Соизмеримость (теория групп)

Не путать с соизмеримостью (математика) .

В математике , особенно в теории групп , две группы соизмеримы , если они различаются лишь на конечную величину в точном смысле. Соизмерителем является подгруппы другая подгруппа, связанная с нормализатором .

Соизмеримость в теории групп

Две группы G1 _, и G2 _, называются абстрактно ) соизмеримыми существуют H1 _​ ⊂ G1 _​ и H2 _​ ⊂ G2 _​ индекса конечного ​ такие H1 _если изоморфна что H2 подгруппы ₍ . Например:

• Группа конечна тогда и только тогда, когда она соизмерима с тривиальной группой.
• Любые две конечно порожденные свободные группы не менее чем с двумя образующими соизмеримы друг с другом. Группа SL (2, Z ) также соизмерима с этими свободными группами.
• Любые две группы поверхностей рода не ниже 2 соизмеримы между собой.

Другое, но родственное понятие используется для подгрупп данной группы. А именно, две подгруппы Γ ₁ и Γ ₂ группы G называются соизмеримыми, если пересечение Γ ₁ ∩ Γ ₂ имеет конечный индекс как в Γ ₁ , так и в Γ ₂ . Очевидно, отсюда следует, что Γ ₁ и Γ ₂ абстрактно соизмеримы.

Пример: для ненулевых действительных чисел a и b подгруппа R, a , соизмерима с подгруппой, порожденной тогда и только тогда, когда действительные числа a и b соизмеримы порожденная , что означает, что a / b принадлежит рациональным числам Q. b

В геометрической теории групп рассматривается конечно порожденная группа как метрическое пространство, используя слово метрика . Если две группы (абстрактно) соизмеримы, то они квазиизометричны . Было полезно задаться вопросом, когда справедливо обратное.

Аналогичное понятие существует в линейной алгебре: два линейных подпространства S и T векторного пространства V соизмеримы , если пересечение S ∩ T имеет конечную коразмерность как в S, так и в T .

В топологии

Два линейно-связных топологических пространства иногда называют соизмеримыми, если они имеют гомеоморфные конечнолистные накрытия . В зависимости от типа рассматриваемого пространства может возникнуть желание использовать в определении гомотопические эквивалентности или диффеоморфизмы вместо гомеоморфизмов. По отношению между накрывающими пространствами и фундаментальной группой соизмеримые пространства имеют соизмеримые фундаментальные группы.

Пример: многообразие Гизекинга соизмеримо с дополнением узла восьмерки ; оба они являются некомпактными гиперболическими 3-многообразиями конечного объема. С другой стороны, существует бесконечно много различных классов соизмеримости компактных гиперболических 3-многообразий, а также некомпактных гиперболических 3-многообразий конечного объема.

Соизмеритель

Соизмерителем подгруппы Γ группы G , обозначаемым Comm _G (Γ), является множество элементов g группы G , таких, что сопряженная подгруппа g Γ g ⁻¹ соизмерима с Γ. Другими словами,

$\operatorname {Comm} _{G}(\Gamma )=\{g\in G:g\Gamma g^{-1}\cap \Gamma {\text{ has finite index in both }}\Gamma {\text{ and }}g\Gamma g^{-1}\}.$

Это подгруппа группы G , содержащая нормализатор NG _{( Γ} ) (и, следовательно, содержащая Γ).

Например, соизмеритель специальной линейной группы SL ( n , Z ) в SL ( n , R ) содержит SL ( n , Q ). В частности, соизмеритель SL ( n , Z ) в SL ( n , R ) плотен в SL ( n , R ). В более общем плане Григорий Маргулис что соизмеритель решетки Γ в полупростой группе Ли G плотен в G тогда и только тогда, когда Γ является арифметической подгруппой G показал , .

Абстрактный соизмеритель

Абстрактный соизмеритель группы $G$, обозначается Comm $(G)$, – группа классов эквивалентности изоморфизмов $\phi :H\to K$, где $H$ и $K$ являются подгруппами конечного индекса группы $G$, в составе. Элементы ${\text{Comm}}(G)$ называются соизмерителями ​ $G$.

Если $G$ — связная полупростая группа Ли, не изоморфная ${\text{PSL}}_{2}(\mathbb {R} )$, с тривиальным центром и без компактных факторов, то по теореме Мостоу о жесткости абстрактный соизмеритель любой неприводимой решетки $\Gamma \leq G$ является линейным. Более того, если $\Gamma$ это арифметика, то Comm $(\Gamma )$ практически изоморфна плотной подгруппе $G$, в противном случае связь $(\Gamma )$ практически изоморфен $\Gamma$.

Ссылки

• Друцу, Корнелия ; Капович, Майкл (2018), Геометрическая теория групп , Американское математическое общество , ISBN  9781470411046 , МР   3753580
• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003), Арифметика гиперболических трехмерных многообразий , Springer Nature , ISBN  0-387-98386-4 , МР   1937957
• Маргулис, Григорий (1991), Дискретные подгруппы полупростых групп Ли , Springer Nature , ISBN  3-540-12179-Х , МР   1090825