Функция обратного изображения

В математике, особенно в алгебраической топологии и алгебраической геометрии , функтор обратного образа — это контравариантная конструкция пучков ; здесь «контравариантен» в том смысле, что задано отображение $f:X\to Y$ обратного образа , функтор — это функтор из категории пучков на Y в категорию пучков на X . Функтор прямого изображения — это основная операция на пучках с простейшим определением. Обратное изображение демонстрирует некоторые относительно тонкие особенности.

Определение

Предположим, нам дан сноп ${\mathcal {G}}$ на $Y$ и что мы хотим перевезти ${\mathcal {G}}$ к $X$ используя непрерывную карту $f\colon X\to Y$.

Результат будем называть прообразом или обратным пучком . $f^{-1}{\mathcal {G}}$. Если мы попытаемся имитировать прямое изображение , установив

$f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))$

за каждый открытый сет $U$ из $X$, мы сразу же сталкиваемся с проблемой: $f(U)$ не обязательно открыт. Лучшее, что мы можем сделать, — это аппроксимировать его открытыми множествами, и даже тогда мы получим предпучок , а не пучок. Следовательно, мы определяем $f^{-1}{\mathcal {G}}$ быть пучком, связанным с предпучком :

$U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).$

(Здесь $U$ является открытым подмножеством $X$ и копредел проходит по всем открытым подмножествам $V$ из $Y$ содержащий $f(U)$.)

Например, если $f$ это просто включение точки $y$ из $Y$, затем $f^{-1}({\mathcal {F}})$ это всего стебель лишь ${\mathcal {F}}$ в этот момент.

Отображения ограничений, как и функториальность прообраза, вытекают из универсального свойства прямых пределов .

При работе с морфизмами $f\colon X\to Y$ , локально окольцованных пространств например схем алгебраической геометрии , часто работают с пучками ${\mathcal {O}}_{Y}$-модули , где ${\mathcal {O}}_{Y}$ представляет собой структурный пучок $Y$. Тогда функтор $f^{-1}$ неуместно, потому что вообще-то оно не дает даже снопов ${\mathcal {O}}_{X}$-модули. Чтобы исправить это, в этой ситуации определяют пучок ${\mathcal {O}}_{Y}$-модули ${\mathcal {G}}$ его прообраз по

$f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}$.

Характеристики

• Пока $f^{-1}$ сложнее определить, чем $f_{\ast }$, стебли легче вычислить: учитывая точку $x\in X$, у одного есть $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}$.
• $f^{-1}$ является точным функтором , как видно из приведенного выше расчета стеблей.
• $f^{*}$ (вообще) является только правым точным. Если $f^{*}$ точно, f называется плоским .
• $f^{-1}$ является левым сопряженным функтору прямого изображения $f_{\ast }$. Это означает, что существуют естественные единичные и коединичные морфизмы. ${\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}$ и $f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}$. Эти морфизмы дают естественное соответствие присоединения:

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})$.

Однако морфизмы ${\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}$ и $f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}$ являются почти никогда не изоморфизмами. Например, если $i\colon Z\to Y$ обозначает включение замкнутого подмножества, стебля $i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}$ в какой-то момент $y\in Y$ канонически изоморфен ${\mathcal {G}}_{y}$ если $y$ находится в $Z$ и $0$ в противном случае. Аналогичное дополнение справедливо и для случая пучков модулей, заменяя $i^{-1}$ к $i^{*}$.

Ссылки

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , МР   0842190 . См. раздел II.4.