Постоянная связка

В математике постоянный пучок топологического пространства . $X$ связанный с набором $A$ представляет собой связку множеств на $X$ чьи стебли все равны $A$ . Это обозначается ${\underline {A}}$ или $A_{X}$ . Постоянный предпучок со значением $A$ - это предпучок , который назначается каждому открытому подмножеству $X$ Значение $A$ , и все карты ограничений которого являются картой идентичности $A\to A$ . Постоянный пучок, связанный с $A$ является сучификацией постоянного предпучка, связанного с $A$ . Этот пучок отождествляется с пучком локально постоянных $A$ -значные функции на $X$ . ^[1]

В некоторых случаях набор $A$ можно заменить объектом $A$ в какой-то категории ${\textbf {C}}$ (например, когда ${\textbf {C}}$ — категория абелевых групп или коммутативных колец ).

Постоянные пучки абелевых групп появляются, в частности, как коэффициенты пучковых когомологий .

Основы [ править ]

Позволять $X$ быть топологическим пространством, и $A$ множество. Сечения постоянного пучка ${\underline {A}}$ на открытом сете $U$ можно интерпретировать как непрерывные функции $U\to A$ , где $A$ задана дискретная топология . Если $U$ связно , то эти локально постоянные функции постоянны. Если $f:X\to \{{\text{pt}}\}$ является уникальным отображением одноточечного пространства и $A$ рассматривается как пучок на $\{{\text{pt}}\}$ , то прообраз $f^{-1}A$ постоянный пучок ${\underline {A}}$ на $X$ . Пучковое пространство ${\underline {A}}$ это карта проекции $A$ (где $X\times A\to X$ задана дискретная топология).

Подробный пример [ править ]

Постоянный предпучок на двухточечном дискретном пространстве

Позволять $X$ — топологическое пространство, состоящее из двух точек $p$ и $q$ с дискретной топологией . $X$ имеет четыре открытых набора: $\varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}$ . Пять нетривиальных включений открытых множеств $X$ показаны на графике.

Предварительный пучок на $X$ выбирает набор для каждого из четырех открытых наборов $X$ и карту ограничений для каждого из включений (с тождественной картой для $U\subset U$ ). Постоянный предпучок со значением ${\textbf {Z}}$ , обозначенный $F$ , является предпучком, в котором находятся все четыре набора ${\textbf {Z}}$ , целые числа и все карты ограничений являются тождественными. $F$ является функтором на диаграмме включений (предпучком), поскольку он постоянен. Он удовлетворяет аксиоме склейки, но не является пучком, поскольку не соответствует аксиоме локальной идентичности на пустом множестве. Это связано с тем, что пустое множество покрывается пустым семейством множеств, $\varnothing =\bigcup \nolimits _{U\in \{\}}U$ , и бессмысленно, любые два раздела в $F(\varnothing )$ равны, если они ограничены любым набором в пустом семействе $\{\}$ . Таким образом, аксиома локальной идентичности будет означать, что любые два раздела в $F(\varnothing )$ равны, что неверно.

Чтобы изменить это в предварительный пучок $G$ удовлетворяющее аксиоме локальной тождественности, пусть $G(\varnothing )=0$ , одноэлементный набор, и дать $G$ Значение ${\textbf {Z}}$ на всех непустых множествах. Пусть для каждого включения открытых множеств ограничением будет уникальное отображение в 0, если меньшее множество пусто, или тождественное отображение в противном случае. Обратите внимание, что $G(\varnothing )=0$ обусловлено аксиомой локальной идентичности.

Сейчас $G$ представляет собой отдельный предпучок (удовлетворяет локальную идентичность), но в отличие от $F$ это не соответствует аксиоме склейки. Действительно, $\{p,q\}$ несвязен , покрыт непересекающимися открытыми множествами $\{p\}$ и $\{q\}$ . Выбирайте отдельные разделы $m\neq n$ в $\mathbf {Z}$ над $\{p\}$ и $\{q\}$ соответственно. Потому что $m$ и $n$ ограничиться одним и тем же элементом 0 более $\varnothing$ , аксиома склейки гарантировала бы существование уникального сечения $s$ на $G(\{p,q\})$ что ограничивается $m$ на $\{p\}$ и $n$ на $\{q\}$ ; но карты ограничений являются тождественными, давая $m=s=n$ , что неверно. Интуитивно, $G(\{p,q\})$ слишком мал, чтобы нести информацию об обоих подключенных компонентах $\{p\}$ и $\{q\}$ .

Внося дальнейшие изменения для удовлетворения аксиомы склейки, пусть

$H(\{p,q\})=\mathrm {Fun} (\{p,q\},\mathbf {Z} )\cong \mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z}$ ,

тот $\mathbf {Z}$ -значные функции на $\{p,q\}$ и определим карты ограничений $H$ быть естественным ограничением функций на $\{p\}$ и $\{q\}$ , с нулевой картой, ограничивающейся $\varnothing$ . Затем $H$ представляет собой пучок, называемый постоянным пучком на $X$ со стоимостью ${\textbf {Z}}$ . Поскольку все отображения ограничений являются кольцевыми гомоморфизмами, $H$ представляет собой пучок коммутативных колец.

См. также [ править ]

Локально постоянный пучок

Ссылки [ править ]

^ «Имеет ли расширение постоянного пучка нулевым пучком какое-нибудь хорошее описание?» . Математический обмен стеками . Проверено 8 июля 2022 г.

Раздел II.1 Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Раздел 2.4.6 Теннисон, BR (1975), Теория связки , ISBN 978-0-521-20784-3

[1] «Имеет ли расширение постоянного пучка нулевым пучком какое-нибудь хорошее описание?» . Математический обмен стеками . Проверено 8 июля 2022 г.

[1]