрица ) — это комплексная квадратная матрица , равная своему собственному сопряженному транспонированию — то есть элемент в i -й строке и j -м столбце равен комплексно-сопряженному элементу элемент в j -й строке и i -м столбце для всех индексов i и j :

$$A{\text{ is Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$$

или в матричной форме:

$$A{\text{ is Hermitian}}\quad \iff \quad A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.$$

Эрмитовы матрицы можно понимать как комплексное расширение действительных симметричных матриц .

Если сопряженное транспонирование матрицы $A$ обозначается $A^{\mathsf {H}},$ тогда эрмитово свойство можно кратко записать как

$$A{\text{ is Hermitian}}\quad \iff \quad A=A^{\mathsf {H}}$$

Эрмитовы матрицы названы в честь Чарльза Эрмита . который продемонстрировал в 1855 году, что матрицы этой формы имеют общее свойство с действительными симметричными матрицами: они всегда имеют действительные собственные значения . Другие, эквивалентные общепринятые обозначения: $A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast },$ хотя в квантовой механике $A^{\ast }$ обычно означает только комплексное сопряжение , а не транспонированное сопряжение .

Альтернативные характеристики

Эрмитова матрица может быть охарактеризована несколькими эквивалентными способами, некоторые из которых перечислены ниже:

Равенство с присоединенным

Квадратная матрица $A$ является эрмитовым тогда и только тогда, когда он равен своему сопряженному транспонированию , то есть удовлетворяет условию

$$\langle \mathbf {w} ,A\mathbf {v} \rangle =\langle A\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle ,$$

для любой пары векторов $\mathbf {v} ,\mathbf {w} ,$ где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает операцию внутреннего продукта .

Таким же образом более общее понятие самосопряженного оператора определяется .

Действительная значимость квадратичных форм

Ан $n\times {}n$ матрица $A$ является эрмитовым тогда и только тогда, когда

$$\langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}.$$

Спектральные свойства

Квадратная матрица $A$ является эрмитовым тогда и только тогда, когда оно унитарно диагонализуемо с вещественными собственными значениями .

Приложения

Эрмитовы матрицы имеют фундаментальное значение для квантовой механики , поскольку они описывают операторы с обязательно действительными собственными значениями. собственное значение $a$ оператора ${\hat {A}}$ в каком-то квантовом состоянии $|\psi \rangle$ является одним из возможных результатов измерения оператора, который требует, чтобы операторы имели действительные собственные значения.

При обработке сигналов эрмитовы матрицы используются в таких задачах, как анализ Фурье и представление сигналов. Собственные значения и собственные векторы эрмитовых матриц играют решающую роль в анализе сигналов и извлечении значимой информации.

Эрмитовы матрицы широко изучаются в линейной алгебре и численном анализе . Они имеют четко определенные спектральные свойства, и многие численные алгоритмы, такие как алгоритм Ланцоша , используют эти свойства для эффективных вычислений. Эрмитовы матрицы также используются в таких методах, как разложение по сингулярным значениям (SVD) и разложение по собственным значениям .

В статистике и машинном обучении эрмитовы матрицы используются в ковариационных матрицах , где они представляют отношения между различными переменными. Положительная определенность эрмитовой ковариационной матрицы обеспечивает четкость многомерных распределений.

Эрмитовы матрицы применяются при проектировании и анализе систем связи , особенно в области систем с множественным входом и множественным выходом (MIMO). Матрицы каналов в системах MIMO часто обладают эрмитовыми свойствами.

В теории графов эрмитовы матрицы используются для изучения спектров графов . Эрмитова матрица Лапласа является ключевым инструментом в этом контексте, поскольку она используется для анализа спектров смешанных графов. Матрица эрмитовой смежности смешанного графа - еще одно важное понятие, поскольку это эрмитова матрица, которая играет роль в изучении энергий смешанных графов.

Примеры и решения

В этом разделе сопряженное транспонирование матрицы $A$ обозначается как $A^{\mathsf {H}},$ транспонирование матрицы $A$ обозначается как $A^{\mathsf {T}}$ и сопряжение матрицы $A$ обозначается как ${\overline {A}}.$

См. следующий пример:

$${\begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\\a+ib&1&m-in\\c+id&m+in&2\end{bmatrix}}$$

Диагональные элементы должны быть вещественными , так как они должны быть собственными комплексно-сопряженными.

К хорошо известным семействам эрмитовых матриц относятся матрицы Паули , матрицы Гелла-Манна и их обобщения. В теоретической физике такие эрмитовы матрицы часто умножаются на мнимые коэффициенты: что приводит к косоэрмитовым матрицам .

Здесь мы предлагаем еще одну полезную эрмитову матрицу на абстрактном примере. Если квадратная матрица $A$ равно произведению матрицы на сопряженное ей транспонирование, то есть $A=BB^{\mathsf {H}},$ затем $A$— эрмитова положительная полуопределенная матрица . Кроме того, если $B$ является строкой полного ранга, тогда $A$ является положительно определенным.

Свойства

Значения главных диагоналей реальны

Элементы на главной диагонали (слева сверху вниз справа) любой эрмитовой матрицы действительны .

Доказательство

По определению эрмитовой матрицы

$$H_{ij}={\overline {H}}_{ji}$$

поэтому для i = j следует вышеизложенное.

Только основные диагональные записи обязательно являются реальными; Эрмитова матрица может иметь произвольные комплексные элементы в своих недиагональных элементах , если диагонально противоположные элементы являются комплексно-сопряженными.

Симметричный

Матрица, имеющая только вещественные элементы, симметрична тогда и только тогда, когда она является эрмитовой матрицей. Действительная и симметричная матрица — это просто частный случай эрмитовой матрицы.

Доказательство

$H_{ij}={\overline {H}}_{ji}$по определению. Таким образом $H_{ij}=H_{ji}$ (матричная симметрия) тогда и только тогда, когда $H_{ij}={\overline {H}}_{ij}$ ( $H_{ij}$ реально).

Итак, если действительную антисимметричную матрицу умножить на действительное кратное мнимой единицы $i,$ тогда оно становится эрмитовым.

Нормальный

Каждая эрмитова матрица является нормальной матрицей . То есть, $AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A.$

Доказательство

$A=A^{\mathsf {H}},$ так $AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A.$

Диагонализуемый

Конечномерная спектральная теорема гласит, что любая эрмитова матрица может быть диагонализирована унитарной матрицей и что полученная диагональная матрица имеет только вещественные элементы. Это означает, что все собственные значения эрмитовой матрицы A размерности n вещественны и что A имеет n линейно независимых собственных векторов . Более того, эрмитова матрица имеет ортогональные собственные векторы для различных собственных значений. Даже если существуют вырожденные собственные значения, всегда можно найти ортогональный базис C ^н состоящий из n собственных векторов A .

Сумма эрмитовых матриц

Сумма любых двух эрмитовых матриц является эрмитовой.

Доказательство

$$(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji},$$

как заявлено.

Обратное является эрмитовым

Обратная обратимая эрмитова матрица также является эрмитовой.

Доказательство

Если $A^{-1}A=I,$ затем $I=I^{\mathsf {H}}=\left(A^{-1}A\right)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}},$ так $A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}$ как заявлено.

Ассоциативное произведение эрмитовых матриц

Произведение когда двух эрмитовых матриц A и B является эрмитовым тогда и только тогда, AB = BA .

Доказательство

$$(AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.$$

Таким образом $(AB)^{\mathsf {H}}=AB$ если и только если $AB=BA.$

Таким образом , А ^н является эрмитовым, если A эрмитово и n — целое число.

АБА

Если A и B эрмитовы, то ABA также эрмитовы.

Доказательство

$$(ABA)^{\mathsf {H}}=(A(BA))^{\mathsf {H}}=(BA)^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=ABA$$

v ^ЧАС A v действительно для сложного v

Для произвольного комплексного вектора v произведение $\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v}$ реально из-за $\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {H}}.$ Это особенно важно в квантовой физике, где эрмитовы матрицы являются операторами, измеряющими свойства системы, например, полный спин , который должен быть действительным.

Комплексные эрмитовые формы векторного пространства над R

Эрмитовые комплексные матрицы размером n на n не образуют векторное пространство над комплексными числами , C поскольку единичная матрица I _n является эрмитовой, а i   I _n — нет. Однако комплексные эрмитовы матрицы образуют векторное пространство над действительными числами R . Во 2 н. ² -мерное матриц размера векторное пространство комплексных n × n над R , комплексные эрмитовы матрицы образуют подпространство размерности n ² . Если E _jk обозначает матрицу размером n x n с 1 в позиции j , k и нулями в других местах, базис (ортонормированный относительно внутреннего произведения Фробениуса) можно описать следующим образом:

$$E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})$$

вместе с набором матриц вида

$${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)$$

и матрицы

$${\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)$$

где $i$ обозначает мнимую единицу , $i={\sqrt {-1}}~.$

Примером может служить то, что четыре матрицы Паули образуют полную основу для векторного пространства всех комплексных эрмитовых матриц 2 на 2 над R .

Собственная декомпозиция

Если n ортонормированных собственных векторов $\mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}$ эрмитовой матрицы выбираются и записываются как столбцы матрицы U , то одно собственное разложение матрицы A есть $A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}$ где $UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U$ и поэтому

$$A=\sum _{j}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}},$$

где $\lambda _{j}$ — собственные значения на диагонали диагональной матрицы $\Lambda .$

Сингулярные значения

Сингулярные значения $A$ являются абсолютными значениями его собственных значений:

С $A$ имеет собственное разложение $A=U\Lambda U^{H}$, где $U$ — унитарная матрица (ее столбцы — ортонормированные векторы; см. выше ), сингулярное разложение $A$ является $A=U|\Lambda |{\text{sgn}}(\Lambda )U^{H}$, где $|\Lambda |$ и ${\text{sgn}}(\Lambda )$ представляют собой диагональные матрицы, содержащие абсолютные значения $|\lambda |$ и знаки ${\text{sgn}}(\lambda )$ из $A$собственные значения соответственно. $\operatorname {sgn}(\Lambda )U^{H}$ унитарна, так как столбцы $U^{H}$ только умножаются на $\pm 1$. $|\Lambda |$ содержит сингулярные значения $A$, а именно абсолютные значения его собственных значений.

Действительный определитель

Определитель эрмитовой матрицы действителен:

Доказательство

$\det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}$ Поэтому, если $A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}.$

(В качестве альтернативы, определитель является произведением собственных значений матрицы, и, как упоминалось ранее, собственные значения эрмитовой матрицы действительны.)

и косоэрмитовые

Дополнительные факты, связанные с эрмитовыми матрицами, включают:

• Сумма квадратной матрицы и сопряженного ей транспонирования $\left(A+A^{\mathsf {H}}\right)$ является эрмитовым.
• Разница квадратной матрицы и сопряженной ей транспонированной $\left(A-A^{\mathsf {H}}\right)$является косоэрмитовым (также называемым антиэрмитовым). Отсюда следует, что коммутатор двух эрмитовых матриц является косоэрмитовым.
• Произвольную квадратную матрицу C можно записать как сумму эрмитовой матрицы A и косоэрмитовой B. матрицы Это известно как разложение Теплица C .
  $$C=A+B\quad {\text{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\text{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)$$

Коэффициент Рэлея

Основная статья: коэффициент Рэлея

В математике для данной комплексной эрмитовой матрицы M и ненулевого вектора x коэффициент Рэлея $R(M,\mathbf {x} ),$ определяется как:

$$R(M,\mathbf {x} ):={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}M\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}\mathbf {x} }}.$$

Для вещественных матриц и векторов условие эрмитовости сводится к условию симметричности, а сопряженное транспонирование $\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}$ к обычному транспонированию $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}.$ $R(M,c\mathbf {x} )=R(M,\mathbf {x} )$ для любого ненулевого действительного скаляра $c.$ Также напомним, что эрмитова (или вещественная симметричная) матрица имеет действительные собственные значения.

Это можно показать что для данной матрицы коэффициент Рэлея достигает минимального значения $\lambda _{\min }$ (наименьшее собственное значение M), когда $\mathbf {x}$ является $\mathbf {v} _{\min }$(соответствующий собственный вектор). Сходным образом, $R(M,\mathbf {x} )\leq \lambda _{\max }$ и $R(M,\mathbf {v} _{\max })=\lambda _{\max }.$

Фактор Рэлея используется в теореме о мин-максе для получения точных значений всех собственных значений. Он также используется в алгоритмах собственных значений для получения аппроксимации собственных значений из аппроксимации собственных векторов. В частности, это основа итерации фактора Рэлея.

Диапазон коэффициента Рэлея (для матрицы, которая не обязательно является эрмитовой) называется числовым диапазоном (или спектром в функциональном анализе). Когда матрица эрмитова, числовой диапазон равен спектральной норме. Еще в функциональном анализе, $\lambda _{\max }$известен как спектральный радиус. В контексте C*-алгебр или алгебраической квантовой механики функция, которая с M связывает фактор Рэлея R ( M , x ) для фиксированных x и M , изменяющихся в алгебре, будет называться «векторным состоянием» алгебры. .

См. также

• Сложная симметричная матрица — матрица равна ее транспонированной странице. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Формула аддитивности инерции Хейнсворта - подсчитывает положительные, отрицательные и нулевые собственные значения эрмитовой матрицы, разделенной на блоки.
• Эрмитова форма – обобщение билинейной формы. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Нормальная матрица - матрица, которая коммутирует с сопряженным ей транспонированием.
• Теорема Шура – ​​Хорна - характеризует диагональ эрмитовой матрицы с заданными собственными значениями.
• Самосопряженный оператор - линейный оператор, равный своему сопряженному оператору.
• Косо-эрмитова матрица - матрица, сопряженная транспонирование которой является ее отрицательным (аддитивным обратным) (антиэрмитова матрица).
• Унитарная матрица - Комплексная матрица, сопряженное транспонирование которой равно ее обратной.
• Векторное пространство - алгебраическая структура в линейной алгебре

Внешние ссылки

• «Эрмитова матрица» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Визуализация эрмитовой матрицы как эллипса с доктором Гео , выполненная Чао-Куэй Хунгом из Университета Чаоян, дает более геометрическое объяснение.
• «Эрмитовы матрицы» . MathPages.com .