Одномогущий

Эта статья об алгебраическом термине. Чтобы узнать о биологической клетке, способной развиваться только в один тип клеток, см. Потенциал клетки § Унипотентность .

В математике r унипотентным элементом кольца R является r такой элемент, что − 1 является нильпотентным элементом ; другими словами, ( r − 1) ^н равен нулю для некоторого n .

В частности, квадратная матрица M является унипотентной матрицей тогда и только тогда, когда ее характеристический многочлен P ( t ) является степенью t - 1. Таким образом, все собственные значения унипотентной матрицы равны 1.

Термин «квазиунипотентный» означает, что некоторая степень является унипотентной, например, для диагонализуемой матрицы с собственными значениями, все корни которых равны единице .

В теории алгебраических групп групповой элемент унипотентен , если он действует унипотентно в некотором естественном представлении группы . Тогда унипотентная аффинная алгебраическая группа — это группа, все элементы которой унипотентны.

Определение

Определение с помощью матриц

Рассмотрим группу $\mathbb {U} _{n}$ верхнетреугольных матриц с $1$вдоль диагонали, поэтому они представляют собой группу матриц

$\mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.$

Тогда унипотентную группу можно определить как подгруппу некоторого $\mathbb {U} _{n}$. Используя теорию схем, группа $\mathbb {U} _{n}$ можно определить как групповую схему

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)$

и аффинная групповая схема унипотентна, если она является замкнутой групповой схемой этой схемы.

колец

Элемент x аффинной алгебраической группы унипотентен, когда связанный с ним оператор правого сдвига r _x на аффинном координатном кольце A [ G ] группы G локально унипотентен как элемент кольца линейного эндоморфизма группы A [ G ]. (Локально унипотентный означает, что его ограничение на любое конечномерное стабильное подпространство A [ G ] унипотентно в обычном теоретико-кольцевом смысле.)

Аффинная алгебраическая группа называется унипотентной , если все ее элементы унипотентны. Любая унипотентная алгебраическая группа изоморфна замкнутой подгруппе группы верхнетреугольных матриц с диагональными элементами 1, и наоборот, любая такая подгруппа унипотентна. В частности, любая унипотентная группа является нильпотентной группой , хотя обратное неверно (контрпример: диагональные матрицы GL _n ( k )).

Например, стандартное представление $\mathbb {U} _{n}$ на $k^{n}$ со стандартной базой $e_{i}$ имеет фиксированный вектор $e_{1}$.

с

Если унипотентная группа действует на аффинном многообразии , все ее орбиты замкнуты, а если она действует линейно на конечномерном векторном пространстве , то она имеет ненулевой фиксированный вектор. Фактически последнее свойство характеризует унипотентные группы. В частности, это означает, что не существует нетривиальных полупростых представлений .

Примеры

А _н

Конечно, группа матриц $\mathbb {U} _{n}$ является унипотентным. Использование нижнего центрального ряда

$\mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e$

где

$\mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]$ и $\mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]$

существуют ассоциированные унипотентные группы. Например, на $n=4$, центральный ряд – это группы матриц

$\mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$, $\mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$, $\mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$, и $\mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$

приведены некоторые индуцированные примеры унипотентных групп.

Г _а ^н

Группа добавок $\mathbb {G} _{a}$ является унипотентной группой ввиду вложения

$a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}$

Обратите внимание, что умножение матрицы дает

${\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}$

следовательно, это групповое вложение. В более общем смысле существует вложение $\mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}$ с карты

$(a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}$

Используя теорию схем, $\mathbb {G} _{a}$ задается функтором

${\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}$

где

$(X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)$

Ядро Фробениуса

Рассмотрим функтор ${\mathcal {O}}$ в подкатегории ${\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}$, есть подфунктор $\alpha _{p}$ где

$\alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}$

поэтому оно задается ядром эндоморфизма Фробениуса .

Классификация унипотентных групп по характеристике 0

Над характеристикой 0 существует хорошая классификация унипотентных алгебраических групп относительно нильпотентных алгебр Ли . Напомним, что нильпотентная алгебра Ли является подалгеброй некоторой ${\mathfrak {gl}}_{n}$ так что повторяющееся сопряженное действие в конечном итоге заканчивается нулевым отображением. В терминах матриц это означает, что это подалгебра ${\mathfrak {g}}$ из ${\mathfrak {n}}_{n}$, матрицы с $a_{ij}=0$ для $i\leq j$.

Тогда имеет место эквивалентность категорий конечномерных нильпотентных алгебр Ли и унипотентных алгебраических групп. ^{стр. 261} Это можно построить с помощью ряда Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа. $H(X,Y)$, где для конечномерной нильпотентной алгебры Ли отображение

$H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)$

дает структуру унипотентной алгебраической группы на ${\mathfrak {g}}$.

В другом направлении экспоненциальное отображение преобразует любую нильпотентную квадратную матрицу в унипотентную. Более того, если U — коммутативная унипотентная группа, экспоненциальное отображение индуцирует изоморфизм алгебры Ли U в U. саму

Замечания

Унипотентные группы над алгебраически замкнутым полем любой заданной размерности в принципе можно классифицировать, но на практике сложность классификации очень быстро возрастает с увеличением размерности, поэтому люди склонны сдаваться где-то около 6-го измерения.

Односильный радикал

Унипотентный радикал алгебраической группы G это множество унипотентных элементов в радикале группы G. — Это связная унипотентная нормальная подгруппа группы G и содержит все остальные такие подгруппы. Группа называется редуктивной, если ее унипотентный радикал тривиален. Если G редуктивна, то ее радикал является тором.

Разложение алгебраических групп

Алгебраические группы можно разложить на унипотентные группы, мультипликативные группы и абелевы многообразия , но утверждение о том, как они разлагаются, зависит от характеристики их основного поля .

Характеристика 0

Над характеристикой 0 существует хорошая теорема о разложении алгебраической группы $G$ связывая ее структуру со структурой линейной алгебраической группы и абелева многообразия . Существует короткая точная последовательность групп ^{стр. 8}

$0\to M\times U\to G\to A\to 0$

где $A$ является абелевой разновидностью, $M$ имеет мультипликативный тип (т.е. $M$ геометрически является произведением торов и алгебраических групп вида $\mu _{n}$) и $U$ является унипотентной группой.

Характеристика p

Когда характеристика основного поля равна p, существует аналогичное утверждение. для алгебраической группы $G$: существует наименьшая подгруппа $H$ такой, что

1. $G/H$ это унипотентная группа
2. $H$ является расширением абелева многообразия $A$ группой $M$ мультипликативного типа.
3. $M$ единственна с точностью до соизмеримости по $G$ и $A$ единственна с точностью до изогении .

Жордановое разложение

Основная статья: разложение Жордана – Шевалле

Любой элемент g линейной алгебраической группы над совершенным полем можно однозначно записать как произведение g = g _u    g _s коммутирующих унипотентных и полупростых элементов g _u и g _s . В случае группы GL _n ( C ) это по существу говорит о том, что любая обратимая комплексная матрица сопряжена произведению диагональной матрицы и верхнетреугольной матрицы, что является (более или менее) мультипликативным вариантом матрицы Жордана–Шевалле. разложение .

Существует также вариант разложения Жордана для групп: любая коммутативная линейная алгебраическая группа над совершенным полем является произведением унипотентной группы и полупростой группы.

См. также

• Редуктивная группа
• Унипотентное представление
• Теория Делиня – Люстига

Ссылки

• А. Борель, Линейные алгебраические группы , ISBN   0-387-97370-2
• Борель, Арманд (1956), «Линейные алгебраические группы», Анналы математики , вторая серия, 64 (1), Анналы математики: 20–82, номер документа : 10.2307/1969949 , JSTOR   1969949
• Попов, В.Л. (2001) [1994], «унипотентный элемент» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Попов, В.Л. (2001) [1994], «унипотентная группа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], «унипотентная матрица» , Энциклопедия Математики , EMS Press