Прослеживаемая моноидальная категория

В теории категорий прослеживаемая моноидальная категория — это категория с некоторой дополнительной структурой, которая дает разумное представление об обратной связи.

Прослеженная симметричная моноидальная категория — это симметричная моноидальная категория C вместе с семейством функций

$\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}:\mathbf {C} (X\otimes U,Y\otimes U)\to \mathbf {C} (X,Y)$

называется следом и удовлетворяет следующим условиям:

• естественность в $X$: для каждого $f:X\otimes U\to Y\otimes U$ и $g:X'\to X$,

$\mathrm {Tr} _{X',Y}^{U}(f\circ (g\otimes \mathrm {id} _{U}))=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)\circ g$

Естественность в X

• естественность в $Y$: для каждого $f:X\otimes U\to Y\otimes U$ и $g:Y\to Y'$,

$\mathrm {Tr} _{X,Y'}^{U}((g\otimes \mathrm {id} _{U})\circ f)=g\circ \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)$

Естественность в Y

• двунатуральность в $U$: для каждого $f:X\otimes U\to Y\otimes U'$ и $g:U'\to U$

$\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}((\mathrm {id} _{Y}\otimes g)\circ f)=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U'}(f\circ (\mathrm {id} _{X}\otimes g))$

Динатуральность в U

• исчезающий я: для каждого $f:X\otimes I\to Y\otimes I$, (с $\rho _{X}\colon X\otimes I\cong X$ являющийся правильным объединителем),

$\mathrm {Tr} _{X,Y}^{I}(f)=\rho _{Y}\circ f\circ \rho _{X}^{-1}$

Исчезающее я

• исчезающий II: для каждого $f:X\otimes U\otimes V\to Y\otimes U\otimes V$

$\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(\mathrm {Tr} _{X\otimes U,Y\otimes U}^{V}(f))=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U\otimes V}(f)$

Исчезновение II

• наложение: для каждого $f:X\otimes U\to Y\otimes U$ и $g:W\to Z$,

$g\otimes \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)=\mathrm {Tr} _{W\otimes X,Z\otimes Y}^{U}(g\otimes f)$

Наложение

• дергание:

$\mathrm {Tr} _{X,X}^{X}(\gamma _{X,X})=\mathrm {id} _{X}$

(где $\gamma$ – симметрия моноидальной категории).

дергание

Свойства

• Каждая компактная замкнутая категория допускает след.
• Для трассированной моноидальной категории C конструкция Int порождает свободное (в некотором бикатегорийном смысле) компактное замыкание Int( C ) C. категории

Ссылки

• Джоял, Андре ; Стрит, Росс ; Верити, Доминик (1996). «Прорисованные моноидальные категории». Математические труды Кембриджского философского общества . 119 (3): 447–468. Бибкод : 1996MPCPS.119..447J . дои : 10.1017/S0305004100074338 . S2CID   50511333 .