Псевдоабелева категория

В математике , особенно в теории категорий , псевдоабелева категория — это категория , которая является преаддитивной и такова, что каждый идемпотент имеет ядро . Напомним, что идемпотентный морфизм $p$ является эндоморфизмом объекта со свойством, что $p\circ p=p$. Элементарные соображения показывают, что тогда каждый идемпотент имеет коядро . Псевдоабелева условие сильнее, чем предаддитивность, но оно слабее, чем требование, чтобы каждый морфизм имел ядро ​​и коядро, как это верно для абелевых категорий .

Синонимы псевдоабелиана в литературе включают псевдоабелиан и карубиан .

Примеры

Любая абелева категория , в частности категория Ab абелевых групп , псевдоабелева. Действительно, в абелевой категории каждый морфизм имеет ядро.

Категория rng (не колец !) вместе с мультипликативными морфизмами псевдоабелева.

Более сложный пример — категория мотивов Чжоу . В построении мотивов Чжоу используется псевдоабелева пополнение, описанное ниже.

Псевдоабелево пополнение

Конструкция конверта Каруби соответствует произвольной категории. $C$ категория $\operatorname {Kar} C$ вместе с функтором

$s:C\to \operatorname {Kar} C$

такой, что изображение $s(p)$ каждого идемпотента $p$ в $C$ распадается на $\operatorname {Kar} C$.Применительно к преаддитивной категории $C$, конструкция конверта Каруби дает псевдоабелеву категорию $\operatorname {Kar} C$называется псевдоабелевым пополнением $C$. Более того, функтор

$C\to \operatorname {Kar} C$

на самом деле является аддитивным морфизмом.

Точнее, учитывая предаддитивную категорию $C$ мы строим псевдоабелеву категорию $\operatorname {Kar} C$ следующим образом. Объекты $\operatorname {Kar} C$ пары $(X,p)$ где $X$ является объектом $C$ и $p$ является идемпотентом $X$. Морфизмы

$f:(X,p)\to (Y,q)$

в $\operatorname {Kar} C$ это морфизмы

$f:X\to Y$

такой, что $f=q\circ f=f\circ p$ в $C$.Функтор

$C\to \operatorname {Kar} C$

дается путем принятия $X$ к $(X,\mathrm {id} _{X})$.

Ссылки

• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963-64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - вып. 1 (Конспекты лекций по математике 269 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . XIX+525.