Фундаментальная группа

Чтобы узнать о фундаментальной группе фактора, см. «Алгебра фон Неймана» .

В математической области алгебраической топологии фундаментальной группой топологического пространства является группа при классов эквивалентности гомотопии петель , содержащихся в пространстве. Он записывает информацию об основной форме или дырах топологического пространства. Фундаментальная группа — это первая и простейшая гомотопическая группа . Фундаментальная группа является гомотопически инвариантным — топологические пространства, гомотопически эквивалентные (или в более сильном случае гомеоморфных ), имеют изоморфные фундаментальные группы. Фундаментальная группа топологического пространства $X$ обозначается $\pi _{1}(X)$.

Интуиция

Начинаем с пространства (например, поверхности ) , и какой-то точки в нем, и всех циклов, как начинающихся, так и заканчивающихся в этой точке — путей, которые начинаются в этой точке, блуждают и в конце концов возвращаются в начальную точку. Две петли можно объединить очевидным образом: проехать по первой петле, затем по второй.Две петли считаются эквивалентными, если одну можно деформировать в другую, не разрывая ее. Совокупность всех таких петель с таким способом объединения и этой эквивалентностью между ними является фундаментальной группой для данного конкретного пространства.

История

Анри Пуанкаре определил фундаментальную группу в 1895 году в своей статье « Анализ места ». Понятие возникло в теории римановых поверхностей , в работах Бернхарда Римана , Пуанкаре и Феликса Клейна . Он описывает монодромии свойства комплекснозначных функций, а также обеспечивает полную топологическую классификацию замкнутых поверхностей .

Определение

В этой статье X является топологическим пространством. Типичным примером является поверхность, подобная той, что изображена справа. Более того, $x_{0}$ — это точка в X, называемая базовой точкой . (Как поясняется ниже, ее роль скорее вспомогательная.) Идея определения гомотопической группы состоит в том, чтобы измерить, сколько (вообще говоря) кривых на X можно деформировать друг в друга. Точное определение зависит от понятия гомотопии петель, которое объясняется первым.

Гомотопия петель

Учитывая топологическое пространство X , цикл , основанный на $x_{0}$ определяется как непрерывная функция (также известная как непрерывное отображение)

$\gamma \colon [0,1]\to X$

так, что отправная точка $\gamma (0)$ и конечная точка $\gamma (1)$ оба равны $x_{0}$.

Гомотопия петель

Гомотопия — это непрерывная интерполяция между двумя циклами. Точнее, гомотопия между двумя петлями $\gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X$ (основано в той же точке $x_{0}$) — непрерывное отображение

$h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,$

такой, что

• $h(0,t)=x_{0}$ для всех $t\in [0,1],$ то есть отправной точкой гомотопии является $x_{0}$ для всех t (которое часто рассматривают как параметр времени).
• $h(1,t)=x_{0}$ для всех $t\in [0,1],$ то есть аналогично конечная точка остается на $x_{0}$ для всех т .
• $h(r,0)=\gamma (r),\,h(r,1)=\gamma '(r)$ для всех $r\in [0,1]$.

Если такая гомотопия h существует, $\gamma$ и $\gamma '$ называются гомотопными . Отношение " $\gamma$ гомотопен $\gamma '$«является отношением эквивалентности , поэтому можно рассматривать множество классов эквивалентности:

$\pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}$.

Это множество (со структурой группы, описанной ниже) называется фундаментальной группой топологического пространства X в базовой точке. $x_{0}$. Цель рассмотрения классов эквивалентности петель с точностью до гомотопии, в отличие от множества всех петель (так называемого пространства петель X ) , состоит в том, что последнее, хотя и полезно для различных целей, представляет собой довольно большой и громоздкий объект. . Напротив, приведенный выше коэффициент во многих случаях более управляем и вычислим.

Структура группы

Прибавление петель

Согласно приведенному выше определению, $\pi _{1}(X,x_{0})$ это просто набор. Она становится группой (и поэтому заслуживает названия фундаментальной группы ) с помощью конкатенации циклов. Точнее, учитывая два цикла $\gamma _{0},\gamma _{1}$, их произведение определяется как цикл

$\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X$

$(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}$

Таким образом, цикл $\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}$ сначала следует за циклом $\gamma _{0}$ с «удвоенной скоростью», а затем следует $\gamma _{1}$ с «удвоенной скоростью».

Произведение двух гомотопических классов петель $[\gamma _{0}]$ и $[\gamma _{1}]$ затем определяется как $[\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]$. Можно показать, что это произведение не зависит от выбора представителей и поэтому дает вполне определенную операцию на множестве. $\pi _{1}(X,x_{0})$. Эта операция превращает $\pi _{1}(X,x_{0})$ в группу. Его нейтральным элементом является постоянный контур, который остается в $x_{0}$ на все времена т . Обратной петлей ( гомотопического класса a) является та же петля, но пройденная в противоположном направлении. Более формально,

$\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)$.

Учитывая три основанных цикла $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},$ продукт

$(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}$

представляет собой конкатенацию этих циклов, пересекающую $\gamma _{0}$ а потом $\gamma _{1}$ с четырехкратной скоростью, а затем $\gamma _{2}$ с двойной скоростью. Для сравнения:

$\gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})$

проходит те же пути (в том же порядке), но $\gamma _{0}$ с двойной скоростью и $\gamma _{1},\gamma _{2}$ с четырехкратной скоростью. Таким образом, из-за разных скоростей эти два пути не идентичны. Аксиома ассоциативности ​

$[\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]$

поэтому решающим образом зависит от того факта, что пути рассматриваются с точностью до гомотопии. Действительно, обе упомянутые композиции гомотопны, например, петле, проходящей через все три петли $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}$ с тройной скоростью. Таким образом, множество базовых циклов с точностью до гомотопии, снабженное указанной выше операцией, действительно превращается $\pi _{1}(X,x_{0})$ в группу.

Зависимость базовой точки

Хотя фундаментальная группа вообще зависит от выбора базовой точки, оказывается, что с точностью до изоморфизма (фактически даже с точностью до внутреннего изоморфизма) этот выбор не имеет значения, пока пространство X линейно связно . Поэтому для пространств линейной связности многие авторы пишут $\pi _{1}(X)$ вместо $\pi _{1}(X,x_{0}).$

Конкретные примеры

Звездообразный домен является просто связным, поскольку любую петлю можно стянуть к центру домена, обозначаемому $x_{0}$.

В этом разделе перечислены некоторые основные примеры фундаментальных групп. Начнем с того, что в евклидовом пространстве ( $\mathbb {R} ^{n}$) или любое выпуклое подмножество $\mathbb {R} ^{n},$ существует только один гомотопический класс петель, поэтому фундаментальная группа — это тривиальная группа с одним элементом. В более общем смысле, любая звездная область – и, еще шире, любое сжимаемое пространство – имеет тривиальную фундаментальную группу. Таким образом, фундаментальная группа не делает различия между такими пространствами.

2-сфера

Петля на двумерной сфере (поверхности шара), стягивающаяся в точку

Линейно-связное пространство, фундаментальная группа которого тривиальна, называется односвязным . Например, 2-сфера $S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ изображенные справа, а также все многомерные сферы односвязны. На рисунке показана гомотопия, сжимающая одну конкретную петлю до постоянной. Эту идею можно адаптировать ко всем петлям. $\gamma$ такой, что есть точка $(x,y,z)\in S^{2}$ это не на картинке $\gamma .$ Однако, поскольку существуют циклы такие, что $\gamma ([0,1])=S^{2}$ (построенное на основе кривой Пеано , например, ), полное доказательство требует более тщательного анализа с использованием инструментов алгебраической топологии, таких как теорема Зейферта – Ван Кампена или теорема клеточной аппроксимации .

Круг

Элементы гомотопической группы окружности

Круг ( также известный как 1-сфера)

$S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$

не просто связано. Вместо этого каждый гомотопический класс состоит из всех петель, которые обвивают окружность заданное количество раз (которое может быть положительным или отрицательным, в зависимости от направления намотки). Произведение цикла, который повторяется m раз, и другого, который повторяется n раз, представляет собой цикл, который повторяется m + n раз. группа окружности изоморфна Следовательно, фундаментальная $(\mathbb {Z} ,+),$ аддитивная группа целых чисел . Этот факт можно использовать для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке. и теорема Борсука–Улама в размерности 2.

Цифра восемь

Фундаментальная группа восьмерки — это свободная группа двух образующих a и b .

Основная группа восьмерки — это свободная группа из двух букв. Идея доказать это заключается в следующем: выбрав в качестве базовой точки точку пересечения двух кругов (черная точка на рисунке справа), любая петля $\gamma$ можно разложить как

$\gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}$

где a и b - две петли, обвивающие каждую половину фигуры, как показано, а показатели степени $n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}$ являются целыми числами. В отличие от $\pi _{1}(S^{1}),$ основная группа восьмерки не абелева : два способа составления a и b не гомотопны друг другу:

$[a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].$

В более общем смысле, основная группа букета из r кругов — это свободная группа из r букв.

Фундаментальная группа клиновой суммы двух путевых пространств X и Y может быть вычислена как свободное произведение отдельных фундаментальных групп:

$\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

Это обобщает приведенные выше наблюдения, поскольку восьмерка представляет собой сумму клина двух кругов.

Фундаментальная группа плоскости, проколотой в n точках, также является свободной группой с n образующими. -й генератор i — это класс цикла, который обходит i -й прокол, не обходя другие проколы.

Графики

Фундаментальную группу можно определить и для дискретных структур. частности, рассмотрим связный граф G ( V , E ) с обозначенной вершиной v0 _В в V. = Циклы в G — это циклы , которые начинаются и заканчиваются в v ₀ . Пусть T — дерево группы G. остовное Каждая простая петля в G содержит ровно одно ребро в E \ T ; каждый цикл в G является конкатенацией таких простых циклов. Следовательно, фундаментальная группа графа — это свободная группа , в которой количество образующих равно числу ребер в E \ T . Это число равно | Е | − | В | + 1 .

Например, предположим, что G имеет 16 вершин, расположенных в 4 ряда по 4 вершины в каждом, причем ребра соединяют вершины, соседние по горизонтали или вертикали. Тогда G имеет всего 24 ребра, а количество ребер в каждом остовном дереве равно 16 − 1 = 15 , поэтому фундаментальная группа G — это свободная группа с 9 образующими. Обратите внимание, что G имеет 9 «дырок», аналогично букету из 9 кругов, имеющему ту же фундаментальную группу.

Группы узлов

Узел трилистник .

Группы узлов по определению являются фундаментальной группой дополнения узла K вложенного , в $\mathbb {R} ^{3}.$ Например, группа узлов узла-трилистника известна как группа кос. $B_{3},$ что дает еще один пример неабелевой фундаментальной группы. явно Представление Виртингера описывает группы узлов в терминах генераторов и отношений, основанных на диаграмме узла. Следовательно, группы узлов имеют некоторое применение в теории узлов для различения узлов: если $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$ не изоморфна какой-либо другой группе узлов $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')$ другого узла K' , то K не может быть преобразован в K' . Таким образом, узел-трилистник не может непрерывно трансформироваться в круг (также известный как неузел ), поскольку последний имеет группу узлов. $\mathbb {Z}$. Однако существуют узлы, которые не могут деформироваться друг в друга, но имеют изоморфные группы узлов.

Ориентированные поверхности

Фундаментальную группу рода n ориентируемой поверхности можно вычислить с помощью образующих и соотношений как

$\left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .$

Сюда входит тор , являющийся случаем рода 1, фундаментальная группа которого равна

$\left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.$

Топологические группы

Фундаментальная группа топологической группы X (по отношению к базовой точке, являющейся нейтральным элементом) всегда коммутативна. В частности, фундаментальная группа группы Ли коммутативна. Фактически, групповая структура на X наделяет $\pi _{1}(X)$ с другой структурой группы: учитывая два цикла $\gamma$ и $\gamma '$ в X еще один цикл $\gamma \star \gamma '$ может быть определено с помощью группового умножения в X :

$(\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).$

Эта бинарная операция $\star$ на множестве всех петель априори не зависит от описанного выше. Однако аргумент Экмана-Хилтона показывает, что он действительно согласуется с вышеупомянутым объединением петель и, более того, что полученная групповая структура является абелевой.

Анализ доказательства показывает, что, в более общем смысле, $\pi _{1}(X)$ является абелевым для любого H-пространства X , т. е. умножение не обязательно должно иметь обратное и не должно быть ассоциативным. Например, это показывает, что фундаментальная группа пространства петель другого топологического пространства Y , $X=\Omega (Y),$ является абелевым. Связанные идеи привели к Хайнцем Хопфом вычислению когомологий группы Ли .

Функциональность

Если $f\colon X\to Y$ представляет собой непрерывное отображение , $x_{0}\in X$ и $y_{0}\in Y$ с $f(x_{0})=y_{0},$ затем каждый цикл $X$ с базовой точкой $x_{0}$ можно составить с $f$ чтобы получить цикл $Y$ с базовой точкой $y_{0}.$ Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и композицией петель. Результирующий групповой гомоморфизм , называемый индуцированным гомоморфизмом , записывается как $\pi (f)$ или, что чаще,

$f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).$

Это отображение непрерывных отображений на гомоморфизмы групп совместимо с композицией отображений и тождественными морфизмами . На языке теории категорий формирование, связывающее топологическое пространство с его фундаментальной группой, является, следовательно, функтором.

${\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}$

из категории топологических пространств вместе с базовой точкой в ​​категорию групп . Оказывается, этот функтор не различает отображения, гомотопные относительно базовой точки: если $f,g:X\to Y$ представляют собой непрерывные карты с $f(x_{0})=g(x_{0})=y_{0}$, а f и g гомотопны относительно { x ₀ }, то f _∗ = g _∗ . Как следствие, два гомотопически эквивалентных линейно-связных пространства имеют изоморфные фундаментальные группы:

$X\simeq Y\implies \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).$

Например, включение окружности в проколотую плоскость

$S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$

является гомотопической эквивалентностью и, следовательно, дает изоморфизм их фундаментальных групп.

Фундаментальный групповой функтор переводит продукты в продукты , а сопутствующие произведения в сопутствующие произведения . То есть, если X и Y связаны путями, то

$\pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0})$

и если они еще и локально стягиваемы , то

$\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

(В последней формуле $\vee$ обозначает клиновую сумму точечных топологических пространств, а $*$ свободное произведение групп.) Последняя формула представляет собой частный случай теоремы Зейферта – Ван Кампена , которая утверждает, что фундаментальный групповой функтор переводит выталкивания вдоль включений в выталкивания.

Абстрактные результаты

Как упоминалось выше, вычисление фундаментальной группы даже относительно простых топологических пространств, как правило, не совсем тривиально, но требует некоторых методов алгебраической топологии .

Связь с первой группой гомологии

Абелианизацию группой фундаментальной группы можно отождествить с первой гомологии пространства.

Частный случай теоремы Гуревича утверждает, что первая сингулярная группа гомологий $H_{1}(X)$ это, говоря в просторечии, ближайшее приближение к фундаментальной группе посредством абелевой группы. Более подробно, отображение гомотопического класса каждой петли в класс гомологий петли дает групповой гомоморфизм

$\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)$

от фундаментальной группы топологического пространства X к его первой особой группе гомологий $H_{1}(X).$ Этот гомоморфизм, вообще говоря, не является изоморфизмом, поскольку фундаментальная группа может быть неабелевой, но группа гомологий по определению всегда абелева. Это отличие, однако, единственное: если X линейно связен, этот гомоморфизм сюръективен и его ядро ​​является коммутантом фундаментальной группы, так что $H_{1}(X)$ изоморфна абелианизации фундаментальной группы.

Склеивание топологических пространств

Обобщая приведенное выше утверждение, для семейства пространств связности путей $X_{i},$ фундаментальная группа ${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$ является свободным продуктом фундаментальных групп $X_{i}.$ Этот факт является частным случаем теоремы Зейферта–ван Кампена , позволяющей вычислять в более общем плане фундаментальные группы пространств, склеенных из других пространств. Например, 2-сфера $S^{2}$ склеив две копии слегка перекрывающихся полусфер вдоль окрестности экватора можно получить , . В этом случае теорема дает $\pi _{1}(S^{2})$ тривиально, поскольку две полусферы сжимаемы и, следовательно, имеют тривиальную фундаментальную группу. Фундаментальные группы поверхностей, как упоминалось выше, также можно вычислить с помощью этой теоремы.

На языке теории категорий теорему можно кратко сформулировать, сказав, что фундаментальный групповой функтор переводит выталкивания (в категории топологических пространств) вдоль включений в выталкивания (в категории групп).

Покрытия

Карта $\mathbb {R} \times [0,1]\to S^{1}\times [0,1]$ является покрытием: прообраз U (выделен серым цветом) представляет собой непересекающееся объединение копий U . Более того, это универсальное покрытие, поскольку $\mathbb {R} \times [0,1]$ сжимаема и, следовательно, односвязна.

Учитывая топологическое пространство B , непрерывное отображение

$f:E\to B$

называется покрытием а E называется покрывающим пространством B , если каждая точка b в B допускает открытую окрестность U такую, что существует гомеоморфизм между прообразом U , и несвязным объединением копий U (индексированных некоторым множеством I ) ,

$\varphi :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)$

таким образом, что $\pi \circ \varphi$ это стандартная карта проекции $\bigsqcup _{i\in I}U\to U.$

Универсальное покрытие

Покрытие называется универсальным, если E , помимо предыдущего условия, односвязно. Оно универсально в том смысле, что все остальные покрытия могут быть построены путем подходящего определения точек в E . Зная универсальное покрытие

$p:{\widetilde {X}}\to X$

топологического пространства X помогает понять его фундаментальную группу несколькими способами: во-первых, $\pi _{1}(X)$ отождествляется с группой преобразований колоды , т. е. с группой гомеоморфизмов $\varphi :{\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}$ которые коммутируют с отображением в X , т.е. $p\circ \varphi =p.$Другое отношение к фундаментальной группе состоит в том, что $\pi _{1}(X,x)$ можно идентифицировать по волокну $p^{-1}(x).$ Например, карта

$p:\mathbb {R} \to S^{1},\,t\mapsto \exp(2\pi it)$

(или, что то же самое, $\pi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\ t\mapsto [t]$) является универсальным покрытием. Преобразования колоды — это карты $t\mapsto t+n$ для $n\in \mathbb {Z} .$ Это соответствует идентификации $p^{-1}(1)=\mathbb {Z} ,$ в частности это доказывает вышеизложенное утверждение $\pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} .$

Любое линейно-связное, локально-путное и локально односвязное топологическое пространство X допускает универсальное накрытие. Абстрактная конструкция аналогична фундаментальной группе, беря пары ( x , γ), где x — точка в X , а γ — гомотопический класс путей от x ₀ до x . универсальному накрытию можно использовать для понимания геометрии X. Переход от топологического пространства к его Например, теорема униформизации показывает, что любая односвязная риманова поверхность (изоморфна) либо $S^{2},$ $\mathbb {C} ,$ или верхняя полуплоскость . Общие римановы поверхности тогда возникают как факторы группового действия на этих трех поверхностях.

Фактор G дискретной свободного действия группы на группу односвязном пространстве Y имеет фундаментальную

$\pi _{1}(Y/G)\cong G.$

Например, реальное n -мерное реальное проективное пространство. $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ получается как фактор n -мерной единичной сферы $S^{n}$ антиподальным действием группы $\mathbb {Z} /2$ отправка $x\in S^{n}$ к $-x.$ Как $S^{n}$ односвязна при n ≥ 2, она является универсальным накрытием $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ в этих случаях, что подразумевает $\pi _{1}(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n})\cong \mathbb {Z} /2$ для n ≥ 2.

Группы лжи

Пусть G — связная односвязная компактная группа Ли , например специальная унитарная группа SU( n конечная подгруппа в G. ), и пусть Γ — Тогда однородное пространство X = G /Γ имеет фундаментальную группу Γ, действующую умножением справа на универсальное накрывающее пространство G . Среди множества вариантов этой конструкции одним из наиболее важных являются локально-симметрические пространства X = Γ \ G / K , где

• G — некомпактная односвязная связная группа Ли (часто полупростая ),
• K — максимальная компактная подгруппа группы G
• Γ — дискретная счетная подгруппа без кручения в G .

В этом случае фундаментальной группой является Γ, а универсальное накрывающее пространство G / K фактически стягиваемо (по разложению Картана для групп Ли).

В качестве примера возьмем G = SL(2, R ), K без кручения = SO(2) и Γ любую конгруэнтную подгруппу модулярной группы SL(2, Z ).

Из явной реализации также следует, что универсальное накрытие линейно связной топологической группы H снова является линейно связной топологической группой G . Более того, накрывающее отображение представляет собой непрерывный открытый гомоморфизм группы G на H с ядром Γ — замкнутой дискретной нормальной подгруппой группы G :

$1\to \Gamma \to G\to H\to 1.$

Поскольку G — связная группа с непрерывным действием сопряжением на дискретной группе Γ, она должна действовать тривиально, так что Γ должна быть подгруппой центра группы G . В частности, π ₁ ( H ) = Γ — абелева группа ; это также можно легко увидеть непосредственно, не используя перекрытия. Группа G называется накрывающей H. группой универсальной

Как предполагает универсальная покрывающая группа, существует аналогия между фундаментальной группой топологической группы и центром группы; это разработано в Решетке покрывающих групп .

Расслоения

Расслоения предоставляют очень мощное средство для вычисления гомотопических групп. Расслоение так называемого тотального пространства и базового пространства B обладает, в частности, тем свойством, что все его слои $f^{-1}(b)$ гомотопически эквивалентны и поэтому не могут быть различимы с помощью фундаментальных групп (и высших гомотопических групп) при условии, что B линейно связна. Следовательно, пространство E можно рассматривать как « скрученное произведение» базового пространства B и слоя $F=f^{-1}(b).$ Большое значение расслоений для вычисления гомотопических групп проистекает из длинной точной последовательности

$\dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)$

при условии, что B является связным по пути. Термин $\pi _{2}(B)$ — вторая гомотопическая группа B из , которая определяется как множество гомотопических классов отображений $S^{2}$ к B , по прямой аналогии с определением $\pi _{1}.$

Если E оказывается линейно-связным и односвязным, эта последовательность сводится к изоморфизму

$\pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)$

что обобщает приведенный выше факт об универсальном накрытии (что соответствует случаю, когда слой F также дискретен). Если вместо этого F оказывается связным и односвязным, оно сводится к изоморфизму.

$\pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).$

Более того, последовательность можно продолжить слева с высшими гомотопическими группами. $\pi _{n}$ из трех пространств, что дает некоторый доступ к вычислению таких групп в том же духе.

Классические группы Ли

Такие последовательности слоев можно использовать для индуктивного вычисления фундаментальных групп компактных классических групп Ли, таких как специальная унитарная группа. $\mathrm {SU} (n),$ с $n\geq 2.$ Эта группа действует транзитивно на единичной сфере. $S^{2n-1}$ внутри $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}.$ Стабилизатор точки сферы изоморфен $\mathrm {SU} (n-1).$ Тогда это можно будет показать что это дает последовательность волокон

$\mathrm {SU} (n-1)\to \mathrm {SU} (n)\to S^{2n-1}.$

С $n\geq 2,$ сфера $S^{2n-1}$ имеет размерность не менее 3, что означает

$\pi _{1}(S^{2n-1})\cong \pi _{2}(S^{2n-1})=1.$

Тогда длинная точная последовательность демонстрирует изоморфизм

$\pi _{1}(\mathrm {SU} (n))\cong \pi _{1}(\mathrm {SU} (n-1)).$

С $\mathrm {SU} (1)$ это одна точка, так что $\pi _{1}(\mathrm {SU} (1))$ тривиально, это показывает, что $\mathrm {SU} (n)$ просто подключен для всех $n.$

Фундаментальную группу некомпактных групп Ли можно свести к компактному случаю, поскольку такая группа гомотопна своей максимальной компактной подгруппе. Эти методы дают следующие результаты:

Компактная классическая группа Ли G	Некомпактная группа Ли	$\pi _{1}$
специальная унитарная группа $\mathrm {SU} (n)$	$\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )$	1
унитарная группа $\mathrm {U} (n)$	$\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ),\mathrm {Sp} (n,\mathbb {R} )$	$\mathbb {Z}$
специальная ортогональная группа $\mathrm {SO} (n)$	$\mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )$	$\mathbb {Z} /2$ для $n\geq 3$ и $\mathbb {Z}$ для $n=2$
компактная симплектическая группа $\mathrm {Sp} (n)$	$\mathrm {Sp} (n,\mathbb {C} )$	1

Второй метод вычисления фундаментальных групп применим ко всем связным компактным группам Ли и использует аппарат максимального тора и связанной с ним системы корней . Конкретно, пусть $T$ — максимальный тор в связной компактной группе Ли $K,$ и пусть ${\mathfrak {t}}$ — Ли алгебра $T.$ Экспоненциальная карта

$\exp :{\mathfrak {t}}\to T$

является расслоением и, следовательно, его ядром $\Gamma \subset {\mathfrak {t}}$ идентифицирует себя с $\pi _{1}(T).$ Карта

$\pi _{1}(T)\to \pi _{1}(K)$

можно показать как сюръективный с ядром, заданным множеством I целочисленной линейной комбинации корней . Это приводит к вычислению

$\pi _{1}(K)\cong \Gamma /I.$

Этот метод показывает, например, что любая связная компактная группа Ли, для которой соответствующая корневая система имеет тип $G_{2}$ просто связано. Таким образом, существует (с точностью до изоморфизма) только одна связная компактная группа Ли, имеющая алгебру Ли типа $G_{2}$; эта группа односвязна и имеет тривиальный центр.

Группа ребер-путей симплициального комплекса

Когда топологическое пространство гомеоморфно симплициальному комплексу , его фундаментальная группа может быть описана явно в терминах образующих и отношений .

Если X — связный симплициальный комплекс, путь ребра в X определяется как цепочка вершин, соединенных ребрами в X . Два реберных пути называются реберно-эквивалентными, если один можно получить из другого путем последовательного переключения между ребром и двумя противоположными ребрами треугольника в X . Если v — фиксированная вершина в X , петля ребер в v — это путь ребра, начинающийся и заканчивающийся в v . Группа реберных путей E ( X , v ) определяется как набор классов эквивалентности ребер реберных петель в точке v , с произведением и обратным значением, определяемым конкатенацией и обращением реберных петель.

Группа ребер-путей естественно изоморфна π ₁ (| X |, v ), фундаментальной группе геометрической реализации | Х | из Х. ​ Поскольку оно зависит только от 2-скелета X ² X (т. е . вершины, ребра и треугольники X ), группы π ₁ (| X |, v ) и π ₁ (| X ² |, v ) изоморфны.

Группу ребер-путей можно явно описать с помощью генераторов и отношений . Если T — максимальное остовное дерево в 1-скелете X , , то E ( X , v ) канонически изоморфно группе с генераторами (ориентированные реберные пути X не встречающиеся в T ) и отношениями (реберные эквивалентности соответствующие треугольникам в X ). Аналогичный результат имеет место, если T заменить любым односвязным , в частности стягиваемым, подкомплексом X . Это часто дает практический способ вычисления фундаментальных групп и может быть использовано, чтобы показать, что каждая конечно представленная группа возникает как фундаментальная группа конечного симплициального комплекса. Это также один из классических методов, используемых для топологических поверхностей , которые классифицируются по их фундаментальным группам.

Универсальное накрывающее пространство конечного связного симплициального комплекса X также можно описать непосредственно как симплициальный комплекс с использованием реберных путей. Его вершинами являются пары ( w ,γ), где w — вершина X , а γ — класс рёберной эквивалентности путей из v в w . k -симплексам , -симплексы, содержащие ( w ,γ), естественным образом соответствуют k содержащим w . Каждая новая вершина u -симплекса k дает ребро wu и, следовательно, посредством конкатенации новый путь γ _u из v в u . Точки ( w ,γ) и ( u ,γu ₎ являются вершинами «переносимого» симплекса в универсальном накрывающем пространстве. Группа ребер-путей действует естественным образом путем конкатенации, сохраняя симплициальную структуру, а факторпространство — это просто X .

Хорошо известно, что этот метод можно использовать и для вычисления фундаментальной группы произвольного топологического пространства. Это, несомненно, было известно Эдуарду Чеху и Жану Лере и явно появилось как замечание в статье Андре Вейля ; различные другие авторы, такие как Лоренцо Калаби, У Вэнь-цюн и Нодар Берикашвили, также опубликовали доказательства. В простейшем случае компакта X с конечным открытым покрытием, в котором все непустые конечные пересечения открытых множеств в покрытии стягиваемы, фундаментальную группу можно отождествить с группой путей ребер симплициального комплекса, соответствующей нерв покрова .

Реализуемость

• Каждую группу можно реализовать как фундаментальную группу связного CW-комплекса размерности 2 (или выше). Однако, как отмечалось выше, только свободные группы . в качестве фундаментальных групп одномерных CW-комплексов (то есть графов) могут выступать
• Любую конечно определенную группу можно реализовать как фундаментальную группу компактного связного гладкого многообразия размерности 4 (или выше). Но существуют строгие ограничения на то, какие группы могут выступать в качестве фундаментальных групп маломерных многообразий. Например, никакая свободная абелева группа ранга 4 или выше не может быть реализована как фундаментальная группа многообразия размерности 3 или меньше. Можно доказать, что каждая группа может быть реализована как фундаментальная группа компакта Хаусдорфа тогда и только тогда, когда не существует измеримого кардинала .

Связанные понятия

Высшие гомотопические группы

Грубо говоря, фундаментальная группа обнаруживает одномерную дырочную структуру пространства, но не дыры более высокой размерности, такие как двумерная сфера. Такие «дырки более высокой размерности» можно обнаружить с помощью групп высших гомотопий. $\pi _{n}(X)$, которые определены как состоящие из гомотопических классов карт (сохраняющих базовую точку) из $S^{n}$ до Х. ​Например, из теоремы Гуревича следует, что для всех $n\geq 1$ -я n гомотопическая группа n -сферы есть

$\pi _{n}(S^{n})=\mathbb {Z} .$

Как было упомянуто в приведенном выше расчете $\pi _{1}$ классических групп Ли высшие гомотопические группы могут быть полезны даже для вычисления фундаментальных групп.

Циклическое пространство

Множество базовых петель (как есть, т.е. не доведенных до гомотопии) в точечном пространстве X , наделенное компактной открытой топологией , известно как пространство петель , обозначаемое $\Omega X.$ Фундаментальная группа X находится в биекции с набором компонентов пути своего пространства петель:

$\pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).$

Фундаментальный группоид

Фундаментальный группоид — это вариант фундаментальной группы, который полезен в ситуациях, когда выбор базовой точки $x_{0}\in X$ нежелательно. определяется путем сначала рассмотрения категории путей Он в $X,$ т. е. непрерывные функции

$\gamma \colon [0,r]\to X$,

где r — произвольное неотрицательное действительное число. Поскольку в этом подходе длина r является переменной, такие пути могут быть объединены как есть (т. е. не с точностью до гомотопии) и, следовательно, дать категорию. Два таких пути $\gamma ,\gamma '$ с теми же конечными точками и длиной r , соотв. r' считаются эквивалентными, если существуют действительные числа $u,v\geqslant 0$ такой, что $r+u=r'+v$ и $\gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X$ гомотопны относительно своих концов, где $\gamma _{u}(t)={\begin{cases}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u].\end{cases}}$

Категория путей до этого отношения эквивалентности обозначается $\Pi (X).$ Каждый морфизм в $\Pi (X)$ является изоморфизмом , обратный которому соответствует тому же пути, пройденному в противоположном направлении. Такая категория называется группоидом . Он воспроизводит фундаментальную группу, поскольку

$\pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi (X)}(x_{0},x_{0})$.

В более общем смысле можно рассматривать фундаментальный группоид на множестве A базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации; например, в случае круга, который можно представить как объединение двух связанных открытых множеств, пересечение которых имеет два компонента, можно выбрать одну базовую точку в каждом компоненте. Теорема Ван Кампена допускает версию для фундаментальных группоидов, которая дает, например, другой способ вычисления фундаментальной группы (оида) $S^{1}.$

Локальные системы

Вообще говоря, представления могут служить для демонстрации особенностей группы путем ее воздействия на другие математические объекты, часто векторные пространства . Представления фундаментальной группы имеют весьма геометрическое значение: любая локальная система (т. е. пучок ${\mathcal {F}}$ на X с тем свойством, что локально в достаточно малой окрестности U любой точки на X ограничение F представляет собой постоянный пучок вида ${\mathcal {F}}|_{U}=\mathbb {Q} ^{n}$) порождает так называемое представление монодромии — представление фундаментальной группы на n - мерном пространстве. $\mathbb {Q}$-векторное пространство. И наоборот , любое такое представление в линейно-связном пространстве X возникает таким образом. Эта эквивалентность категорий между представлениями $\pi _{1}(X)$ и локальных систем используется, например, при исследовании дифференциальных уравнений , таких как уравнения Книжника–Замолодчикова .

Этальная фундаментальная группа

В алгебраической геометрии так называемая этальная фундаментальная группа . в качестве замены фундаментальной группы используется Поскольку топология Зариского на алгебраическом многообразии или схеме X гораздо грубее , чем, скажем, топология открытых подмножеств в $\mathbb {R} ^{n},$ уже не имеет смысла рассматривать непрерывные отображения интервала в X . Вместо этого подход, развитый Гротендиком, состоит в построении $\pi _{1}^{\text{et}}$ рассматривая все этальные накрытия X . конечные Они служат алгебро-геометрическим аналогом покрытий с конечными слоями.

Это дает теорию, применимую в ситуации, когда классическая топологическая интуиция большой общности недоступна, например, для многообразий, определенных над конечным полем . Кроме того, этальная фундаментальная группа поля — это его ( абсолютная ) группа Галуа . С другой стороны, для гладких многообразий X над комплексными числами этальная фундаментальная группа сохраняет большую часть информации, присущей классической фундаментальной группе: первая является проконечным пополнением второй.

Фундаментальная группа алгебраических групп

Фундаментальная группа корневой системы определяется аналогично вычислению групп Ли. Это позволяет определить и использовать фундаментальную группу полупростой линейной алгебраической группы G , которая является полезным базовым инструментом в классификации линейных алгебраических групп.

Фундаментальная группа симплициальных множеств

Отношение гомотопии между 1-симплексами симплициального множества X является отношением эквивалентности, если X является комплексом Кана, но в общем случае это не обязательно так. Таким образом, $\pi _{1}$ комплекса Кана можно определить как множество гомотопических классов 1-симплексов. Фундаментальная группа произвольного симплициального множества X определяется как гомотопическая группа его топологической реализации , $|X|,$ т. е. топологическое пространство, полученное путем склеивания топологических симплексов, как предписано симплициальной структурой множества X .

См. также

• Фундаментальная группа орбифолда
• Фундаментальная групповая схема

Ссылки

• Адамс, Джон Франк (1978), Пространства бесконечных петель , Анналы математических исследований, том. 90, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-08207-3 , МР   0505692
• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды , Booksurge, ISBN  1-4196-2722-8
• Бамп, Дэниел (2013), Группы лжи , Тексты для выпускников по математике, том. 225 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-1-4614-8024-2 , ISBN.  978-1-4614-8023-5
• Кроуэлл, Ричард Х.; Фокс, Ральф (1963), Введение в теорию узлов , Спрингер
• Эль Зейн, Фуад; Сучу, Александр И.; Тосун, Мерал; Улудаг, Мухаммед; Юзвинский, Сергей (2010), Расположение, локальные системы и особенности: Летняя школа CIMPA, Университет Галатасарай, Стамбул, 2007 , ISBN  978-3-0346-0208-2
• Форстер, Отто (1981), Лекции о римановых поверхностях , ISBN  0-387-90617-7
• Фултон, Уильям (1995), Алгебраическая топология: первый курс , Springer, ISBN  9780387943275
• Гёрсс, Пол Г.; Джардин, Джон Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопии , Progress in Mathematics, vol. 174, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN  978-3-7643-6064-1
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Семинар по алгебраической геометрии в Буа Мари - 1960-61 - Плоские накрытия и фундаментальная группа - (SGA 1) (Математические документы 3 ) , Париж: Société Mathématique de France , стр. xviii+327, см. Exp. V, IX, X, arXiv : math.AG/0206203 , ISBN  978-2-85629-141-2
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0
• Питер Хилтон и Шон Уайли , Теория гомологии , издательство Кембриджского университета (1967) [предупреждение: эти авторы используют контрагомологии для когомологий ]
• Хамфрис, Джеймс Э. (2004), Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике, Springer, ISBN  9780387901084
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , ISBN  0-387-90052-7
• Маундер, CRF (январь 1996 г.), Алгебраическая топология , Dover Publications , ISBN  0-486-69131-4
• Мэсси, Уильям С. (1991), Базовый курс алгебраической топологии , Springer, ISBN  038797430X
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии , ISBN  9780226511832
• Дин Монтгомери и Лео Зиппин, Группы топологических преобразований , Interscience Publishers (1955)
• Манкрес, Джеймс Р. (2000), Топология , Прентис Холл , ISBN  0-13-181629-2
• Ротман, Джозеф (22 июля 1998 г.), Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag , ISBN  0-387-96678-1
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин/Бостон: Уолтер Де Грюйтер, ISBN  978-3-11-031622-3
• Зайферт, Герберт ; Трелфолл, Уильям (1980), Учебник топологии , перевод Хайля, Вольфганга, Academic Press , ISBN  0-12-634850-2
• Певец, Айседор. М .; Торп, Дж. А. (10 декабря 1976 г.), конспекты лекций по элементарной топологии и геометрии , ISBN  0-387-90202-3
• Спэньер, Эдвин Х. (1989), Алгебраическая топология , Springer, ISBN  0-387-94426-5
• Стром, Джеффри (2011), Современная классическая теория гомотопии , AMS, ISBN  9780821852866

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная группа» . Математический мир .
• Дилан Г.Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема ван Кампена : обсуждение фундаментального группоида топологического пространства и фундаментального группоида симплициального множества
• Анимации Николя Делану, знакомящие с фундаментальной группой.
• Наборы базовых точек и фундаментальные группоиды: обсуждение mathoverflow
• Группоиды в математике