Оператор

Эта статья о математической концепции. Чтобы узнать о других значениях, см. Функтор (значения) .

«Функториальность» перенаправляется сюда. О гипотезе о функториальности Ленглендса в теории чисел см. в разделе Программа Ленглендса § Функториальность .

В математике , особенно в теории категорий , функтор — это отображение между категориями . Функторы были впервые рассмотрены в алгебраической топологии , где алгебраические объекты (такие как фундаментальная группа ) связаны с топологическими пространствами , а карты между этими алгебраическими объектами связаны с непрерывными отображениями между пространствами. В настоящее время функторы используются в современной математике для связи различных категорий. Таким образом, функторы важны во всех областях математики, к которым теория категорий применяется .

Слова категория и функтор были заимствованы математиками у философов Аристотеля и Рудольфа Карнапа соответственно. Последний использовал функтор в лингвистическом контексте; см. функциональное слово .

Определение

Категория с объектами X, Y, Z и морфизмами f, g, g ∘ f

Оператор $F$ должен сохранять композицию морфизмов $g$ и $f$

Пусть C и D — категории . Функтор которое F из C в D — это отображение,

• связывает каждый объект $X$ в C к объекту $F(X)$ в Д ,
• связывает каждый морфизм $f\colon X\to Y$ в C к морфизму $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ в D такие, что выполняются следующие два условия:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ для каждого объекта $X$ в С ,
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ для всех морфизмов $f\colon X\to Y\,\!$ и $g\colon Y\to Z$ в С. ​

То есть функторы должны сохранять тождественные морфизмы и композицию морфизмов.

Ковариантность и контравариантность

См. Также: Ковариация и контравариантность (информатика)

В математике существует множество конструкций, которые были бы функторами, если бы не тот факт, что они «переворачивают морфизмы» и «обратят композицию». Затем мы определяем контравариантный функтор F из C в D как отображение, которое

• связывает каждый объект $X$ в C с объектом $F(X)$ в Д ,
• связывает каждый морфизм $f\colon X\to Y$ в C с морфизмом $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ в D такие, что выполняются следующие два условия:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ для каждого объекта $X$ в С ,
  • $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ для всех морфизмов $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ в С. ​

Обратите внимание, что контравариантные функторы меняют направление композиции.

Обыкновенные функторы также называются ковариантными , чтобы отличить их от контравариантных. Обратите внимание, что контравариантный функтор можно также определить как ковариантный функтор в противоположной категории. $C^{\mathrm {op} }$. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно. То есть вместо того, чтобы сказать $F\colon C\to D$ является контравариантным функтором, они просто пишут $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ (или иногда $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$) и назовем его функтором.

Контравариантные функторы также иногда называют кофункторами .

Существует соглашение, которое относится к «векторам», т. е. векторным полям , элементам пространства сечений. $\Gamma (TM)$ касательного расслоения $TM$— как «контравариантным» и «ковекторам» — т. е. 1-формам , элементам пространства сечений $\Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}$ котангенсного расслоения $T^{*}M$- как «ковариантный». Эта терминология возникла в физике, и ее обоснование связано с положением индексов («наверху» и «внизу») в таких выражениях , как ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ для $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ или $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ для ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.$ В этом формализме замечено, что символ преобразования координат $\Lambda _{i}^{j}$ (представляющий матрицу ${\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}$) действует на «ковекторные координаты» «так же», как и на базисные векторы: $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$— тогда как на «векторные координаты» он действует «наоборот» (но «так же», как и на базисные ковекторы: $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$). Эта терминология противоречит той, которая используется в теории категорий, поскольку именно ковекторы имеют откат в целом и, таким образом, являются контравариантными , тогда как векторы в целом являются ковариантными , поскольку их можно сдвигать вперед . См. также Ковариантность и контравариантность векторов .

Противоположная функция

Каждый функтор $F\colon C\to D$ индуцирует противоположный функтор $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$, где $C^{\mathrm {op} }$ и $D^{\mathrm {op} }$ являются категориями, противоположными $C$ и $D$. По определению, $F^{\mathrm {op} }$ отображает объекты и морфизмы точно так же, как и $F$. С $C^{\mathrm {op} }$ не совпадает с $C$ как категория, и аналогично для $D$, $F^{\mathrm {op} }$ отличается от $F$. Например, при составлении $F\colon C_{0}\to C_{1}$ с $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$, следует использовать либо $G\circ F^{\mathrm {op} }$ или $G^{\mathrm {op} }\circ F$. Обратите внимание, что, следуя свойству противоположной категории , $\left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F$.

Бифункторы и мультифункторы

Бифунктор категория (также известный как бинарный функтор ) — это функтор, областью определения которого является произведения . Например, функтор Hom имеет тип C ^на × C → Установить . Его можно рассматривать как функтор с двумя аргументами. Функтор Hom является естественным примером; он контрвариантен в одном аргументе и ковариантен в другом.

Мультифунктор — это обобщение концепции функтора на n переменных. Так, например, бифунктор — это мультифунктор с n = 2 .

Свойства

Двумя важными следствиями аксиом функтора являются :

• F преобразует каждую коммутативную диаграмму в C в коммутативную диаграмму в D ;
• если f — изоморфизм в C , то F ( f ) — изоморфизм D. в

Можно составить функторы, т. е. если F — функтор из A в B , а G — функтор из B в C то можно сформировать составной функтор G ∘ F из A в C. , Композиция функторов ассоциативна там, где она определена. Тождественность композиции функторов есть тождественный функтор. Это показывает, что функторы можно рассматривать как морфизмы в категориях категорий, например в категории малых категорий .

Небольшая категория с одним объектом — это то же самое, что моноид : морфизмы категории с одним объектом можно рассматривать как элементы моноида, а композицию в категории можно рассматривать как операцию моноида. Функторы между однообъектными категориями соответствуют моноидным гомоморфизмам . Таким образом, в некотором смысле функторы между произвольными категориями являются своего рода обобщением моноидных гомоморфизмов на категории с более чем одним объектом.

Примеры

Диаграмма

Для категорий C и J диаграмма типа J в C является ковариантным функтором $D\colon J\to C$.

(Теоретическая категория) предпучок

Для категорий C и J -предпучок J на C является контравариантным функтором. $D\colon C\to J$.

В особом случае, когда J — это , категория множеств и функций, D называется предпучком на C. Set

Предпучки (в топологическом пространстве)

Если X — топологическое пространство , то открытые множества в X образуют частично упорядоченное множество Open( X ) при включении. Как и любое частично упорядоченное множество, Open( X ) образует небольшую категорию, добавляя одну стрелку U → V тогда и только тогда, когда $U\subseteq V$. Контравариантные функторы на Open( X ) называются предпучками на X . Например, присваивая каждому открытому множеству U ассоциативную алгебру вещественнозначных непрерывных функций на , можно получить предпучок алгебр на X. U

Они постоянно работают

Функтор C → D , который отображает каждый объект C в фиксированный объект X в D и каждый морфизм в C в тождественный морфизм на X . Такой функтор называется константой или функтором выбора .

Эндофунктор

Функтор, который сопоставляет категорию с той же самой категорией; например, полиномиальный функтор .

Функтор тождества

В категории C , записанной 1 _C или id _C , отображает объект в себя и морфизм в себя. Тождественный функтор является эндофунктором.

Диагональный функтор

Диагональный функтор определяется как функтор из D в категорию функторов D ^С который отправляет каждый объект в D постоянному функтору этого объекта.

Оператор ограничения

Для с фиксированным индексом категории J , если каждый функтор J → C имеет предел (например, если C полно), то предельный функтор C ^Дж → C присваивает каждому функтору свой предел. Существование этого функтора можно доказать, осознав, что он является правосопряженным к диагональному функтору , и применив теорему Фрейда о сопряженном функторе . Для этого требуется подходящая версия выбранной аксиомы . Аналогичные замечания применимы и к функтору копредела (который присваивает каждому функтору его копредел и является ковариантным).

Функтор степенных наборов

Функтор набора мощности P : Set → Set отображает каждый набор на его набор мощности и каждую функцию. $f\colon X\to Y$ на карту, которая отправляет $U\in {\mathcal {P}}(X)$ своему образу $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$. Можно также рассмотреть контравариантный функтор набора мощности , который отправляет $f\colon X\to Y$ на карту, которая отправляет $V\subseteq Y$ к своему обратному образу $f^{-1}(V)\subseteq X.$

Например, если $X=\{0,1\}$ затем $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$. Предполагать $f(0)=\{\}$ и $f(1)=X$. Затем $F(f)$ это функция, которая отправляет любое подмножество $U$ из $X$ своему образу $f(U)$, что в данном случае означает $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$, где $\mapsto$ обозначает отображение под $F(f)$, так что это также можно записать как $(F(f))(\{\})=\{\}$. Для остальных значений $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ $\{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\$ $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ Обратите внимание, что $f(\{0,1\})$ следовательно, порождает тривиальную топологию на $X$. Также обратите внимание, что хотя функция $f$ в этом примере сопоставлено с набором мощности $X$, это не обязательно должно быть так в целом.

Двойное векторное пространство

Отображение, которое ставит в соответствие каждому векторному пространству свое двойственное пространство и каждому линейному отображению свое двойственное или транспонированное пространство, является контравариантным функтором из категории всех векторных пространств над фиксированным полем в себя.

Фундаментальная группа

Рассмотрим категорию точечных топологических пространств , т. е. топологических пространств с выделенными точками. Объекты представляют собой пары ( X , x0 _а ) , где X — топологическое пространство, x0 _— точка X. в Морфизм из ( X , x ₀ ) в ( Y , y ₀ ) задается непрерывным отображением f : X → Y с f ( x ₀ ) = y ₀ .

топологического пространства X с выделенной точкой x0 _, можно определить фундаментальную группу основанную в x0 _точке обозначаемую π1 _{Для каждого} ( X , x0 _, ) . Это группа гомотопических x0 классов петель, основанных в точке с _, групповой операцией конкатенации. Если f : X → Y — морфизм точечных пространств , то каждая петля в X с базовой точкой x ₀ может быть составлена ​​с f , чтобы получить петлю в Y с базовой точкой y ₀ . Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и композицией петель, и мы получаем групповой гомоморфизм из π( X , x ₀ ) в π( Y , y ₀ ) . Таким образом, мы получаем функтор из категории точечных топологических пространств в категорию групп .

В категории топологических пространств (без выделенной точки) рассматриваются гомотопические классы общих кривых, но они не могут быть составлены, если не имеют общей конечной точки. группы имеется фундаментальной фундаментальный группоид , и эта конструкция является функториальной. Таким образом , вместо

Алгебра непрерывных функций

Контравариантный функтор из категории топологических пространств (с непрерывными отображениями в качестве морфизмов) в категорию вещественных ассоциативных алгебр задается путем присвоения каждому топологическому пространству X алгебры C( X ) всех вещественнозначных непрерывных функций на этом пространстве. Каждое непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм алгебр C( f ) : C( Y ) → C( X ) по правилу C( f )( φ ) = φ ∘ f для каждого φ в C( Y ).

Касательные и котангенсные расслоения

Отображение, которое переводит каждое дифференцируемое многообразие в его касательное расслоение и каждое гладкое отображение в его производную , является ковариантным функтором из категории дифференцируемых многообразий в категорию векторных расслоений .

Выполнение этих конструкций поточечно дает касательное пространство , ковариантный функтор из категории заостренных дифференцируемых многообразий в категорию вещественных векторных пространств. Точно так же кокасательное пространство является контравариантным функтором, по сути являющимся композицией касательного пространства с двойственным пространством, указанным выше.

Групповые действия/представления

Каждую группу G можно рассматривать как категорию с единственным объектом, морфизмы которого являются элементами G . функтор из G в Set Тогда представляет собой не что иное, как групповое действие G G на конкретном множестве, т. е. -множестве . функтор из G в категорию векторных пространств Vect _K является представлением G. Аналогично , линейным В общем, функтор G → C можно рассматривать как «действие» G на объект в категории C . Если C — группа, то это действие является гомоморфизмом группы.

Алгебры Ли

Сопоставляя каждой вещественной (комплексной) группе Ли ее вещественную (комплексную) алгебру Ли, мы определяем функтор.

Тензорные продукты

Если C обозначает категорию векторных пространств над фиксированным полем с линейными отображениями в качестве морфизмов, то тензорное произведение $V\otimes W$ определяет функтор C × C → C , ковариантный по обоим аргументам.

Забывчивые функторы

Функтор U : Grp → Set , который отображает группу в ее основной набор, а гомоморфизм группы в ее основную функцию множеств, является функтором. Подобные функторы, которые «забывают» некоторую структуру, называются забывчивыми функторами . Другим примером является функтор Rng → Ab , который отображает кольцо в лежащую в его основе аддитивную абелеву группу . Морфизмы в Rng ( гомоморфизмы колец ) становятся морфизмами в Ab (гомоморфизмы абелевых групп).

Свободные функторы

В противоположном направлении от забывчивых функторов действуют свободные функторы. Свободный функтор F : Set → Grp отправляет каждое множество X в свободную группу порожденную X. , Функции отображаются в групповые гомоморфизмы между свободными группами. Для многих категорий существуют свободные конструкции, основанные на структурированных множествах. Посмотреть свободный объект .

Группы гомоморфизмов

Каждой паре A , B абелевых групп можно сопоставить абелеву группу Hom( A , B ), состоящую из всех групп из A в B. гомоморфизмов Это функтор, контравариантный по первому и ковариантный по второму аргументу, т. е. это функтор Ab ^на × Ab → Ab (где Ab обозначает категорию абелевых групп с групповыми гомоморфизмами). Если f : A ₁ → A ₂ и g : B ₁ → B ₂ являются морфизмами в Ab , то групповой гомоморфизм Hom( f , g ) : Hom( A ₂ , B ₁ ) → Hom( A ₁ , B ₂ ) есть ∘ φ ↦ г ​ φ ∘ ж . См. функтор Hom .

Представимые функторы

Мы можем обобщить предыдущий пример на любую C. категорию Каждой паре X , Y объектов в C можно сопоставить множество ( X , Y ) морфизмов из X в Y. Hom Это определяет функтор для Set , который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму, т. е. это функтор C ^на × C → Установить . Если f : X ₁ → X ₂ и g : Y ₁ → Y ₂ являются морфизмами в C , то отображение Hom( f , g ) : Hom( X ₂ , Y ₁ ) → Hom( X ₁ , Y ₂ ) задано φ ​ ↦ г ∘ φ ∘ ж .

Подобные функторы называются представимыми функторами . Во многих случаях важной целью является определение того, представим ли данный функтор.

другими категориальными

Пусть C и D — категории. Совокупность всех функторов от C до D образует объекты категории: категория функторов . Морфизмы этой категории представляют собой естественные преобразования между функторами.

Функторы часто определяются универсальными свойствами ; примерами являются тензорное произведение , прямая сумма и прямое произведение групп или векторных пространств, построение свободных групп и модулей, прямые и обратные пределы. Понятия предела и копредела обобщают некоторые из вышеперечисленных.

Универсальные конструкции часто порождают пары сопряженных функторов .

Компьютерные реализации

Основная статья: Функтор (функциональное программирование)

Функторы иногда появляются в функциональном программировании . Например, в языке программирования Haskell есть класс Functor где fmap — политипическая функция , используемая для отображения функций ( морфизмы в Hask , категория типов Haskell) между существующими типами и функциями между некоторыми новыми типами.

См. также

• Анафунктор
• Профунктор
• Категория функтора
• Может расширение
• Псевдофунктор

Ссылки

• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47187-7 .

Внешние ссылки

• «Функтор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• см. функтор в n Lab и обсуждаемые там варианты и ссылки на них.
• Андре Жойал , CatLab , вики-проект, посвященный изложению категориальной математики.
• Хиллман, Крис (2001). «Категорический букварь» . CiteSeerX   10.1.1.24.3264 . Архивировано из оригинала 3 мая 1997 г.
• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Стекер, Абстрактные и конкретные категории - Радость кошек. Архивировано 21 апреля 2015 г. в Wayback Machine.
• Стэнфордская энциклопедия философии : « Теория категорий » — Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баэз, Джон, 1996, « Повесть о n- категориях». Неофициальное введение в категории высшего порядка.
• WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов, естественных преобразований , универсальных свойств .
• The Catsters — канал на YouTube, посвященный теории категорий.
• Видеоархив записей выступлений по категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.