Преабелева категория

В математике , особенно в теории категорий , преабелева категория — это аддитивная категория , имеющая все ядра и коядра .

Если говорить более подробно, это означает, что категория C является преабелевой, если:

1. C преаддитивен , то есть обогащен моноидальной категорией абелевых групп (эквивалентно, все hom-множества в C являются абелевыми группами а композиция морфизмов билинейна , );
2. C имеет все конечные продукты (т. е. все конечные копродукции ); обратите внимание, что, поскольку C также является преаддитивным, конечные произведения аналогичны конечным копроизведениям, что делает их бипродуктами ;
3. для любого морфизма f и нулевой морфизм из A в B f : A → B в C существует эквалайзер ( это по определению ядро ​​f ) , как и коэквалайзер ( это по определению коядро f ).

Заметим, что нулевой морфизм в п. 3 можно идентифицировать как единичный элемент hom -множества Hom( A , B ), которое по п. 1 является абелевой группой; или как единственный морфизм A → 0 → B , где 0 — нулевой объект , существование которого гарантировано пунктом 2.

Примеры

Оригинальным примером аддитивной категории является категория Ab абелевых групп . Ab преаддитивна, поскольку это замкнутая моноидальная категория , бипроизведение в Ab — конечная прямая сумма , ядро ​​— включение обычного ядра из теории групп , а коядро — это фактор-отображение на обычное коядро из теории групп .

Другие распространенные примеры:

• Категория (левых) модулей над кольцом R , в частности:
  • категория векторных пространств над полем K .
• Категория ( хаусдорфовых ) абелевых топологических групп .
• Категория банаховых пространств .
• Категория пространств Фреше .
• Категория (хаусдорфовых) борнологических пространств .

Это даст вам представление о том, о чем подумать; дополнительные примеры см. в абелевой категории (каждая абелева категория является предабелевой).

Элементарные свойства

Каждая преабелева категория, конечно, является аддитивной категорией , и многие основные свойства этих категорий описываются в рамках этой темы. Эта статья посвящена свойствам, которые сохраняются именно благодаря существованию ядер и коядер.

Хотя ядра и коядра представляют собой особые виды эквалайзеров и соэквалайзеров , в доабелевой категории фактически имеются все эквалайзеры и соэквалайзеры.Мы просто строим эквалайзер двух морфизмов f и g как ядро ​​их разности g − f   ; точно так же их соэквалайзер является ядром их различия.(Альтернативный термин «разностное ядро» для двоичных эквалайзеров возник из этого факта.)Поскольку преабелевы категории имеют все конечные произведения и копроизведения (бипроизведения), а также все бинарные эквалайзеры и соэквалайзеры (как только что описано), то по общей теореме теории категорий они имеют все конечные пределы и копределы .То есть преабелевы категории конечно полны .

Существование как ядер, так и коядер дает понятие образа и кообраза .Мы можем определить их как

im f := ker coker f ;

coim f := coker ker f .

То есть образ — это ядро ​​коядра, а кообраз — это коядро ядра.

Обратите внимание, что это понятие изображения может не соответствовать обычному понятию изображения или диапазона функции , даже если предположить , что морфизмы в категории являются функциями.Например, в категории топологических абелевых групп образ морфизма фактически соответствует включению замыкания образа функции.По этой причине в этом контексте люди часто различают значения двух терминов, используя «образ» для абстрактного категориального понятия и «диапазон» для элементарного теоретико-множественного понятия.

Во многих распространенных ситуациях, таких как категория множеств , где существуют изображения и ко-образы, их объекты изоморфны .Точнее, у нас есть факторизация f : A → B как

А → С → Я → Б ,

где морфизм слева — это кообраз, морфизм справа — это образ, а морфизм в середине (называемый параллелью ) — f изоморфизм.

В доабелевой категории это не обязательно верно .Показанная выше факторизация всегда существует, но параллель может не быть изоморфизмом.Фактически, параллель f является изоморфизмом для каждого морфизма f тогда и только тогда, когда преабелева категория является абелевой категорией .Примером неабелевой, доабелевой категории снова является категория топологических абелевых групп.Как было отмечено, изображение включения замыкания диапазона ; однако изображение представляет собой факторную карту самого диапазона.Таким образом, параллелью является включение диапазона в его замыкание, что не является изоморфизмом, если диапазон уже не был закрыт .

Точные функторы

Напомним, что все конечные пределы и копределы существуют в предабелевой категории.В общей теории категорий функтор называется точным слева , если он сохраняет все конечные пределы, и точным справа, если он сохраняет все конечные копределы. (Функтор является точным , если он точен как слева, так и справа.)

В доабелевой категории точные функторы могут быть описаны особенно просто.Во-первых, напомним, что аддитивный функтор — это функтор F : C → D между предаддитивными категориями , который действует как групповой гомоморфизм на каждом hom-множестве .Тогда оказывается, что функтор между предабелевыми категориями точен слева тогда и только тогда, когда он аддитивен и сохраняет все ядра, и точен справа тогда и только тогда, когда он аддитивен и сохраняет все коядра.

Обратите внимание, что точный функтор, поскольку он сохраняет как ядра, так и коядра, сохраняет все образы и кообразы.Точные функторы наиболее полезны при изучении абелевых категорий , где их можно применять к точным последовательностям .

Максимально точная структура

О каждой доабелевой категории ${\mathcal {A}}$ существует точная структура ${\mathcal {E}}_{\text{max}}$ которая является максимальной в том смысле, что она содержит любую другую точную структуру. Точная структура ${\mathcal {E}}_{\text{max}}$ состоит именно из тех пар ядро-коядро $(f,g)$ где $f$ является полустабильным ядром и ${\mathcal {g}}$ является полустабильным коядром. Здесь, $f:X\rightarrow Y$ является полустабильным ядром, если оно является ядром и для каждого морфизма $h:X\rightarrow Z$ на выталкивания схеме

${\begin{array}{ccc}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\downarrow _{h}&&\downarrow _{h'}\\Z&{\xrightarrow {f'}}&Q\end{array}}$

морфизм $f'$ это снова ядро. $g:X\rightarrow Y$ является полустабильным коядром, если оно является коядром и для любого морфизма $h:Z\rightarrow Y$ на отката диаграмме

${\begin{array}{ccc}P&{\xrightarrow {g'}}&Z\\\downarrow _{h'}&&\downarrow _{h}\\X&{\xrightarrow {g}}&Y\end{array}}$

морфизм $g'$ снова является коядром.

Доабелева категория ${\mathcal {A}}$ является квазиабелевой тогда и только тогда, когда все пары ядро-коядро образуют точную структуру. Примером, для которого это не так, является категория (Хаусдорфовых) борнологических пространств.

Результат также действителен для аддитивных категорий, которые не являются преабелевыми, а карубовыми .

Особые случаи

• Абелева категория — это предабелева категория, такая, что мономорфизм и эпиморфизм нормален любой .
• Квазиабелева категория — это предабелева категория, в которой ядра устойчивы при выталкиваниях, а коядра устойчивы при откатах.
• Полуабелева категория — это предабелева категория, в которой для каждого морфизма $f$ индуцированный морфизм ${\overline {f}}:\operatorname {coim} f\rightarrow \operatorname {im} f$ всегда является мономорфизмом и эпиморфизмом.

Чаще всего изучаемые доабелевы категории на самом деле являются абелевыми категориями; например, Ab — абелева категория. Преабелевы категории, которые не являются абелевыми, появляются, например, в функциональном анализе.

Ссылки

• Николае Попеску ; 1973 год; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям ; Академик Пресс, Инк.; распродано
• Деннис Зиг и Свен-Аке Вегнер, Максимально точные структуры в аддитивных категориях, Матем. Нахр. 284 (2011), 2093–2100.
• Септиму Кривей, Еще раз о максимально точных структурах аддитивных категорий, Матем. Нахр. 285 (2012), 440–446.